拉普拉斯變換的本質(zhì)意義（好文！通俗易懂）

碼農(nóng)書館 2022-05-17 發(fā)布于上海

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本文將從通俗的角度看待拉普拉斯變換。

發(fā)明者

奧列弗.赫維賽德，維多利亞時期英國人，全靠自學，聽力殘疾。很多人熟悉赫維賽德是因為MATLAB有一個赫維賽德（Heaviside）函數(shù)。
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赫維賽德簡化了麥克斯韋方程組：即變化的電場產(chǎn)生磁場，變化的磁場產(chǎn)生電場。讓20個方程組便成了4個。
**赫維賽德另一個貢獻就是我們今天要說的運算微積分-它可以將常微分方程轉(zhuǎn)換為普通代數(shù)方程。**赫維賽德是怎么解微分方程的呢？他把微分、積分運算用一個簡單的算子來代替。

在這里插入圖片描述
也就是說，在某種算子下，積分和微分對應的是倒數(shù)關系，至于算子 p 代表什么，赫維賽德也沒有多解釋，在缺乏嚴密數(shù)學基礎的情況下，人家直接放在文章就用了，還發(fā)表了。比如常見的一個二階常微分方程，
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如果用赫維賽德的微分算子變換一下，就變成了代數(shù)表達式。

赫維賽德之所以這么做，是因為他的“物理直覺”告訴他這么做，就是這么硬。這顯然是一種開外掛的行為，因此也受到當時的主流數(shù)學家們們的攻訐，他們認為赫維賽德就是十足的“民科”，文章沒什么理論依據(jù)，自己在那空想呢。當然，赫維賽德也不是弱雞，科學家懟起人來，也是毫不含糊：“因為我不能理解消化過程就拒絕晚餐嗎？不，只要我滿意這個結(jié)果?！?br> 好了，扯了那么遠，有童鞋已經(jīng)不耐心了：這些和拉普拉斯變換有什么關系？謎底就是：赫維賽德的微積分算子，就是拉普拉斯變換的前身。

傅里葉變換（輕量版拉普拉斯變換）

在說拉普拉斯變換以前，我們要先提一下傅里葉變換，這可以看成是輕量版的拉普拉斯變換。傅里葉變換說的是什么事？說的是自然界的很多現(xiàn)象，都可以用三角函數(shù)進行分解。
在這里插入圖片描述

clc;clear;
h = animatedline;
xl=xlabel('cos(\omegat)');% 
yl=ylabel('sin(\omegat)');% 
grid on;
title('\omega = 1rad/s   Made by J Pan')
axis([-1,1,-1,1]);
axis square;
N = 100;
t=linspace(0,2*pi,N);
w=1;
x=cos(w*t);
y=sin(w*t);
a = tic; % start timer
for k = 1:N
    addpoints(h,x(k),y(k));
    hold on
    quiver(0,0,x(k)*1.1,y(k)*1.1)
    b = toc(a); % check timer
    if b > (1/90)
        drawnow % update screen every 1/30 seconds
        a = tic; % reset timer after updating
    end
end

在這里插入圖片描述

你能想象到很多曲線，都可以用這些不同頻率，連續(xù)旋轉(zhuǎn)的圓，通過線性疊加得到，而傅里葉定律，就是對這個結(jié)論的數(shù)學描述。
傅里葉定律說：只要一個函數(shù)滿足如狄利赫里條件，都能分解為復指數(shù)函數(shù)之和，哪怕是如拉格朗日提到的帶有棱角的方波函數(shù)。狄利赫里條件為：
在這里插入圖片描述
其中可去間斷點和跳躍間斷點屬于第一類間斷點
于是就可以很好的解釋拉格朗日和傅里葉之間的爭論了——拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個帶有棱角的信號，棱角處會有很小高頻波動（吉布斯現(xiàn)象）。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅里葉也是對的。一個從數(shù)學家的角度，一個從工程師的角度。

拉普拉斯變換-原來就是這么回事
傅里葉變換能幫我們解決很多問題，一經(jīng)問世后便受到廣大工程師們的喜愛，因為它給人們提供了一扇不同的窗戶來觀察世界，從這個窗戶來看，很多事情往往變得簡單多了。但是，別忘了，傅里葉變換有一個很大局限性，那就是信號必須滿足狄利赫里條件才行，特別是那個絕對可積的條件，一下子就攔截掉了一大批函數(shù)。比如函數(shù) f(t)=t^2 就無法進行傅里葉變換。這點難度當然拿不到聰明的數(shù)學家們，他們想到了一個絕佳的主意：把不滿足絕對的可積的函數(shù)乘以一個快速衰減的函數(shù)，這樣在趨于無窮時原函數(shù)也衰減到零了，從而滿足絕對可積。

這里我要補充一下，不是為了保證一直為衰減，指數(shù)函數(shù)，要衰減，在負半軸也是衰減的，要增加，在正負半軸都是增加的。是因為在我們關心的系統(tǒng)中，不對時間的負半軸作分析。因此，我們更多使用單邊的拉普拉斯變換，而不是使用雙邊的拉普拉斯變換，這樣的系統(tǒng)稱之為因果系統(tǒng)不需要考慮 t=0 時的系統(tǒng)初始條件。
我知道大部分人前面的數(shù)學推導沒什么興趣，接下來就是放彩蛋的時刻了，很多童鞋會說不管傅里葉變換或者拉普拉斯變換是什么細節(jié)，你能說點有意思的，讓人能記憶深刻的信息嗎？

clc;clear;
h = animatedline;
h1=gcf;
view(3);
xl=xlabel('cos(\omegat)');% 
yl=ylabel('sin(\omegat)');% 
zl=zlabel('t');% 
set(xl,'Rotation',30);% 
set(yl,'Rotation',-30);%
grid on;
title('\omega = 1rad/s   Made by J Pan')
axis([-1,1,-1,1,0,4*pi])
N = 200;
t=linspace(0,4*pi,N);
w=1;
x=cos(w*t);
y=sin(w*t);
a = tic; % start timer
for k = 1:N
    addpoints(h,x(k),y(k),t(k));
    hold on
    line([0 x(k)],[0 y(k)],[t(k) t(k)],'Color','red')
    b = toc(a); % check timer
    if b > (1/90)
        drawnow % update screen every 1/30 seconds
        a = tic; % reset timer after updating
    end
end

在這里插入圖片描述

clc;clear;
h = animatedline;
h1=gcf;
view(3);
xl=xlabel('cos(\omegat)');% 
yl=ylabel('sin(\omegat)');% 
zl=zlabel('t');% 
set(xl,'Rotation',30);% 
set(yl,'Rotation',-30);%
grid on;
title('\omega = 1rad/s   Made by J Pan')
axis([-1,1,-1,1,0,4*pi])
N = 200;
t=linspace(0,4*pi,N);
w=1;sig=-0.2;
x=exp(sig*t).*cos(w*t);
y=exp(sig*t).*sin(w*t);
a = tic; % start timer
for k = 1:N
    addpoints(h,x(k),y(k),t(k));
    hold on
    line([0 x(k)],[0 y(k)],[t(k) t(k)],'Color','red')
    b = toc(a); % check timer
    if b > (1/90)
        drawnow % update screen every 1/30 seconds
        a = tic; % reset timer after updating
    end
end

螺旋曲線和衰減函數(shù)的乘積：一個半徑不斷減小的螺旋曲線。從不同的平面看，就是不斷衰減的正弦或者余弦曲線，從復平面來看，是一個半徑不斷減小的圓。
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總結(jié)一下：傅里葉變換是將函數(shù)分解到頻率不同、幅值恒為1的單位圓上；拉普拉斯變換是將函數(shù)分解到頻率幅值都在變化的圓上。因為拉普拉斯變換的基有兩個變量，因此更靈活，適用范圍更廣。