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2022年高考數(shù)學(xué)理科全國乙卷的填空壓軸題，和全卷的壓軸題，其實是同一類題型，都是利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的性狀，最終求參數(shù)的取值范圍的問題?？磥磉@類題型是高考理科數(shù)學(xué)卷的最愛。難怪總有高中生向老黃討要這類題型的資源呢。 老黃覺得這類問題是挺煩人的，當(dāng)然這主要是因為老黃接觸得太少導(dǎo)致的。相信在老黃不斷地探究之下，早晚會把這類題當(dāng)做一類送分題來做的。您聽明白這段話的意思了嗎？只要您足夠努力，您也能把這類題當(dāng)做送分題的。不過現(xiàn)在老黃解決它們，還真是有些難度的。 已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2a^x-ex^2(a>0且a≠1)的極小值點和極大值點，若x1<x2，則實數(shù)a的取值范圍是______. 分析：這道題要分成兩個部分去思考；一是函數(shù)有兩個極值點的情形；二是極大值點在極小值點的右側(cè)的情形。 a的取值范圍是有兩個端點的，右端點好求，左端點是這道題的絕對難點，其難度不亞于整卷的壓軸題。 求右端點的方法有很多。而且每種方法都可以成為一種解題套路。這里老黃提供的當(dāng)然是自己的方法。 這類問題一般都是要先對函數(shù)求導(dǎo)，f’(x)=2a^xlna-2ex, 由導(dǎo)函數(shù)f’(x)的性狀可知，f(x)最多有兩個極值點(對應(yīng)f'(x)的兩個零點). 如果函數(shù)可以多于兩個極值點，問題就會變得特別復(fù)雜。幸好，它最多只有兩個極值點。我們只需畫出導(dǎo)函數(shù)f’(x)圖像的草圖，就可以發(fā)現(xiàn)了，沒有必要交代，而且這也只是一道填空題而已。 當(dāng)a=1時，f(x)=2-ex^2, f(x)只有一個極值點，不符合題意！這一點還是比較容易排除的。 f’(x2)=2a^(x2)lna-2ex2=0，f’(x1)=2a^(x1)lna-2ex1=0， a^(x2)lna-ex2+a^(x1)lna-ex1=0, a^(x2)lna-ex2-a^(x1)lna+ex1=0, 就是上面兩式的和，差都等于0. lna=e(x2+x1)/(a^(x2)+a^(x1))=e(x2-x1)/(a^(x2)-a^(x1))=0, ∴(x2+x1)(a^(x2)-a^(x1))=(x2-x1)(a^(x2)+a^(x1)). 化簡得x1a^(x2)=x2a^(x1). x2/x1=a^(x2-x1)>0, 即x1, x2同號. 若a大于1, 則0<x1<x2, 又x→0+時，f’(x)→2lna>0, 說明函數(shù)在正區(qū)間得到第一個極值f(x1)前，函數(shù)是單調(diào)遞增的，這樣得到的第一個極值一定是極大值，不是極小值，不符合題意，所以這種情況要舍去！ 若a屬于(0,1), 則x1<x2<0, 又x→0-時，f’(x)→2lna<0, 說明函數(shù)在負區(qū)間向左得到第一個極值f(x2)前，函數(shù)是單調(diào)減的，這樣得到的第一個極值一定是極大值，符合題意。但這只是必要條件，不是充分條件，因為仍包含得不到極值的可能性。 不管如何，我們已經(jīng)得到了a的取值范圍的右端點a小于1，接下來求左端點。方法說出來還是挺簡單的。但在得到方法前，能想到的可能很少很少。 又當(dāng)f’(x)=2a^xlna-2ex≤0時，f(x)單調(diào)減，不符合題意。單調(diào)增的情況不需要考慮，因為在a小于1時，這種可能性是不存在的。 即a^xlna≤ex, lna≤ex/a^x. 記g(x)=ex/a^x (x<0), 則g’(x)=e(1-xlna)/a^x, 當(dāng)1-xlna>0時，x<1/lna, g(x)單調(diào)增；當(dāng)1-xlna>0時，x<1/lna, g(x)單調(diào)增；這說明x=1/lna是g(x)的一個極大值點，而且是最大值點。 ∴g(x)≤g(1/lna)=e/(elna) =1/lna, 即lna≤ex/a^x≤1/lna. 解得a≤1/e, 舍去！反之，就是在a>1/e時，符合條件。因此，綜上可得，a的取值范圍為：(1/e,1). 像這種明明想求a大于1/e，偏偏對著a≤1/e猛錘的方法，老黃以前還真沒有見過。您說這應(yīng)該叫“欲擒故縱”好呢？還是叫“聲東擊西”好呢？ 最后我們來看看a在不同取值范圍下的函數(shù)圖像，以加深對這個問題，乃至這類問題的理解。下圖是當(dāng)a=1時的情形，f(x)只有一個極值點. 再看當(dāng)a≤1/e時，函數(shù)的圖像，此時f(x)沒有極值點； 下面是a≥e時的圖像，同樣沒有極值點； 有一種有兩個極值點的情況，是在a屬于(1,e)時，但此時x2<x1，不符合題意。 只有最后這種情形，當(dāng)a屬于(-1/e,1)時，函數(shù)就有兩個極值點，且x1<x2. 現(xiàn)在您對這道題通透了嗎？ |
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