中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)是中國古代科學(xué)中最重要的分支之一，它是中國古代形成體系的四大傳統(tǒng)學(xué)科之一，其歷史源遠(yuǎn)流長，文獻(xiàn)典籍資源與數(shù)學(xué)成果相當(dāng)豐富。在中國，中國數(shù)學(xué)史也是中國科學(xué)技術(shù)史中起步最早、發(fā)展最為成熟的研究領(lǐng)域。中國數(shù)學(xué)史的專門研究肇始于18世紀(jì)末期，到了20世紀(jì)得到長足發(fā)展，經(jīng)過幾代數(shù)學(xué)史家的不懈努力，對中國數(shù)學(xué)史已經(jīng)理出頭緒，成果至為豐碩，不僅勾勒出了中國數(shù)學(xué)發(fā)展的脈絡(luò)，而且揭示出了中國傳統(tǒng)的基本特征和固有特色。

       對于中國數(shù)學(xué)史的研究來說，進(jìn)行必要的編史學(xué)考察，通過歷史的總結(jié)和反思，可以獲得對中國數(shù)學(xué)史研究及其學(xué)科歷史與現(xiàn)狀的進(jìn)一步理解，并在此基礎(chǔ)上對其未來的發(fā)展方向有所把握。本文試圖將中國數(shù)學(xué)史研究與學(xué)科發(fā)展放到長時間段內(nèi)進(jìn)行考察和歸納，并嘗試性地對其中的一些基礎(chǔ)性問題做進(jìn)一步的探討。

一、 引言

       美國著名科學(xué)史家托馬斯·庫恩(Thomas S.Kuhn,1922-1996）于1962年在其經(jīng)典著作《科學(xué)革命的結(jié)構(gòu)》中提出了科學(xué)革命意義下的范式（paradigm）概念。庫恩認(rèn)為，科學(xué)發(fā)展到成熟的常規(guī)科學(xué)過程中，雖然可能存在多種競爭性范式，總有一種范式長期起著主導(dǎo)作用，并形成越來越多的具有解釋力的范例。但當(dāng)主導(dǎo)范式不能解釋的“異例”（反常現(xiàn)象）不斷出現(xiàn)且積累到一定程度時，科學(xué)界會有人尋求更具解釋力和說服力的新理論，進(jìn)而形成新的研究范式，此時科學(xué)革命就發(fā)生了?？茖W(xué)革命將導(dǎo)致舊范式全部或部分被一個與其勢不兩立的新范式取代。而科學(xué)革命的實質(zhì)就是新范式取代舊范式的過程，即范式的轉(zhuǎn)移（或范式的轉(zhuǎn)換，Paradigm shift）。《科學(xué)革命的結(jié)構(gòu)》出版之后，范式概念被不同領(lǐng)域的學(xué)者借用，包括社會科學(xué)和人文科學(xué)，在學(xué)術(shù)界成為一個具有更普遍意義的概念，但這一概念也受到更多的質(zhì)疑。

      庫恩認(rèn)為“范式是一個成熟的科學(xué)共同體在某段時間內(nèi)所認(rèn)可的研究方法、問題領(lǐng)域和解題標(biāo)準(zhǔn)的源頭活水。因此，接受新范式，常常需要重新定義相應(yīng)的科學(xué)”。^[1]一門成熟的規(guī)范學(xué)科具有自己的范式，范式可由一人或多人創(chuàng)立，由學(xué)術(shù)共同體成員共同發(fā)展或變革。他在1969年為《科學(xué)革命的結(jié)構(gòu)》第二版寫的“后記”中，對頗有爭論的范式概念做了澄清式的討論,并對其與共同體的關(guān)系做了說明。庫恩指出：在該書中，“范式”一詞的使用，有兩種不同的含義。^[2]“一方面，它代表著一個特定共同體的成員所共有的信念、價值、技術(shù)等等構(gòu)成的整體。另一方面,它指謂著那個整體的一種元素，即具體的謎題解答，把它們作為模型或范例，可以取代明確的規(guī)則作為常規(guī)科學(xué)中其謎難題解答的基礎(chǔ)。”^[3]庫恩強(qiáng)調(diào)，“范式”的第二種意義在哲學(xué)上尤為深刻。不同的研究范式意味著不同的研究傳統(tǒng)。庫恩所謂的常規(guī)科學(xué)，是指那些建立在已有重要科學(xué)成就基礎(chǔ)上的研究。這些科學(xué)成就，在一定時期內(nèi)為科學(xué)共同體所認(rèn)可，并構(gòu)成其更進(jìn)一步實踐活動的基礎(chǔ)。常規(guī)科學(xué)的實踐活動是解答謎題，而這些謎題實際上是由范式所規(guī)定的。主導(dǎo)范式吸引了一批堅定的擁護(hù)者從事解謎活動。認(rèn)同一種研究范式意味著需要放棄其它競爭性范式。

      在這篇“后記”中,庫恩還討論了范式的成分。他首先強(qiáng)調(diào)要有“學(xué)科基質(zhì)”（或譯“學(xué)科母體”，disciplinary matrix）這一概念，認(rèn)為這個概念更符合范式的準(zhǔn)確含義。他指出；“在范式能擺脫其眼下的含義之前，為避免混淆我寧愿用另一個詞。這個詞我建議用：'學(xué)科基質(zhì)’（disciplinary matrix）：用'學(xué)科’一詞是因為它指稱一個專門學(xué)科的工作人員所共有的財產(chǎn)；用'基質(zhì)’一詞是因為它由各種各樣的有序元素組成，每個元素都需要進(jìn)一步界定。所有或大部分我在原書中當(dāng)作范式、范式的一部分或具有范式性的團(tuán)體的承諾對象，都是學(xué)科基質(zhì)的組成成分，并因而形成一個整體而共同起作用。我也不會在這兒開出一張詳盡的基質(zhì)成分的清單，但是觀察一個學(xué)科基質(zhì)的主要成分類別，可以澄清我現(xiàn)在的進(jìn)路的性質(zhì)。”^[4]

       學(xué)科基質(zhì)中包括哪些主要的成分? 庫恩指出,一種是“符號化概括（symbolic  generalization）”,學(xué)術(shù)共同體成員對這些理論性概括要么贊成要么反對，進(jìn)行討論，目的在于促進(jìn)學(xué)科發(fā)展。一種是其形而上學(xué)的內(nèi)容（metaphysicalparadigms 或the metaphysical parts of paradigms），屬于共同信念，但不是指那些大而無當(dāng)?shù)男拍?/span>,如相信宇宙是無限的信念，而是關(guān)于相信某種特定的模型，相信具有某種啟發(fā)性類比關(guān)系，即比較具體的偏愛或允許的類比和比喻，等等。再就是價值觀或共有價值（values 或shared values），但庫恩認(rèn)為，共有價值在指導(dǎo)科學(xué)家做出理論競爭選擇等方面作用有限。第四種成分，即一個學(xué)科共同體所共有的實踐范例（shared exemplars），按照庫恩的論證和例舉，這些共有的范例就是科學(xué)實踐的過程和要素，如實驗室的訓(xùn)練、教科書的規(guī)訓(xùn)、儀器的使用。它們是典型問題的解決方式和經(jīng)驗總結(jié)。庫恩還在“后記”中專門辟出一小節(jié)來討論“作為共有范例的范式(Paradigms as Shared Exemplars)”。^[5]

       筆者認(rèn)為，范式概念對于歷史領(lǐng)域中的學(xué)科史不一定完全適用，如歷史研究存在范式的轉(zhuǎn)換問題，但這種轉(zhuǎn)換未必一定發(fā)生“史學(xué)革命”。盡管如此，范式概念的對于探討中國數(shù)學(xué)史的編史學(xué)問題仍有重要的啟發(fā)意義，有助于深化我們對中國數(shù)學(xué)史學(xué)科形成和發(fā)展的認(rèn)識。

       借用范例和范式的概念，加以適當(dāng)?shù)淖兺ú⒅匦陆缍ㄆ溥m用范圍，用來說明中國數(shù)學(xué)史的范式形成與轉(zhuǎn)換問題，是頗具解釋力的。范式是由一組實踐范例組成的，一項有新意的編史工作或相關(guān)研究工作，如果被其他學(xué)術(shù)同行認(rèn)可并產(chǎn)生示范作用，便可認(rèn)為形成了一個典型范例。而這樣的范例作為樣板得到更多同行學(xué)者效仿不斷產(chǎn)生新的范例，便可能形成起主導(dǎo)作用的研究范式，對學(xué)術(shù)共同體和學(xué)科的形成或發(fā)展產(chǎn)生重要影響。范式形成后會在相當(dāng)長的時期發(fā)揮主導(dǎo)作用，新的范式形成會削弱舊范式的作用，但未必會取代舊的范式。在歷史類學(xué)科中，范式的轉(zhuǎn)換會形成新的范式，但舊的范式在一定條件下仍可獲得拓展。范式轉(zhuǎn)換與范式拓展并存是常態(tài)，是學(xué)科發(fā)展的通常模式。下面我們結(jié)合中國數(shù)學(xué)史的具體情況和實例進(jìn)行分析和討論。

二、 數(shù)學(xué)史研究在中國的發(fā)端：乾嘉學(xué)派與晚清數(shù)學(xué)家的研究范例

      從文獻(xiàn)學(xué)角度看，清代中期乾嘉學(xué)派已對傳統(tǒng)算學(xué)典籍文獻(xiàn)進(jìn)行了許多發(fā)掘與整理工作。乾嘉學(xué)派的宗旨是“興復(fù)古學(xué)、昌明中法”，其工作的目的是復(fù)興和發(fā)展傳統(tǒng)算學(xué)，嚴(yán)格來說屬于傳統(tǒng)算學(xué)研究。但中國數(shù)學(xué)史的專門研究，卻發(fā)端于乾嘉學(xué)派學(xué)者的工作。數(shù)學(xué)史研究工作的肇始與早期發(fā)展，可以追溯到清代中后期阮元等人編寫《疇人傳》，以及后人的續(xù)編工作。18世紀(jì)末到19世紀(jì)末先后完成了如下一些系列論著：

 1）乾嘉學(xué)派代表人物阮元在李銳和周治平幫助下完成的《疇人傳》 四十六卷(1799)，收入275位嘉慶以前的中國天算家的傳記，附西方科技人物傳記41篇。書中引用資料主要來自《二十四史》和天文、數(shù)學(xué)著作的序、跋，以及各種文集。每篇傳記之后都有評論。

 2)羅士琳的《續(xù)疇人傳》六卷(1840)，卷數(shù)是阮元《疇人傳》的延續(xù)，該書補(bǔ)充了阮元等遺漏的和阮元以后的“疇人”44人的傳記。

圖1《疇人傳》書影（中為阮元畫像）

 3）華世芳所撰《近代疇人著述記》(1884)，共計收33人傳記。

 4）諸可寶的《疇人傳三編》七卷  (1886)，共收入125人的傳記。

 5）黃鐘駿的《疇人傳四編》十二卷  (1898)，仿前人成例，續(xù)補(bǔ)283人，另有西方數(shù)學(xué)、天文人物157人^[6]。

      阮元（1764 -1849）創(chuàng)例的《疇人傳》是以人物為綱紀(jì)，內(nèi)容涉及歷代天文、算學(xué)家的學(xué)術(shù)活動、成果和學(xué)術(shù)思想，并且對天文、算學(xué)人物及其成果給出評價，本傳的史實部分和反映編者觀點的傳論部分是被嚴(yán)格區(qū)分開來處理的。因此《疇人傳》及其續(xù)編應(yīng)當(dāng)視為數(shù)學(xué)史的早期著作。這一點已得到許多中外科學(xué)史家和數(shù)學(xué)史家的認(rèn)同。

      中國科學(xué)家葉企孫在1917年發(fā)表的《中國算學(xué)史略》一文中就指出“中國算學(xué)史，自阮文達(dá)《疇人傳》始有專書。前呼此者，其發(fā)達(dá)之跡，隱見于歷代史志及算書序言中。乃囑元和學(xué)生李銳集成四十六卷，始上古至清嘉慶，末四卷則西洋疇人傳也。” ^[7]

      數(shù)學(xué)史家李儼稱：“吾國舊無算學(xué)史。阮元《疇人傳》略具其雛形，可為史之一部而不足以概全體。”^[8]

      數(shù)學(xué)史家錢寶琮也指出：“《疇人傳》搜集了各個時期天文學(xué)、數(shù)學(xué)的史料，表揚(yáng)了專業(yè)人才的卓越成就，對于批判地接受文化遺產(chǎn)，推動科學(xué)研究的風(fēng)氣，是有積極意義的。”^[9]

      1923年，美國數(shù)學(xué)史家史密斯更是給予了高度評價：《疇人傳》是“中國數(shù)學(xué)史的最有價值的著作。” ^[10]

      英國科學(xué)史家李約瑟指出：“由于在過去非專業(yè)化時代數(shù)學(xué)往往只是某些個人的科學(xué)成就之一，該書可以算是中國書籍中一本最近乎科學(xué)史的著作。”^[11]

      《疇人傳》對清末和民國初期的學(xué)術(shù)研究產(chǎn)生了一定的影響。在《清史稿》“列傳”的分類中，除了此前二十四史原有的《儒林傳》和《文苑傳》之外，還仿其體例增列了《疇人傳》。這是天文、算學(xué)作為專門之學(xué)在晚清學(xué)術(shù)地位獲得提升的一個重要表現(xiàn)?！懂犎藗鳌芬彩敲駠鴷r期學(xué)者研究數(shù)學(xué)史的最重要的參考資料。李儼曾指出“對于中國算學(xué)史的研究，則除《疇人傳》一書，初無他項可供參考。”民國時期仍有學(xué)者按類似體例撰寫的數(shù)學(xué)史論文。以下是其中兩種：

a. 錢寶琮, “浙江疇人著述記:自宋迄清浙江天文歷法算學(xué)家的重要著作”，（《國風(fēng)》1936年8卷9、10合期）

b. 孫延釗,“浙江省疇人別記”（《浙江省通志館館刊年》1936 1卷1期、2期）

      但是《疇人傳》及其續(xù)編都還不完全是現(xiàn)代意義上的數(shù)學(xué)史研究?！懂犎藗鳌纷裱娜允乔螌W(xué)派“興復(fù)古學(xué)、昌明中法”的宗旨。這同樣也是其續(xù)編者的主要關(guān)懷。乾嘉學(xué)派的學(xué)術(shù)思想和數(shù)學(xué)觀在《疇人傳》和《續(xù)疇人傳》中得到了充分體現(xiàn)和發(fā)揚(yáng)光大。因此，《疇人傳》及其續(xù)編屬于中國傳統(tǒng)學(xué)術(shù)思想主導(dǎo)下的數(shù)學(xué)史研究工作。

      通過編史學(xué)視角的考察可以發(fā)現(xiàn)，從阮元《疇人傳》開始，數(shù)學(xué)的古今關(guān)系和中西數(shù)學(xué)的關(guān)系，成為中國數(shù)學(xué)史研究無法回避的核心性問題。阮元的數(shù)學(xué)編史工作是以如下兩個基本觀點為基礎(chǔ)的：

1）、“后世造術(shù)密于前代者，蓋集合古人之長而為之，非后人之知能出古人上也。”

2）、“西法實竊取于中國，前人論之已詳。……近來工算之士，每據(jù)今人之密而追咎古人，見西術(shù)之精而薄視中法，不亦異乎？”^[12]

對古法的崇尚和“西學(xué)中源”說是阮元《疇人傳》的立論基礎(chǔ)，體現(xiàn)了中算史學(xué)者的觀念和共有價值。從現(xiàn)在的觀點看，“西學(xué)中源”顯然有失客觀性，不符合歷史事實。但這一認(rèn)識也有積極的一面，為接受西方數(shù)學(xué)和進(jìn)行中西數(shù)學(xué)匯通工作創(chuàng)造了條件。對于數(shù)學(xué)的古今關(guān)系的認(rèn)識，需要根據(jù)具體問題具體分析，涉及知識的繼承與創(chuàng)新的關(guān)系問題。阮元對數(shù)學(xué)古今關(guān)系的認(rèn)識有其合理性，更有值得肯定之處。

阮元從事研究的目的也是要弘揚(yáng)和復(fù)興中國傳統(tǒng)算學(xué)。羅士琳則完全繼承了阮元的數(shù)學(xué)史觀，羅氏在《續(xù)疇人傳》提出的看法和主張是阮元觀念的自然延伸：

“彼歐羅巴自詡其法之精且密，妄謂勝于中法，究其所恃者不過三角、八線、六宗、三要與夫借根方、連比例諸法而已。其實所恃之諸法，又安能軼乎吾中土之天元、四元、綴術(shù)、大衍與夫正負(fù)開方、垛積招差諸法之上哉？吾愿世有實事求是之儒，甄明象數(shù)，誠能循是以求，進(jìn)臻至理，將見斯文末墜，古法大興，是又吾之原望焉，亦續(xù)補(bǔ)疇人傳之素志也夫。”^[13]

由于通過清代學(xué)者的努力，明代數(shù)學(xué)家無法理解的宋元數(shù)學(xué)方法被重新揭示出來。而明清之際傳入的西洋數(shù)學(xué)基本上屬于初等數(shù)學(xué)的范疇，與中算之天元、四元、大衍、正負(fù)開方、垛積、招差諸法相比，當(dāng)時傳入的西法并未顯示出優(yōu)越性，甚至不少方面不及中算古法。因此，羅士琳對中西數(shù)學(xué)有上述認(rèn)識和評價是不足為奇的。丁福保在其《算學(xué)書目提要》(1899年刊行) 中對此有過精準(zhǔn)的概括和評論：“統(tǒng)觀阮、羅二氏之言，皆偏袒古術(shù)，抨擊西法。蓋當(dāng)時天元、四元之術(shù)，推闡靡遺。西人借根，相形見絀，主中奴西，良有以也。”。^[14]

    羅士琳之后，解析幾何、微積分等近代數(shù)學(xué)傳入中國，諸可寶編寫《疇人傳三編》時，面對西方代數(shù)、微積分的優(yōu)勢，自然無法再談“復(fù)興古算”的宏愿。出于傳統(tǒng)算學(xué)難保的危機(jī)感和以防“中法失墜”的目的，諸可寶試圖從中西數(shù)學(xué)可以會通的立場論述中算的合理性和中西數(shù)學(xué)的互補(bǔ)性。^[15]諸可寶在曾偉烈亞力的傳論中引用偉烈亞力《數(shù)學(xué)啟蒙》序中的話作為其觀點的例證：

“《啟蒙》第二卷列開諸乘方又捷法，蓋即我秦道古（即秦九韶）書實方廉、隅、商步益翻之舊。其自記曰：'無論若干乘方，且無論帶縱不帶縱，俱以一法通之，故曰捷法。此法在中土為古法①，在西土為新法②。上下數(shù)千年，東西數(shù)萬里，所造之法，若合符節(jié)，信乎此心同此理同也。’所言如是，是非中西一揆之明徵乎。”^[16]

      《疇人傳》及其續(xù)編工作，開創(chuàng)和形成的“評傳”研究方式，成為當(dāng)時學(xué)者的“共有的范例”，起到了示范作用，可視為一種范式雛形。《疇人傳》之后，續(xù)編中不斷有新的人物和新的數(shù)學(xué)成果及其資料發(fā)現(xiàn)，研究范例不斷增加。《疇人傳》及其續(xù)編工作在相當(dāng)長一段時期得到了清代數(shù)學(xué)家和經(jīng)學(xué)學(xué)者的認(rèn)可，也反映了清代中算家與史學(xué)家的數(shù)學(xué)觀念及其對數(shù)學(xué)發(fā)展的認(rèn)識，在一定程度上形成了學(xué)術(shù)共同體的共有價值。

     《疇人傳三編》的編寫體例到敘述方式與前兩編都相一致，編史思想觀點也有著直接的繼承關(guān)系。盡管諸可寶對中西數(shù)學(xué)采用折中的態(tài)度，但著名數(shù)學(xué)家華蘅芳的學(xué)生、算學(xué)教習(xí)丁福保認(rèn)為該書“搜輯頗富，于近代算家，所述尤詳……其文筆亦頗雅馴。惟諸氏太重中算，殊非公論。蓋今之代數(shù)微積，日辟新理，天元、四元，墨守故轍，相形之下，判若天淵。如仍執(zhí)阮、羅之陳言，得母？為通人所笑。”^[17]丁福保的觀點代表了一種新的價值取向。

      晚清數(shù)學(xué)家周達(dá)對數(shù)學(xué)發(fā)展的認(rèn)識，與丁福保十分接近。周達(dá)在清末曾多次訪問日本，與日本數(shù)學(xué)家有廣泛的交往，并對日本數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)行過專門調(diào)查。他所著《日本調(diào)查算學(xué)記》（1903年）多次論及日本傳統(tǒng)數(shù)學(xué)和算，并與中算和西方數(shù)學(xué)進(jìn)行了比較。其中對和算有很高的評價：“日本有古算焉，其程度亦頗高。其所謂點竄術(shù)，天生法者，與我邦之天元、四元絕相似。惟我邦之天元術(shù)，專以位次分。彼術(shù)則兼用記號，幾近于代數(shù)矣。”但他的評價是站在近代數(shù)學(xué)的立場上做出的。周達(dá)還對日本古今數(shù)學(xué)的發(fā)展也進(jìn)行了對比和分析：“日本古算，程度頗高，疇人亦盛。寬永寶永之間，諸流競起，各立門戶，而以關(guān)流為最著。關(guān)流者，關(guān)派也，為彼國古算大家關(guān)孝和氏所創(chuàng)。關(guān)氏湛深覺學(xué)，超倫軼羣，彼邦人士崇拜之。至有算圣之目，視我邦之崇拜梅、李，尤加甚焉。當(dāng)寬寶時代，西譯未入東土。故所謂關(guān)流者，皆研究點竄圓理諸術(shù)，其深造處亦自可驚。迨至安政慶應(yīng)之間，西法東漸，始有洋算之名，與和算并行。維新以來，西算之風(fēng)大啟。士皆舍棄舊學(xué)，從事譯籍。所謂關(guān)流和算，相形之下，頓見蕭索。彼中泰斗，如岡本則錄，如長澤龜之助，皆由和算而通漢算，由漢算而通西算。”^[18]周達(dá)對明治維新后日本數(shù)學(xué)的近代化歷程已有深刻的認(rèn)識，他對于日本數(shù)學(xué)歷史與發(fā)展趨勢的描述，同樣也反映了新的數(shù)學(xué)史觀與價值取向。

      丁福保和周達(dá)等學(xué)者的觀點表明，到了19世紀(jì)末20世紀(jì)初，隨著中算的進(jìn)一步衰落，乾嘉學(xué)派及其繼承者的研究范式已難以適應(yīng)學(xué)術(shù)發(fā)展的需要，其編史方法雖然仍在應(yīng)用，但顯然已無法發(fā)揮主導(dǎo)作用，范式的轉(zhuǎn)移成為不可避免的趨勢。《疇人傳》作者及其續(xù)編者的工作雖然存在著明顯缺點和不足，但他們梳理中國傳統(tǒng)算學(xué)及其歷史的成果與考證方法，對數(shù)學(xué)史研究工作的開展起到了推動作用，成為科學(xué)史學(xué)科的重要的學(xué)術(shù)遺產(chǎn)，為中國數(shù)學(xué)史學(xué)科的建立打下了基礎(chǔ)。20世紀(jì)初期中國數(shù)學(xué)史的系統(tǒng)研究也正是以此為基礎(chǔ)展開的。

三、數(shù)學(xué)史研究在中國的興起：“實證”研究范式主導(dǎo)下的學(xué)科構(gòu)建

      現(xiàn)代意義上的中國數(shù)學(xué)史研究，興起于20世紀(jì)前期。通過李儼（1892-1963）、錢寶琮（1892-1974）和嚴(yán)敦杰（1917-1988）等一批杰出學(xué)者的努力開拓，使中國數(shù)學(xué)史在中國成為一個專門的研究領(lǐng)域。

      李儼、錢寶琮與日本數(shù)學(xué)史家三上義夫(1875—1950年)同為中國數(shù)學(xué)史研究領(lǐng)域的開創(chuàng)者。李、錢之前的中國數(shù)學(xué)史，雖有《疇人傳》及其續(xù)編，但遠(yuǎn)未成為一門系統(tǒng)性的學(xué)問。不僅對中國數(shù)學(xué)發(fā)展、演變的過程與特征及其與社會背景的關(guān)系等綜合性問題沒有展開討論，就是典籍文獻(xiàn)資源的搜集和史實的考證方面工作的也遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足發(fā)展一個學(xué)科史的要求。葉企孫先生早在1917年就指出了《疇人傳》及其續(xù)編的局限性：“續(xù)阮氏書者有羅士琳、諸可寶、華世芳三家，羅、諸二家于體例無變，華氏則略變之。然皆以個人為主，而一時代之精神不可見。況天文、算學(xué)家，二者相雜。源流進(jìn)退，反失其真。”^[19]李儼先生也有類同的認(rèn)識。他在1928年寫的一篇數(shù)學(xué)史工作總結(jié)性的文章中指出：

 “學(xué)者雖熟讀此六十萬的大著，而于中算源流還是無所多得。且晚近數(shù)十年算家續(xù)著的書和新發(fā)現(xiàn)史料，亦將如諸、黃之定例，勉強(qiáng)贗編呢？或是翻昔日的成案，而重編一本算史呢？近十年來，有志于后說的，有李儼、錢寶琮、裘沖曼、嚴(yán)敦杰諸人。”^[20]

      有鑒于此，李、錢諸人沒有再走《疇人傳》的老路，而是采用新的思路和研究方法重新編寫中國數(shù)學(xué)史。他們一方面開展了中算文獻(xiàn)典籍資源的調(diào)查、發(fā)掘工作，另一方面以西方近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)為參照系對中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)進(jìn)行整理、研究。他們的工作首先是要弄清古代數(shù)學(xué)成果的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和意義，并“翻譯”為現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言；之后再按數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史順序加以排列，不以人為綱，編寫中國數(shù)學(xué)史著作。

      李、錢等中國學(xué)者致力中國數(shù)學(xué)史的研究，與國外學(xué)者的數(shù)學(xué)史研究工作也有直接的聯(lián)系。李儼在1917年發(fā)表的《中國算學(xué)史余錄》中談到他最初從事中國數(shù)學(xué)史研究的起因：一是有感于中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)“漸就淪亡”，另外讀了歐洲人關(guān)于中國算學(xué)的論著，“深嘆國學(xué)墮亡，反為外人所拾”。他又提到，因“看過一篇日本人說述中國算學(xué)的論文”而受到了激勵^[21]。在他的親筆自傳中也有類似記述：“我看過一篇日本人說述中國算學(xué)的論文，我十分感動和慚愧，以為現(xiàn)在中國人如此不肖，本國科學(xué)（特別是算學(xué)）的成就，自己都不知道，還讓他們?nèi)フf，因立志同時要修治中算史。” ^[22]錢寶琮曾留學(xué)歐洲，1911年畢業(yè)于英國伯明翰大學(xué)。他在伯明翰讀書期間就讀過英國劍橋大學(xué)教授鮑爾（W. W. Rouse Ball）的《數(shù)學(xué)簡史》（A Short Account of theHistory of Mathematics）一書，并因此“對數(shù)學(xué)的發(fā)展史頗感興趣”，同時也“有遺憾”，因為“這本書沒有講到中國人在數(shù)學(xué)方面有任何貢獻(xiàn)”③。鮑爾書中也涉及到了中國數(shù)學(xué)，但他對中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)缺乏了解，認(rèn)為中國人在數(shù)學(xué)上沒有多少值得稱道的成就。他指出；“就我所知，古代中國人所熟悉的唯一幾何定理是在某些特例（三邊之比為3:4:5或1:1:√2）中直角三角形斜邊上的正方形面積等于兩條直角邊上的正方形面積之和。一些可以通過半試驗疊置方法證明的幾何定理幾乎不可能也為他們所知。在算術(shù)方面，他們似乎只有利用算盤進(jìn)行計算的技術(shù)以及在書寫上表達(dá)結(jié)果的能力。” ^[23]顯然，國外學(xué)者已開展的數(shù)學(xué)史工作，對李、錢開展中國數(shù)學(xué)史的研究有直接的刺激或激勵作用。

      實際上，此前法國數(shù)學(xué)史家蒙蒂克拉(Ｊ.Ｅ.Ｍontucla,1725～1799)所寫的《數(shù)學(xué)史》，已有中國數(shù)學(xué)史的章節(jié)，但他主要從18世紀(jì)來華耶穌會士的著作中了解到少部分中國天文與計算方面的知識，因此只介紹了簡單測量方法、勾股定理和三角計算等內(nèi)容。蒙氏認(rèn)為“唯有從天文學(xué)上，中國人能獲得一些榮譽(yù)”。^[24]早期對中國數(shù)學(xué)有了深入了解的西方學(xué)者是英國傳教士、漢學(xué)家偉烈亞力(Ａ.Ｗylie,1815～1887) 。他于1852年在上海英文周報《北華捷報》上發(fā)表了著名論文《中國科學(xué)札記：數(shù)學(xué)》,首次比較全面介紹了包括《算經(jīng)十書》在內(nèi)的中國數(shù)學(xué)文獻(xiàn)以及位值制、勾股術(shù)、大衍術(shù)、天元術(shù)、四元術(shù)、高次方程數(shù)值解等中國數(shù)學(xué)的重要成就和世界意義,反駁西方出版物中關(guān)于中國數(shù)學(xué)的錯誤說法。但與偉烈亞力對不帶偏見的評介不同，當(dāng)時多數(shù)西方學(xué)者，受當(dāng)時科學(xué)史上的“西方中心論”錯誤觀點的影響，以及語言上的限制，對中國數(shù)學(xué)的評價很不客觀。其中最具代表性的是比利時的來華傳教士學(xué)者赫師慎（Pere Louis Van Hée,1873－1951），赫氏通曉中文，從1911年就開始也有中算史論文發(fā)表，對西方學(xué)界有較大的影響。赫師慎對中國古代影響重要成果的原創(chuàng)性和獨創(chuàng)性都予以否認(rèn)，如《隋書·律歷志》記載了祖沖之的圓周率355/113，《疇人傳》中引用了這一記載，但他聲稱：“梅修斯（指荷蘭數(shù)學(xué)家A. Anthoniszoon, 1543～1620）于1585年求得這個值；另外，通過耶穌會士，梅修斯也為中國人所知。難道就沒有可能，一些抄寫者受愛國之心驅(qū)使，在這些早期著作的后來版本中插入這樣的說法？”^[25]由于赫氏和許多西方學(xué)者對中國古代數(shù)學(xué)成就持有偏見，缺乏深入的分析和系統(tǒng)的考察，對中國數(shù)學(xué)史的研究貢獻(xiàn)不大。最早對中國數(shù)學(xué)史研究做出系統(tǒng)性研究和開拓性貢獻(xiàn)的外國學(xué)者，是三上義夫等日本數(shù)學(xué)史家。他們對李、錢等中國學(xué)者有更大的影響。

       三上義夫先生也早在1905年前后即有關(guān)于中國數(shù)學(xué)的論文發(fā)表，后來陸續(xù)有大量的有關(guān)中國數(shù)學(xué)史的論著發(fā)表，如早期在《數(shù)學(xué)世界》等雜志上發(fā)表了一系列研究中國數(shù)學(xué)史的專題文章。他還以英文撰寫了第一部在西方出版的東亞數(shù)學(xué)之專著---《中日數(shù)學(xué)的發(fā)展》（The Development of Mathematics in China and Japan,Leipzig:Teubner,1913），該書被西方學(xué)者廣泛引用。李、錢等中國學(xué)者對三上義夫等日本學(xué)者的相關(guān)研究是相當(dāng)了解的。李儼所稱的“日本人說述中國算學(xué)的論文”，就是三上義夫的論文。李儼與三上義夫本人很早就建立了聯(lián)系，他給三上義夫的第一封信寫于1914年8月17日，信中寫道：“前于《數(shù)學(xué)世界》上仰讀大著，敬悉足下究心中算，深佩莫明。”^[26]李、錢與三上義夫和小倉金之助(1885—1962年)等日本數(shù)學(xué)史家也有密切的學(xué)術(shù)交往。早在1917年，三上義夫曾以足本《楊輝算法》寄贈李儼。足本《楊輝算法》中國當(dāng)時只有殘本。三上義夫所著數(shù)學(xué)史論文自1920年起即陸續(xù)寄送李、錢二人。小倉金之助大約從1930年開始與他們建立了學(xué)術(shù)聯(lián)系。④李儼一直非常重視中日數(shù)學(xué)交流史和日本數(shù)學(xué)史，晚年還將主要精力轉(zhuǎn)向?qū)退闶返难芯?，?yīng)當(dāng)說與日本學(xué)者的影響不無關(guān)系。

       李儼與美國數(shù)學(xué)史家史密斯(D. E. Smith，1860～1944)也很早就建立了聯(lián)系。在美國哥倫比亞大學(xué)珍本與手稿本圖書館的“史密斯文庫”中，仍然保存有1915至1917 李儼與史密斯的學(xué)術(shù)通信10余封。在自然科學(xué)史研究所李儼圖書館也藏有李儼致史密斯的信函草稿5通和史密斯致李儼的信札3通。在這些通信的中心內(nèi)容，是協(xié)商合作編寫一部“中國數(shù)學(xué)史”并用英文發(fā)表的計劃。史密斯曾有與撰寫《中國數(shù)學(xué)史》。李儼開始計劃寫一部分為上古、中古和近古的三卷本數(shù)學(xué)史，史密斯則考慮到只有一卷的篇幅才能找到出版商，便把合作提綱調(diào)整壓縮為一卷。李儼大約于1916年寫出了漢文稿的大部分。1917年2月28日李儼致史密斯的信說：“關(guān)于《中國數(shù)學(xué)史》的英文翻譯，我和我的朋友正在做，前三部分（引論，古代，中世紀(jì)）的中文部分已完成，并已把它寄到茅以升（Thomson Mao）處，他是康乃爾大學(xué)的博士后研究生，譯稿將直接寄給你。”^[27]李儼在《中國算學(xué)史余錄》中也談到此事：史密斯“復(fù)與吾共編英文《中國算學(xué)史》，以新歐美人士之目，擬即簡約漢文原本，移譯成文。更復(fù)益以博士歷年搜求之材料。主譯事者為茅君唐臣、斐君季豪、曹君覺民。最近目錄初經(jīng)脫稿，而全書出世尚需時日。”茅以升后來托一位朋友把譯稿帶給了史斯密。李儼與史密斯的合作后來沒有進(jìn)行下去，他的這本數(shù)學(xué)史也沒有發(fā)表，但后來經(jīng)過刪節(jié)修改，以《中國數(shù)學(xué)源流考略》之名，于1919、1920年在《北京大學(xué)月報》分三期連載發(fā)表。從史密斯最后給李儼的信可知，他認(rèn)為數(shù)學(xué)史英文譯稿與他的設(shè)想和期望有較大差距。主要問題是其中缺少中國數(shù)學(xué)典籍中“精彩論述的準(zhǔn)確翻譯”，而史密斯希望“讀者能夠直接接觸原始文獻(xiàn)”；此外譯稿對人物信息交代不夠，且事跡的敘述不精確，人名的音譯也存在問題。^[28]李儼與史密斯的合作的失敗，可能對其后來對李儼的研究工作有較大影響，使他更加注重原始文獻(xiàn)的搜集、整理和文獻(xiàn)依據(jù)可靠性的考證。

      李儼、錢寶琮開始從事中國數(shù)學(xué)史研究時，正是“歐洲中心論”在西方盛行時期，他們的工作要面對西方學(xué)者對中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的懷疑和偏見。所以，以李、錢為代表的中國學(xué)者從20世紀(jì)10年代開始開展的中國數(shù)學(xué)史研究，是以文獻(xiàn)典籍資源的深入調(diào)查與整理研究為中心展開的。他們盡可能搜集、搶救中算古籍，有計劃地開展若干重要專題研究進(jìn)行與重大問題的歷史考證，完成了一系列經(jīng)典的研究范例工作，形成了注重實證研究的范式，同時在中國數(shù)學(xué)教育史、中國數(shù)學(xué)思想史、中外數(shù)學(xué)交流史等方向都有出色的研究成果，通過一系列開拓性的工作構(gòu)建了中國數(shù)學(xué)史的學(xué)科知識體系。

      20世紀(jì)10年代末至30年代后期，是李儼、錢寶琮進(jìn)行中國數(shù)學(xué)史研究的高峰時期。統(tǒng)計收入《李儼錢寶琮科學(xué)史全集》的數(shù)學(xué)史論文，可以發(fā)現(xiàn)，到1937年，李儼發(fā)表47篇，多數(shù)是高質(zhì)量的專題論文或新史料的披露。李儼發(fā)表的論文，經(jīng)過多次修訂，由他自編為《中算史論叢》(一)～(四)集，由商務(wù)印書館出版（1928～1937年）。李儼所著的綜合性成果包括通俗著作《中國算學(xué)小史》（商務(wù)印書館，1930）和通史性專著《中國數(shù)學(xué)大綱》上冊（商務(wù)印書館于1931年）、《中國算學(xué)史》(商務(wù)印書館，1937年)。它們都是按時代先后順序編寫的中國數(shù)學(xué)史著作。其中《中國算學(xué)史》一書，流傳頗廣，影響較大。此書很快被譯成日文出版(東京生活社，1940年)，譯者為島本一男、藪內(nèi)清。

李儼在1937年發(fā)表的“怎樣研究中國算學(xué)史？”一文，還對中國數(shù)學(xué)的編史觀念和方法做了專門闡述：

 “中國算學(xué)在世界有千余年之歷史，中國國民對于中國算學(xué)之歷史自要深切詳知。此種研究結(jié)果，足以證明中華民族對于算數(shù)，實具有素養(yǎng)，自可進(jìn)而研究近代科學(xué)，不復(fù)自外，更進(jìn)而期望以中華民族文化貢獻(xiàn)于全世界。十九世紀(jì)以來，國外算學(xué)史，作者如林，學(xué)校亦研習(xí)算學(xué)史，蓋欲學(xué)者深開先啟后之源，日求所以精進(jìn)之道。吾國維新以前，學(xué)者困于科舉，維新以后，旁徨歧路，無所適從。今則欲求自強(qiáng)，應(yīng)研治科學(xué)，已為國中論定問題，而自然科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)，實均以算學(xué)為首要，我國國民宜深知研究中算，實為刻不容緩之事。日本維新之時，眾棄一切舊學(xué)，但進(jìn)至現(xiàn)在，則中小學(xué)教員及多數(shù)學(xué)者仍有深治'和算’之愿， 該國'歷算書復(fù)刻刊行會’及'古典數(shù)學(xué)書院’已翻印日文舊算書多種，以供應(yīng)用。即在中國現(xiàn)時亦已經(jīng)有數(shù)十種中算書，及數(shù)部中算史書，可備觀覽，而中算史中尚待研究之問題，尚不在少數(shù)，則略述研究中算及中算史之方法，亦當(dāng)為學(xué)者所樂聞也。”^[29]

      他是從國際視野理解和認(rèn)識中國數(shù)學(xué)史研究的意義和價值的。對于數(shù)學(xué)史的研究方法，李儼概括為四個步驟：

“第一，勤治西算。現(xiàn)在研治西算比較數(shù)十年前容易，高中、初中學(xué)生，如于算學(xué)功課勤于治理便是一種良好的基礎(chǔ)，即未在校者，從事此道亦非難事，所謂天下無難事，只怕心不專。有了此項志愿，欲于算學(xué)有所貢獻(xiàn)，必要再讀算學(xué)史，以便知道古今算學(xué)進(jìn)化之歷程，其中何種已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，何種尚待研討。

第二，閱讀書籍。閱讀為精進(jìn)之源，所治一事，必博讀群書，則理勢宜然。但世界典籍汗牛充棟，必也分別輕重，布置先后，認(rèn)定某種應(yīng)精讀，某種應(yīng)細(xì)讀，某種應(yīng)檢閱，某種應(yīng)在某種范圍內(nèi)批閱，則其事自易既經(jīng)讀過，再別記錄保存，用備研討。今以中算史為例，其已出版之中算史及譯本算學(xué)史，自宜細(xì)讀，其次則于讀書之時，并留心中算史事有聞必錄，遇事迭記，終年累月，自多進(jìn)益。

第三，選定題目。閱讀既富，修養(yǎng)充足，欲進(jìn)而有所研討，則宜選定與自己學(xué)力相近之題目。題目既經(jīng)選定，則將以前讀書答記所得，及訪問所及，加以分類，其視為不足者再加以補(bǔ)充，并察看此類題目，前人已否論過其所論之程度如何，作為自己作文之參考，如題目簡單，則加以并合，便成有系統(tǒng)之論述。

第四，整理舊文。題目既經(jīng)選定，或未經(jīng)選定，研讀之余，應(yīng)以科學(xué)方法隨時整理，分門別類，或用冊，或用卡片，不厭求詳，不求急就，一年不足，期以十年，十年不足，期以終身，為學(xué)方法，盡于是矣。”^[30]

李儼是站在世界科學(xué)文明史的高度考察中國數(shù)學(xué)發(fā)展的，且把數(shù)學(xué)史視為“古今算學(xué)進(jìn)化之歷程”，即由原始的萌芽狀態(tài)逐步形成古代數(shù)學(xué)，再進(jìn)一步發(fā)展演變成近現(xiàn)代數(shù)學(xué)。他的編史學(xué)思想與《疇人傳》及其續(xù)編反映的觀念，有著根本性的不同。

錢寶琮先生從事中國數(shù)學(xué)史研究始于1919年“五四運(yùn)動”時期。他在自傳材料手稿中寫道：“1919年我在蘇州當(dāng)中學(xué)教員，'五四運(yùn)動’以后受了胡適等提倡的'整理國故’的影響，開始研究中國古代數(shù)學(xué)的書籍，閱讀稍有心得后就寫了幾篇論文，在《學(xué)藝》《科學(xué)》等雜志上發(fā)表。到抗日戰(zhàn)爭時期，我已發(fā)表過十多篇數(shù)學(xué)史論文，四五篇天文學(xué)史論文。那時我認(rèn)為中國科學(xué)史是中國文化史的一部分，也是世界文化史的一部分。…研究古代數(shù)學(xué)書或天文書，必須經(jīng)過仔細(xì)的?？焙头爆嵉目甲C。……”他在1928年夏所寫《古算考源》序中稱：“寶琮年二十，略知西算。任教江蘇工業(yè)學(xué)校時，偶由書肆購得中國算學(xué)書數(shù)種。閱之，頗有興趣，遂以整理中國算學(xué)史為己任，顧頭緒紛繁，會通匪易。乃先就分科探討，稍有心得，輒復(fù)著書。民國十年春成《九章問題分類考》《方程算法源流考》《百雞術(shù)源流考》《求一術(shù)源流考》《記數(shù)法源流考》五篇。十一年復(fù)成《朱世杰垛積術(shù)廣義》一篇，俱送登《學(xué)藝》雜志。”^[31]

他在1921年一年就發(fā)表五篇高水平的數(shù)學(xué)史論文：“九章問題分類考”（《學(xué)藝》1921年5月），“方程算法源流考”（《學(xué)藝》1921年6月）”，“百雞術(shù)源流考”（《學(xué)藝》1921年7月）“求一術(shù)源流考”（《學(xué)藝》1921年8月），“記數(shù)法源流考”（《學(xué)藝》1921年10月），第二年又完成“朱世杰垛積術(shù)廣義”（《學(xué)藝》1923年1月）。他對《九章》分類問題的研究、對各種算法源流的考證都是經(jīng)典的范例，至今仍有十分重要的參考價值。而對朱世杰垛積術(shù)的闡釋研究，獲得多個組合恒等式，并將一個卷積型組合恒等式表述為現(xiàn)代形式，這一成果經(jīng)科學(xué)史家喬治·薩頓和李約瑟的介紹，被西方現(xiàn)代數(shù)學(xué)家接受，成為現(xiàn)代組合計數(shù)理論的一個基本公式“朱世杰-范德瓦爾登公式（the Chu-Vandemonde formula）”的命名依據(jù)。^[32]六篇論文發(fā)表后，產(chǎn)生了很大的影響，中華學(xué)藝社將將其集為《古算考源》一書，交由商務(wù)印書館于1930 年出版發(fā)行?！豆潘憧荚础泛芸焓垠?，商務(wù)館又重新排版，于1933 年和1935 年兩度再版。

他在二、三十年代發(fā)表的代表作品還有:

1.中國算書中之周率研究，《科學(xué)》第8卷第2期和第3期(1923年2月、3月)。

2.中西音律比較說，《學(xué)藝》第6卷6期（1924年12月）。

3.印度算學(xué)與中國算學(xué)之關(guān)系，《南開周刊》第1卷第16號（1925年12月）。

4.《九章算術(shù)》盈不足術(shù)流傳歐洲考，《科學(xué)》第12卷第6期(1927年6月)。

5.周髀算經(jīng)考，《科學(xué)》第14卷第1期(1929年9月)。

6.孫子算經(jīng)考，《科學(xué)》第14卷第2期(1929年10月)。

7.夏侯陽算經(jīng)考，《科學(xué)》第14卷第3期(1929年11月)。

8.中國古代大數(shù)紀(jì)法考，《文理》1930 年第1期。

9.梅勿庵先生年譜，《國立浙江大學(xué)季刊》第1卷第1期（1932年1月）

10.太一考，《燕京學(xué)報》1932 年第。12期

11.漢均輸考，《文理》1933 年第4期。

11.戴震算學(xué)天文著作考，《浙江大學(xué)科學(xué)報告》第1卷第1期（1934年1月）。

12.新唐書歷志?？庇洠墩憬×D書館館刊》1935 年第4卷第6期。

13.唐代歷家奇零分?jǐn)?shù)紀(jì)法之演進(jìn)，《數(shù)學(xué)雜志》1936 年第1卷 第1期。

14.汪萊《衡齋算學(xué)》評述，《國立浙江大學(xué)科學(xué)報告》1936年第2卷第1期。

15.百納本書歷志校勘記，《文瀾學(xué)報》1937年第2卷第1期.

16.浙江疇人著述記，《文瀾學(xué)報》1937年第3卷第1期（1936年曾在《國風(fēng)》上發(fā)表）。

17.中國數(shù)學(xué)中之整數(shù)勾股形研究，《數(shù)學(xué)雜志》1937年第1卷第3期。

18.曾紀(jì)鴻《圓率考真圖解》評述，《數(shù)學(xué)雜志》1939年第2卷第1期。

在開展專題研究取得初步成果后，錢寶琮也開始關(guān)注綜合性問題，并著手編撰中國數(shù)學(xué)史的通史著作。這一工作又與他在大學(xué)開設(shè)中國數(shù)學(xué)史課程和編寫講義是結(jié)合在一起的，起到了相輔相成的作用。他在1927年4月29日給李儼的信中，對綜合研究與通史的重要性做了透徹的論述，對他已開展的工作也有較詳細(xì)的介紹：

 “樂知先生：八年前于《北大月刊》，得讀大著，欣慰無已！琮之有志研究中國算學(xué)，實是足下啟之。數(shù)年以來，考證古算，得有寸進(jìn)，皆足下賜之。……琮十年以來，從事搜集中國算學(xué)史料，為寫中國算學(xué)發(fā)展史之預(yù)備。最初以為中國算學(xué)，頭緒紛挐，宜由分科研究入手。故有《方程術(shù)》、《百雞術(shù)》、《求一術(shù)》、《計數(shù)法》、《周率研究》等篇，錄登《學(xué)藝》雜志及《科學(xué)》雜志，以提倡中國算學(xué)史料之考證。繼以算學(xué)全史不甚明了，則所述各科源流，支離割裂，不能免誤。琮以前在《學(xué)藝》發(fā)表諸文，今日再為覆視，覺遺漏及武斷處甚多。皆宜再事修正。故近年有所撰述，皆未發(fā)表。最近以科學(xué)社及南開大學(xué)理科之要求，勉將《九章算術(shù)盈不足術(shù)傳入歐洲考》及《明以前中國算書中之代數(shù)術(shù)》二篇分別送出，不久當(dāng)可公諸同好也。嘗讀東、西洋學(xué)者所述中國算學(xué)史料，遺漏太多，于世界算學(xué)之源流，往往數(shù)典忘祖。吾儕若不急起撰述，何以糾正其誤！以是琮于甲子年在蘇州時，即從事于編纂中國算學(xué)全史。在盧永祥、齊燮元內(nèi)戰(zhàn)期內(nèi)撰成《中國算學(xué)史》十余章。乙丑秋來此間教讀。理科學(xué)生有愿選讀中國算學(xué)史者，琮即將舊稿略為整理，絡(luò)續(xù)付油印本為講義。每星期授一小時，本擬一年授畢全史。后以授課時間太少，不克授畢。故講義只撰至明末，凡十八章，印就者只十六章，余兩章雖已寫成，而未及付印。第十七章述《宋元明算學(xué)與西域算學(xué)之關(guān)系》，其細(xì)目為兩宋時印度算學(xué)之采用、波斯、亞拉伯算學(xué)略史、元明時代西域人歷算學(xué)、金元算學(xué)未受亞拉伯算學(xué)之影響等。第十八章為《元明算學(xué)》。其細(xì)目為趙友欽與瞻思、珠算之發(fā)展、數(shù)碼之沿革、明代歷算學(xué)、寫算術(shù)等。至于自明末以后之算學(xué)史，則擬分寫：第十九章《明清之際西算之傳入》，第二十章《中算之復(fù)興》，第二十一章《杜德美割圓九術(shù)》，第二十二章《項名達(dá)與戴煦》，第二十三章《李善蘭》，第二十四章《白芙堂叢書》，第二十五章《光緒朝算學(xué)》?，F(xiàn)正搜集史料，暇當(dāng)從事編輯也。”⑤

圖2 錢寶琮1927年4月29日致李儼先生的親筆信

       從這封信可知，早在1924年錢寶琮就開始“從事于編纂中國算學(xué)全史”的工作，而且在當(dāng)年9、10月時已撰成“《中國算學(xué)史》十余章”。1925年至1926年，他又在南開大學(xué)編成《中國算學(xué)史》講義，作為中國數(shù)學(xué)史課程的教材，陸續(xù)付?。ㄓ陀”荆?/span>

       這部南開的授課講義后來受到地質(zhì)學(xué)家丁文江的關(guān)注。1929年，錢寶琮的講義被“老友丁文江借去作參考”，丁氏研讀之后，大為贊賞。不久，丁文江將講義交給了中央研究院歷史語言研究所所長傅斯年，建議由該所正式出版，很快得到傅斯年的認(rèn)可。1932年，《中國算學(xué)史》上卷作為中央研究院歷史語言研究所學(xué)術(shù)著作單刊甲種之六正式出版，商務(wù)印書館發(fā)行。該書一出版，即引起學(xué)術(shù)界的關(guān)注，受到好評。1933 年6 月出版的《燕京學(xué)報》第13期，發(fā)表了魏建猷撰寫的書評，在對《中國算學(xué)史》（上卷）內(nèi)容和特色做了全面介紹和概括。魏建猷最后指出：“綜觀上述，本書在種種方面均有其獨得之處，實為精心結(jié)構(gòu)之作，非一般流行作品可比也。” ^[33]該書在上世紀(jì)三、四十年代，也成為在中外有影響廣泛的中國數(shù)學(xué)史專著。

       上世紀(jì)三十年代中期，李、錢二人的工作獲得了數(shù)學(xué)界、史學(xué)界和教育界的高度認(rèn)可。縱觀李、錢的研究工作及其影響，可以看到，到全面抗戰(zhàn)開始時的1937年，中國數(shù)學(xué)史家已完成許多專題與案例研究工作，不僅形成了眾多有示范作用的研究范例，而且基本上搞清楚了中國數(shù)學(xué)發(fā)展的整體面貌，構(gòu)筑了中國數(shù)學(xué)史學(xué)科的基本框架與知識體系，形成了成熟的研究方法和新的研究范式。就知識體系的建構(gòu)來說，中國數(shù)學(xué)史已經(jīng)成為一個穩(wěn)定發(fā)展的學(xué)科。同時，也不斷有新的學(xué)者開始從事相關(guān)研究工作。其中關(guān)于中算中的圓周率的研究，成為相當(dāng)長一段時期研究的焦點，有許多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究，李儼、茅以升和錢寶琮都有重要的成果，不少研究成為經(jīng)典的范例。如1936年，嚴(yán)敦杰加入了數(shù)學(xué)史研究者的行列，他的第一項具有范例性的出色工作就是關(guān)于祖沖之的圓周率研究。^[34]三上義夫?qū)@一時期中國學(xué)者的數(shù)學(xué)史研究也給予高度評價，他在1934年發(fā)表的《中國思想·科學(xué)（數(shù)學(xué)）》一文（見巖波書店出版的東洋思潮系列『東洋思想の展開』第3卷）中指出，李儼、錢寶琮、張蔭麟、茅以升等人才輩出，他們的研究工作旁征博引，不斷開拓進(jìn)取，使中國數(shù)學(xué)史的研究漸入佳境。^[35]

       1937年開始，全面抗戰(zhàn)的爆發(fā)，使數(shù)學(xué)史的研究條件變得十分艱難，中國數(shù)學(xué)史的研究進(jìn)入低潮時期。抗日戰(zhàn)爭勝利后，又進(jìn)入解放戰(zhàn)爭時期，研究條件依然艱苦。而李儼、錢寶琮、嚴(yán)敦杰等學(xué)者沒有中斷數(shù)學(xué)史的研究，一直為發(fā)展中國數(shù)學(xué)史學(xué)科而努力工作。但在1938年至1949年十余年時間，李、錢二人發(fā)表的論文比前十年明顯減少。而在這一時期，嚴(yán)敦杰先生發(fā)表了20余篇數(shù)學(xué)史文章^[36]，成為當(dāng)時中國數(shù)學(xué)史研究的后起之秀。

新中國成立后，中國已具備了從事職業(yè)數(shù)學(xué)史和科學(xué)史研究的條件，李、錢二人分別于1955年和1956年調(diào)入中國科學(xué)院歷史研究所專門從事數(shù)學(xué)史的研究。1957年中國科學(xué)院中國自然科學(xué)史研究室 (中國科學(xué)院中國自然科學(xué)史研究所前身)成立，李、錢和嚴(yán)敦杰成為該室專職研究人員，錢寶琮任新創(chuàng)刊學(xué)術(shù)雜志《科學(xué)史集刊》主編，李儼出任研究室主任，直至逝世。他們?yōu)閿?shù)學(xué)史、科學(xué)史在中國的建制化做出了貢獻(xiàn)。同時一批年輕學(xué)子在五、六十年代也陸續(xù)加入了中國數(shù)學(xué)史研究者的行列，除了自然科學(xué)史研究所有杜石然、何紹更、梅榮照、郭書春加盟外，李迪、沈康身、白尚恕等一批大學(xué)教師也進(jìn)入到數(shù)學(xué)史研究隊伍。李、錢的帶領(lǐng)或影響下，他們先后在專題、斷代史方面完成了許多出色的研究工作，推進(jìn)了中國數(shù)學(xué)史學(xué)科的發(fā)展，為中國的數(shù)學(xué)史研究事業(yè)的繁榮貢獻(xiàn)了力量。

       到了50年代，李儼又對《論叢》進(jìn)行了增刪和調(diào)整，重新編成《中算史論叢》1～5集，由科學(xué)出版社出版(1954—1955)。《中算史論叢》比較集中地反映了李儼在中國數(shù)學(xué)史研究工作中的各方面成果?！吨袊鴶?shù)學(xué)大綱》上冊，是商務(wù)印書館于1931年出版的；1958年，李儼又出版上冊的修訂本和下冊(科學(xué)出版社)。專題性著作有《中算家的內(nèi)插法研究》（科學(xué)出版社，1957年）和《十三、四世紀(jì)中國民間數(shù)學(xué)》等。

       錢寶琮也開始組織研究室數(shù)學(xué)史專家重新編撰通史著作《中國數(shù)學(xué)史》（錢寶琮主編），該書由錢寶琮與杜石然、梅榮照、嚴(yán)敦杰共同完成編寫工作，1964年由科學(xué)出版社出版。這部通史著作一直寫到1911年，可以說是幾十年來中國數(shù)學(xué)史研究的總結(jié)性工作。錢寶琮校點的《算經(jīng)十書》（1963，中華書局），首先破除了對乾嘉學(xué)派代表人物戴震的迷信，改正了戴震的許多校勘錯誤。他對十種算經(jīng)的內(nèi)容及其年代的考證，絕大多數(shù)都經(jīng)得起時間的考驗?？梢哉f是他數(shù)十年來校勘工作的重大成果之一。1966年出版的《宋元數(shù)學(xué)史論文集》（錢寶琮主編，科學(xué)出版社），是中國數(shù)學(xué)史斷代研究方面的突破性成果。此外，錢寶琮對數(shù)學(xué)思想史的研究也取得了重要成果。李、錢二人用了半個多世紀(jì)的時間，為中國數(shù)學(xué)史這一學(xué)科奠定了堅實的基礎(chǔ)，他們主導(dǎo)的編史實踐確立中國數(shù)學(xué)史的范式，使其成為一門成熟的學(xué)科。他們的編史觀念雖然與《疇人傳》作者及其續(xù)編者有根本的不同，但并不是對前人工作的全盤否定，而且還有很多繼承。如李儼在1947 年寫給嚴(yán)敦杰信的中稱“《珠算の知識》及《算盤來歷考》二文, 未知尚有何新史料, 便乞示知。日史家治史  不如乾嘉諸老之嚴(yán)密。如采用該文, 尚須多加審核。”^[37]他認(rèn)為當(dāng)時日本學(xué)者治史嚴(yán)謹(jǐn)性存在不足，而乾嘉學(xué)派的治學(xué)方法更為嚴(yán)密。對于乾嘉學(xué)派的考據(jù)方法和實證研究范例，他們不僅多有繼承，還有進(jìn)一步的拓展。重視文獻(xiàn)典籍和史料證據(jù)是李、錢二人的共同特點，文獻(xiàn)學(xué)方法是二人的基本方法，這在相當(dāng)程度上也是對乾嘉學(xué)派治學(xué)方法的繼承，當(dāng)然他們又有許多新的拓展和超越。李、錢二人在編史觀上，都十分注重實證。但在編史實踐中，二人處理問題的方式略有差異。如果說李儼先生擅長于目錄學(xué)與版本學(xué)，那末錢寶琮先生則擅長于?？睂W(xué)與版本學(xué)，李儼先生偏重數(shù)學(xué)史資料的整理、史料考訂，錢寶琮先生則偏重數(shù)學(xué)史實和算法源流的考證與內(nèi)容分析。此外，強(qiáng)調(diào)采用近現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法整理、驗證和分析傳統(tǒng)數(shù)學(xué)成果也是二人治學(xué)的共同特點。李儼的編史觀是以史料為中心的，其特點是：以史料的發(fā)掘和整理為出發(fā)點，以信史為追求目標(biāo)，盡量直接利用可信的史料構(gòu)筑和闡述歷史，信以傳信、疑以傳疑，避免在史料之外作過多的推衍。^[38]李儼先生對史料文獻(xiàn)工作重視，還表現(xiàn)在他本人在史學(xué)史研究、史料整理和編目工作方面的用功極勤，除了算學(xué)源流的清理和事實的考證工作外，他編有多種算學(xué)書目、研究論文目錄、年表、年譜、人物生卒年表。為中國  數(shù)學(xué)史研究者帶來了極大的便利。^[39]錢寶琮先生則多采用史料與算理分析結(jié)合的方式，常提出有啟發(fā)性的看法，或推導(dǎo)出較為合理的結(jié)論。此外，錢寶琮重視數(shù)學(xué)思想史的研究，努力探討影響中國數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在和外在因素，特別是社會思潮和哲學(xué)思想對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響，開拓了新的方向，為進(jìn)一步開展相關(guān)研究打下了基礎(chǔ)。

四、數(shù)學(xué)史研究的拓展與深化：對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)再認(rèn)識的“復(fù)原”范式

       正當(dāng)中國數(shù)學(xué)史的研究被引向深入之時，在中國爆發(fā)了史無前例的“文化大革命”，導(dǎo)致了科學(xué)文化大災(zāi)難。由于“文革”期間的動亂和李、錢兩位先生相繼去世，20世紀(jì)60年代中期至70年代中期中國數(shù)學(xué)史的研究也處于停頓狀態(tài)。70年代后期，中國數(shù)學(xué)史的研究得以恢復(fù)和發(fā)展。

       20世紀(jì)70年代是中國數(shù)學(xué)史研究的的一個低谷，當(dāng)數(shù)學(xué)史家們以極大熱情重新投身于研究工作時，則發(fā)現(xiàn)中國數(shù)學(xué)史的一些富礦資源似乎都被開發(fā)過了。按傳統(tǒng)的看法，一些重要的史料與問題，李儼、錢寶琮、嚴(yán)敦杰等前輩大都已解決了。最主要的數(shù)學(xué)成果已用現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識做出了說明、驗證和解釋，并被“翻譯”成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言。大量的文獻(xiàn)典籍和相關(guān)資料已被發(fā)掘和整理，而他們留下的某些有前景課題，如數(shù)學(xué)思想史等課題又難度較大，短期內(nèi)無法入手。因此，研究者發(fā)現(xiàn)在選擇研究課題時，面臨一些困難。因此，為了盡快走出低谷，需要發(fā)現(xiàn)新的學(xué)術(shù)增長點，也需要轉(zhuǎn)變固有的認(rèn)識方式和改進(jìn)傳統(tǒng)的研究方法，開拓新的研究方向和領(lǐng)域。

       在 “文革動亂”已近尾聲的1975年，吳文俊先生發(fā)表了他的第一篇數(shù)學(xué)史論文《中國古代數(shù)學(xué)對世界文化的偉大貢獻(xiàn)》^[40], 通過對中西方數(shù)學(xué)發(fā)展的考察與比較分析, 提出了對中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的獨到見解，闡述了中國古代數(shù)學(xué)的成就及其世界意義, 在當(dāng)時就引起了學(xué)界的關(guān)注。此后, 吳先生又發(fā)表了多篇重要的數(shù)學(xué)史論文, 提出了新的數(shù)學(xué)史方法論原則和數(shù)學(xué)史觀，開展了重新認(rèn)識傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的系列研究。他工作影響了整個中國數(shù)學(xué)史界, 在80年代開辟了中國數(shù)學(xué)史研究的一個新階段。

       吳文俊在對中國數(shù)學(xué)史研究的現(xiàn)狀進(jìn)行了調(diào)研、分析后發(fā)現(xiàn), 已往的中國數(shù)學(xué)史研究中存在著一個普遍而又嚴(yán)重的方法論缺陷, 就是不加限制地搬用現(xiàn)代西方數(shù)學(xué)符號與語言來理解中國或其他文明的古代數(shù)學(xué)。他認(rèn)為, 這種錯誤的研究方法乃是對中國古代數(shù)學(xué)的許多誤解與謬說的根源之一。^[41]吳文俊指出:“我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)有它自己的體系與形式,有著它自己的發(fā)展途徑與獨創(chuàng)的思想體系,不能以西方數(shù)學(xué)的模式生搬硬套。”為此，他提出了古證、古算復(fù)原應(yīng)該遵循的三項原則^[42]:

原則之一，證明應(yīng)符合當(dāng)時與本地區(qū)數(shù)學(xué)發(fā)展的實際情況，而不能套用現(xiàn)代的或其他地區(qū)的數(shù)學(xué)成果與方法。

原則之二，證明應(yīng)有史實史料上的依據(jù)，不能憑空臆造。

原則之三，證明應(yīng)自然地導(dǎo)致所求證的結(jié)果或公式，而不應(yīng)為了達(dá)到已知結(jié)果以致出現(xiàn)不合情理的人為雕琢痕跡。

吳文俊將上述原則視為研究古代數(shù)學(xué)史的方法論原則,，曾在不同場合多次闡述, 并在1986年在美國召開的國際數(shù)學(xué)家大會的報告中將其提煉為兩項原則^[43]:

原則一:所有研究結(jié)論應(yīng)該在幸存至今的原著基礎(chǔ)上得出。

原則二:所有結(jié)論應(yīng)該利用古人當(dāng)時的知識、輔助工具和慣用的推理方法得出。

吳文俊對劉徽海島公式證明的復(fù)原就是遵循這些原則完成的，相關(guān)成果成為中國數(shù)學(xué)史研究的典范性工作，對中國數(shù)學(xué)史的研究對了示范作用。中國古代數(shù)學(xué)公式與定理的推導(dǎo)很少采用邏輯演繹形式，數(shù)學(xué)文獻(xiàn)只記錄算法程序與結(jié)果，對算法推導(dǎo)過程也很少保留。他發(fā)現(xiàn)利用表達(dá)面積關(guān)系的“出入相補(bǔ)原理”實現(xiàn)等量關(guān)系的推導(dǎo)是古代數(shù)學(xué)家普遍采用的方法，可以非常地自然地導(dǎo)出海島公式。他還將這一古證復(fù)原成功范例加以總結(jié)概括，使其上升到數(shù)學(xué)史方法論的高度，成為研究數(shù)學(xué)史的方法論原則。之后越來越多的數(shù)學(xué)史學(xué)者實踐這“古證復(fù)原原則”，并用以解決不同的數(shù)學(xué)史問題，形成了一系列新的研究范例，得到了中國數(shù)學(xué)史界普遍認(rèn)同，從而形成了一種新的數(shù)學(xué)史研究范式。

20世紀(jì)80年代中期，吳文俊對中國古代數(shù)學(xué)特點有了更為深刻的理解,。他在的一系列文章之中,多次地強(qiáng)調(diào):“就內(nèi)容實質(zhì)而論,所謂東方數(shù)學(xué)的中國數(shù)學(xué),具有兩大特色,一是它的構(gòu)造性,二是它的機(jī)械化。”^[44]他提出的“古證復(fù)原原則”和對中國古代數(shù)學(xué)構(gòu)造性與機(jī)械化這兩大特點的概括, 極大地深化了人們對中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)認(rèn)識。受其影響, 80年代中國數(shù)學(xué)史界形成了對中國古代數(shù)學(xué)再認(rèn)識的高潮。而這一時期，自然科學(xué)史研究所和大學(xué)的許多數(shù)學(xué)史學(xué)者也將研究重點轉(zhuǎn)移到對《九章算術(shù)》及其劉徽注的研究，而吳文俊及時參與到了這一工作之中，與相關(guān)學(xué)者互動，引導(dǎo)和推動了研究工作的開展，在中國掀起了《九章算術(shù)》與劉徽注研究熱潮，參加人數(shù)之多，歷時之長，為中國科學(xué)史學(xué)史上所僅見。人們解決了若干過去未解決或未正確解決的重大問題，如《九章算術(shù)》編纂，《九章算術(shù)》及其劉徽注的版本與校勘，出入相補(bǔ)原理，劉徽《九章算術(shù)》的結(jié)構(gòu)，劉徽的割圓術(shù)和極限思想，劉徽原理與體積理論，《九章算術(shù)》與劉徽關(guān)于率的理論，劉徽的邏輯方法、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)體系，以及劉徽的籍貫、思想淵源，《九章算術(shù)》及劉徽注與時代背景，《九章算術(shù)》及其劉徽注的影響，等等，出版了10余部專著，數(shù)百篇論文。其中出入相補(bǔ)原理、劉徽原理是吳文俊在研究劉徽著作的基礎(chǔ)上首次概括出來的。之前對于祖沖之研究是中算史的熱點，忽視了劉徽在古代數(shù)學(xué)發(fā)展中重要重要和貢獻(xiàn)。80年代以來，對劉徽的研究非常深入和全面，也促進(jìn)了對中國古代數(shù)學(xué)理論體系的再認(rèn)識工作。

這期間或稍后，僅吳文俊本人主編的中國數(shù)學(xué)史著作就有:《〈九章算術(shù)〉與劉徽》(1982)、《秦九韶與〈數(shù)學(xué)九章〉》(1987)、《劉徽研究》(1991)、《中國數(shù)學(xué)史論文集》(一)、(二)、(三)、(四)(1985-1996)等。

從編史學(xué)角度看，更重要的是通過吳文俊和眾多中國學(xué)者的工作，一種新的數(shù)學(xué)史觀得到了確立。吳文俊對此有過精辟概括：“世界古代數(shù)分為東、西兩大流派，古代西方數(shù)學(xué)是以古希臘歐幾里得《幾何原本》為典范的公理化演繹體系；古代東方數(shù)學(xué)則是以我國《九章算術(shù)》及其劉徽注為代表的機(jī)械化算法體系。在世界數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，這兩種體系互為消長，交替成為主流推動著這門學(xué)科不斷向前進(jìn)展。”^[45]也就是說,古代數(shù)學(xué)發(fā)展的主流并不像以往有些西方數(shù)學(xué)史所描述的只有單一的希臘演繹模式, 還有與之相平行的中國式算法體系。

長期以來, 西方學(xué)術(shù)界由于受歐洲中心論的影響，對中國古代數(shù)學(xué)抱有根深蒂固的偏見。不少西方學(xué)者或不承認(rèn)中國古代存在有價值的數(shù)學(xué)成就，或認(rèn)為中國古代數(shù)學(xué)知識是外來的，缺乏獨創(chuàng)性。偉烈亞力、三上義夫有關(guān)中國數(shù)學(xué)的論著在西方的流傳，對于西方認(rèn)識中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的價值有一定的作用。但由于早期階段的研究深度有限,這些著述還不足以回答部分西方學(xué)者關(guān)于中國數(shù)學(xué)獨立性的疑問, 即中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)是否是其它古代文明(具體說如古巴比倫、印度和希臘)的舶來品?稍晚開展中國數(shù)學(xué)史研究的李約瑟（Joseph Needham,1900-1995）, 吸收了李儼、錢寶琮等中國學(xué)者的研究成果, 用英文寫成中國數(shù)學(xué)史的著作（《中國科學(xué)技術(shù)史》第3卷, 1959年）, 在西方學(xué)術(shù)界產(chǎn)生了更大的影響。他通過廣泛深入的中西比較, 對中國數(shù)學(xué)外來說進(jìn)行了批駁, 對中國與印度之間的數(shù)學(xué)交流也作出了客觀的分析, 得出了在數(shù)學(xué)上“在公元前250年到公元1250年之間, 從中國傳出去的東西比傳入的東西要多得多”的結(jié)論。李約瑟的觀點逐漸被一般公正的西方學(xué)者所接受。但對中國數(shù)學(xué)的偏見與誤解至今也并沒有完全消除,同時爭論的焦點也轉(zhuǎn)移到了所謂“主流性”問題上,一些西方學(xué)者堅持認(rèn)為中國古代數(shù)學(xué)不屬于所謂數(shù)學(xué)發(fā)展的主流。例如美國著名數(shù)學(xué)家兼數(shù)學(xué)史家Ｍ·克萊因（Morris Kline，1908-1992）在1972年出版的《古今數(shù)學(xué)思想》，是一部在西方頗有影響的數(shù)學(xué)史著作,但作者在前言中明確交待:“我忽略了幾種文化, 例如中國的、日本的和瑪雅的文化,因為他們的工作對于數(shù)學(xué)思想的主流沒有影響”。^[46]因此一些西方學(xué)者認(rèn)為中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)仍不足稱道。而吳文俊的數(shù)學(xué)史研究, 恰恰在揭示中國古代數(shù)學(xué)對世界數(shù)學(xué)主流的影響方面, 做出了特殊的貢獻(xiàn),從而將中國數(shù)學(xué)史的研究推向了一個新階段。^[47]

1976年下半年開始, 即在吳文俊涉足中國數(shù)學(xué)史研究一年以后。如上所述,吳文俊從中國數(shù)學(xué)史上的研究中肯定了數(shù)學(xué)發(fā)展中與希臘式演繹數(shù)學(xué)相對的另一條主流——構(gòu)造性、機(jī)械化數(shù)學(xué)的存在,這一認(rèn)識與他對當(dāng)時方興未艾的計算機(jī)科學(xué)對數(shù)學(xué)必將帶來深刻影響的敏銳預(yù)見結(jié)合起來,促使吳文俊毅然決定從拓?fù)鋵W(xué)研究轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)機(jī)械化研究,并且首先在幾何定理證明方面取得了突破,于1976年至1977年之交，成功地提出了對某一類非平凡幾何定理的機(jī)械化證明方法。

李文林先生指出了吳文俊的幾何定理機(jī)器證明方法有三方面的歷史淵源:“ (1)中國古代數(shù)學(xué)中的幾何代數(shù)化傾向。正如吳文俊本人在《幾何定理機(jī)器證明的基本原理》一書導(dǎo)言中所說:'幾何定理證明的機(jī)械化問題,從思維到方法,至少在宋元時代就有蛛絲馬跡可尋。雖然這是極其原始的,但是,僅就著者本人而言,主要是受中國古代數(shù)學(xué)的啟發(fā)’。(2)笛卡兒解析幾何思想。吳文俊指出,笛卡兒《幾何學(xué)》不僅為幾何定理證明提供了不同于歐幾里得模式(即從公理出發(fā)按邏輯規(guī)則演繹地進(jìn)行,一題一證,沒有通用的證明法則)的可能性,而且開創(chuàng)了可用計算機(jī)證明幾何定理的局面。(3)希爾伯特《幾何基礎(chǔ)》。吳文俊在希爾伯特的著作中發(fā)現(xiàn),希爾伯特首先指出了幾何定理可以不是逐一證明,而是一類定理可以用統(tǒng)一的方法一起證明。在引入適當(dāng)坐標(biāo)后,這種統(tǒng)一的方法也可以算法化。吳文俊的這一發(fā)現(xiàn)是出人意料的, 因為希爾伯特《幾何基礎(chǔ)》向來被奉為現(xiàn)代公理化方法的經(jīng)典,能夠從中找到定理證明機(jī)械化的思想借鑒, 這反映了吳文俊歷史考察的深度。” ^[48] 吳文俊在現(xiàn)代數(shù)學(xué)方面的研究成果也進(jìn)一步證實了數(shù)學(xué)發(fā)展中存在著與希臘式演繹數(shù)學(xué)相對的另一條主流——構(gòu)造性、機(jī)械化的數(shù)學(xué)，而中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)是正是構(gòu)造性、機(jī)械化數(shù)學(xué)的早期代表。

吳文俊倡導(dǎo)的研究模式與李、錢的研究模式相比，有所不同的是，前者是以西方數(shù)學(xué)為參照系去衡量、認(rèn)識傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的具體成果，后者則強(qiáng)調(diào)“要真正了解中國的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)，首先必須撇開西方數(shù)學(xué)的先入之見，直接依據(jù)目前我們所能掌握的我國固有數(shù)學(xué)原始資料，設(shè)法分析與復(fù)原我國古時所用的思維方式與方法，才有可能認(rèn)識它的真實面目。”^[49]

       從李、錢到吳文俊，存在范式轉(zhuǎn)移的問題，主要體系在觀念和認(rèn)識更新上，并不是說二者具有“不可通約性”，兩種范式仍具有很大的兼容性。吳文俊對李、錢嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目甲C方法是十分推崇的，同時他也繼承和吸收了李、錢的編史思想。他指出：“西方數(shù)學(xué)的傳入，一方面使中國知識階層開拓眼界，接觸到西方的學(xué)術(shù)成就，另一方面也使本已不絕如縷的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)幾趨滅絕。清初王錫闡、梅文鼎由于對中西數(shù)學(xué)的深入理解，有批判地吸收外來文化，既傳播西方數(shù)學(xué)先進(jìn)的一面，又發(fā)揚(yáng)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)固有的優(yōu)點，使奄奄一息的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重現(xiàn)生機(jī)。……李儼、錢寶琮二老在廢墟上發(fā)掘殘卷，并將傳統(tǒng)內(nèi)容詳作評介，使有志者有書可讀，有跡可尋。以我個人而言，我對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本認(rèn)識，首先得之于二老的著作。使傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在西算的狂風(fēng)巨浪沖擊之下不致從此沉淪無蹤，二老之功不在王、梅二先算之下。”^[50]李、錢范式的主體框架和編史實踐仍然有效，現(xiàn)在大量的中國數(shù)學(xué)史研究成果仍是在這一范式主導(dǎo)下完成的。吳文俊的范式是李、錢范式的一種轉(zhuǎn)移，但也是一種補(bǔ)充和拓展。不同范式的并存和范式轉(zhuǎn)換與范式拓展的并存是中國數(shù)學(xué)史學(xué)科發(fā)展的常態(tài)，這也是中國數(shù)學(xué)史編史學(xué)連續(xù)性的體現(xiàn)方式。

五、結(jié)語

       中國數(shù)學(xué)史的研究在中國經(jīng)歷了三個階段，不同階段有著不同的編史學(xué)觀念和方法，但數(shù)學(xué)的古今關(guān)系和數(shù)學(xué)的中西關(guān)系，始終是中國數(shù)學(xué)史研究的核心性問題。第一個階段以《疇人傳》及其續(xù)編工作為代表，在評價標(biāo)準(zhǔn)上采用中國古算作為參照標(biāo)準(zhǔn)，屬于中國傳統(tǒng)學(xué)術(shù)思想主導(dǎo)下的數(shù)學(xué)史研究工作，力圖說明傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的優(yōu)越性和合理性，目的是要復(fù)興或弘揚(yáng)傳統(tǒng)算法。第二個階段以李、錢的研究為代表，以西方數(shù)學(xué)的成就作為的參照標(biāo)準(zhǔn)，采用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的方法論證、說明、解釋傳統(tǒng)數(shù)學(xué)，同時繼承了傳統(tǒng)史學(xué)和文獻(xiàn)學(xué)的方法，在其工作中，展示中國古代數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的優(yōu)先權(quán)問題是一項重要的內(nèi)容。優(yōu)先權(quán)之發(fā)現(xiàn)的及其關(guān)注史料的整理和研究是工作的重心，實證的方法突出地得到重視。第三個階段以吳文俊等人的研究為代表，撇開西方數(shù)學(xué)的先入之見，采用能一種夠容納中西和古今數(shù)學(xué)普適性的數(shù)學(xué)作為參照標(biāo)準(zhǔn)，以復(fù)原我國傳統(tǒng)算法的固有的思維方式、思想方法和揭示其固有特色為目標(biāo)，力圖更客觀地評價中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的思想、方法和成果。三個階段的工作反映了200年來中國數(shù)學(xué)史研究者對中國數(shù)學(xué)的認(rèn)識不斷得到了深化的歷程。

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注釋

①按即秦九韶 “正負(fù)開方術(shù)”。

②按即19世紀(jì)英國的Horner法。

③見錢寶琮的一份自傳材料手稿，筆者收藏。

④中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所圖書館收藏李儼的書信中有116封日本學(xué)者寫給李儼的日文信件，日本廣島縣安蕓高田市教育委員會藏有1914 年至1937 年間李儼寫給三上義夫的41 封信，日本早稻田大學(xué)綜合圖書館藏“小倉金之助傳記資料”中也有兩封李儼的書信。

⑤錢寶琮致李儼信原件，現(xiàn)藏中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所李儼圖書館。