雞兔同籠問題是小學(xué)階段非常經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題，可以這么說，所有的小學(xué)生都學(xué)習(xí)過或見識過雞兔同籠問題，而且有不少學(xué)生還為此吃盡了苦頭。為什么雞兔同籠問題在中國這么“流行”呢？因為這個問題本身就是我們中國人提出來的。

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我翻閱了一下中國古代的數(shù)學(xué)書籍《孫子算經(jīng)》，里面就有關(guān)于雞兔同籠問題的描述，在《孫子算經(jīng)》里，雞兔同籠問題被叫做雉兔同籠問題，原文是：今有雉、兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問：雉、兔各幾何？翻譯一下就是：雞、兔在同一個籠子里，上面有35個頭，下面有94只腳。問：雞、兔各多少只？

為什么這道題這么經(jīng)典，竟然被收錄到《孫子算經(jīng)》里面，就是因為這里面涉及到兩種動物，兩種動物的腳數(shù)不相同，需要通過假設(shè)、利用想象來進行求解，非常有利于訓(xùn)練學(xué)生的思維能力。

實際上，雞兔同籠的解決方法非常多，我自己就總結(jié)了十幾種，當(dāng)然，大家不需要記住每種做法，事實上，有的做法也不見得是非常適合，只是用于拓展一下大家的思路，給出另類的解決方案，供大家學(xué)習(xí)參考。

下面我就把這些解法一一列出，快去找尋適合你的那種解題方法吧！

經(jīng)典解法一：先易后難列表法

先介紹一種最最基礎(chǔ)的做法，這種做法看起來比較“笨”，但是卻有它的優(yōu)點，具體的解決辦法就是一個一個的數(shù)，一個一個地試。

首先列一個表格，在表格中可以看到，雞和兔子的腳數(shù)不同，所以，對于不同只數(shù)的雞和兔子，雖然它們的總數(shù)相等（都等于35只），但是腳數(shù)是變化的，我們將不同組合下的雞和兔子的腳數(shù)分別列出來，以表格的形式展示如下：

列表的時候，我們先假設(shè)雞有35只，那么兔子就只能是0只，這樣就算出了總的腳數(shù)，然后將雞的只數(shù)遞減，兔子的只數(shù)遞增，依次計算出總的腳數(shù)，最終能夠計算出當(dāng)雞有23只，兔子有12只時，總腳數(shù)等于94只，符合題目中的條件，進而得到最終的結(jié)果。

實際上，在填寫表格的時候，也不需要完全把所有的結(jié)果都計算出來，只需要填寫幾個空格，細(xì)心的同學(xué)通過觀察數(shù)字的變化規(guī)律，就可以很輕松的判斷出雞和兔子的只數(shù)了。

很多學(xué)生和家長對這種方法不屑一顧，覺得這種方法既笨拙又麻煩，我并不這么認(rèn)為，其實，對于小學(xué)低年級的學(xué)生而言，這種方法我倒是認(rèn)為是最值得推薦的方法，因為在制作表格的過程中，學(xué)生需要自主地去探索雞、兔在數(shù)量變化的時候，總腳數(shù)的變化特點，通過動手繪制以及用眼觀察，分析比較得出，由于兔子的腳比雞多兩只，所以當(dāng)雞數(shù)少1只，兔數(shù)多1只的時候，總腳數(shù)會增加2只的規(guī)律性認(rèn)識。而這正是培養(yǎng)學(xué)生探索精神，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要途徑。

經(jīng)典解法二：靈機一動假設(shè)法

雞兔同籠的解法中，我個人最喜歡的同時也是最推薦學(xué)生使用的就是假設(shè)法，因為假設(shè)法幾乎能夠解決所有類型的雞兔同籠問題，即使題目進行了很大的改編和變形，假設(shè)法都能有效的對題目進行解析，當(dāng)然，對于一些變形的雞兔同籠問題，用假設(shè)法會比較燒腦。在實際應(yīng)用中，假設(shè)法幾乎是最經(jīng)典，最有效率的一種方法，學(xué)生運用假設(shè)，將不同的情形（雞和兔子的腳數(shù)不同）轉(zhuǎn)化成相同的情形，有利于簡化問題，理清思路。

雞兔同籠問題的難點就在于每只雞和每只兔子的腳數(shù)是不同的，這是問題的難點，但也是解決問題的關(guān)鍵點或者說是突破口，假設(shè)雞和兔子的腳數(shù)相同，那么，題目就會大大簡化，將復(fù)雜問題簡單化，是解決數(shù)學(xué)問題的常見思路。

假設(shè)一：所有兔子都站起來，藏起2只腳。這樣的話，每只雞和每只兔子的腳數(shù)就相等了，都是2只，在這種情況下，一共有35個頭，也就是說一共有35只動物，每個動物有2只腳，那么總的腳數(shù)=35×2=70只，這比題目給出的94只腳少了24只，想一想為什么少了？因為每只兔子都站了起來，收起了2只腳，一只兔子少2只腳，一共少了24只腳，所以一共有24÷2=12只兔子，再用35-12=23就是雞的數(shù)量。

假設(shè)二：我們也可以把雞假設(shè)成兔子，此時，所有雞增加2只腳。這樣的話，每只雞和每只兔子的腳數(shù)就相等了，（都是4只），在這種情況下，一共有35個頭，也就是說一共有35只動物，每個動物有4只腳，那么總的腳數(shù)=35×4=140只，這比題目給出的94只腳多了46只，想一想為什么這次腳又多了呢？因為每只雞都多了2只腳，一只雞多2只腳，一共多了46只腳，所以一共有46÷2=23只雞，再用35-23=12就是兔子的數(shù)量。

實際上，假設(shè)法不僅能做出經(jīng)典的雞兔同籠問題，對于一些雞兔同籠變形題，包括分組法解決的雞兔同籠問題，都能很好地解決，大家要不斷地用假設(shè)法去嘗試解決這類問題。

經(jīng)典解法三：公平交換代換法

實際上，我們還可以用一二年級時學(xué)到的變量代換的方法求解雞兔同籠問題。用紅圓圈代表雞，用藍(lán)圓圈代表兔子。根據(jù)題意，我們可以列出下面的算式：

這種方法也是我非常推薦的，因為這種方法雖然只是用到了一二年級的知識，但實質(zhì)上卻是方程思想的初步應(yīng)用，是設(shè)未知數(shù)求解問題的雛形，在這道題中，我們分別用紅圈和藍(lán)圈代表雞和兔子，本質(zhì)上就是一種數(shù)學(xué)抽象，對提升學(xué)生的分析歸納問題能力有非常好的作用和效果。

當(dāng)然，這種做法對四年級以下的學(xué)生來說，聽是能聽懂的，但讓他們再做一次恐怕有些難度，因為這種做法的實質(zhì)是方程解法，只不過用符號代替了x、y，對低年級的學(xué)生來說是有一定難度的。

我比較建議家長用這種方法嘗試給孩子講一下，看看孩子的反應(yīng)，也看看孩子在今后遇到雞兔同籠問題時，會采用哪一種方法，可以據(jù)此做一個對孩子理解力的初步判斷，如果他仍然愿意并能夠使用這種方法解決雞兔同籠問題，那我覺得是可以提前給他講講方程的。

經(jīng)典解法四：一目了然圖形法

雞兔同籠問題當(dāng)然還可以采用圖形的方法來解決，比如，下面我先用線段表示雞和兔，藍(lán)色的線段代表雞的只數(shù)，紅色線段代表兔的只數(shù)。

?

我們知道，一只雞2只腳，一只兔子4只腳，我們在上圖的基礎(chǔ)上，向外拓展一下，形成下面的圖形。

?

可見，藍(lán)色區(qū)域的面積等于雞×2，即雞的腳數(shù)，紅色區(qū)域的面積等于兔×4，即兔子的腳數(shù)。

這里邊有一個條件我們不要忽略了，那就是雞和兔子的數(shù)量一共是35只。這樣我們就可以構(gòu)建出下面的圖形。

?

從上圖中可以計算出35×4=140，是整個圖形的面積，從上面的分析中可以知道，多出來的陰影部分面積應(yīng)該等于140-94=46，而這個長方形的寬=4-2=2，那么長就應(yīng)該等于46÷2=23，也就是雞的數(shù)量，進而我們可以得出兔子的數(shù)量是35-23=12只。

這種方法也是我比較推薦的，并不是說它計算得有多么快，多么便捷，而是說這種方法為我們拓寬了求解雞兔同籠問題的視野，使我們從呆板單一的數(shù)字運算中，愉快地過渡到圖形的世界之中，對于啟發(fā)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力非常有幫助。

說到這里我要提醒一下家長，我用面積的方法來講，家長們應(yīng)該能看懂，但實際上，三年級的學(xué)生，如果按照課本的知識點講解進度來說，這種方法可能是他聽不懂的，當(dāng)然，也有部分學(xué)生能聽懂。

這種方法的表現(xiàn)是數(shù)形結(jié)合，實質(zhì)是面積概念中的這個“積”的應(yīng)用，所謂的積就是兩個數(shù)相乘，從算式來看，就是35×4，從圖形來看，就是長35，寬4的一個長方形的圖形面積，顯然，我們可以用圖形的面積來代表兩個數(shù)的乘積，這種思路會不會啟發(fā)學(xué)生去解決行程問題，濃度問題，工程問題呢？

經(jīng)典解法五：簡單粗暴設(shè)x

設(shè)雞有x只，因為雞和兔子一共有35只，那么兔子就有35-x只，根據(jù)題意，一只雞2只腳，所以雞的腳數(shù)是2x只，一只兔子4只腳，所以兔子的腳數(shù)是4×(35-x)，我們知道總腳數(shù)是94只，所以可以列出下面的算式：

2x+(35-x)×4=94，解出x=23，即雞有23只，所以兔子是12只。

對于高年級的學(xué)生，我是非常推薦用這種方法解題的，可以這么說，對于高年級的學(xué)生，設(shè)未知數(shù)的方法是首選的方法。因為設(shè)未知數(shù)列方程的方法既是最快的又是最簡潔的，長期運用方程思想求解實際問題，對于提升學(xué)生的問題抽象能力有非常大的幫助。不過對于低年級的學(xué)生，我還是覺得應(yīng)該慎重地向他們講述此種方法，因為過早的學(xué)習(xí)方程解法，一方面對于低年級的學(xué)生來說，他們的認(rèn)知水平有限，會造成他們的認(rèn)知困擾，就像上面介紹的等量代換的方法一樣，孩子能聽懂，但自己動手做不出來。另一方面，如果他們能夠理解并熟練掌握此種方法，一定會放棄其他的方法，這對于培養(yǎng)他們的探索能力、數(shù)形結(jié)合能力、分析歸納能力來說，簡直就是個災(zāi)難！

經(jīng)典接法六：二元一次方程組

好吧，我承認(rèn)用二元一次方程組來解雞兔同籠問題有點兒小題大做了，但這確實也是一種比較好的方法。

設(shè)雞有x只，兔子有y只，那么根據(jù)題意，我們可以列出下面的方程組：

x+y=35 ①

2x+4y=94 ②

把第一個式子左右都乘以2，得到2x+2y=70 ③

再用②-③，得到2y=24，進而求得y=12，即兔子有12只，雞有35-12=23只。

這種方法確實是簡單粗暴，但問題是很多學(xué)生掌握不了，確實有他的局限性，對學(xué)有余力的學(xué)生，理解能力較強的學(xué)生，可以嘗試講這種方法。

經(jīng)典解法七：圖解法求解二元一次方程組

剛才提到了可以用二元一次方程組求解這類雞兔同籠問題，很多同學(xué)可能會感到比較陌生，這里，我再介紹一種用作圖的方法，解決二元一次方程組，看看同學(xué)們是否能夠理解。

同樣還是設(shè)雞有x只，兔子有y只，那么根據(jù)題意，我們可以列出下面的方程組：

x+y=35 ①

2x+4y=94 ②

到這一步我們要開始變形了，用②÷①，得到

也就是平均每只動物有

只腳。

從圖中課件，矩形ABMP是雞兔的總腳數(shù)94，與矩形ACDE（雞的腳數(shù)）和矩形CBFG（兔的腳數(shù)）的和相等，那么，矩形PQDE的面積就應(yīng)該等于矩形GFMQ的面積。

這樣，就有

即

所以

結(jié)合

得到

嚴(yán)格上說，這里的

孕育著混合物加權(quán)平均的思想！

經(jīng)典解法八：可愛乖萌的金雞獨立法

一只雞2只腳，一只兔子4只腳，我們讓它們的腳數(shù)都減少一半，也就是讓雞單腳著地，來一個金雞獨立，讓兔子前肢收齊，兩個后腿撐地，像下圖那樣。

?

?

這時，它們總的腳數(shù)應(yīng)該是最初時的一半，即94÷2=47只。我們注意觀察一下，此時，一只雞有1只腳，頭腳是一一對應(yīng)的，一只兔子有2只腳，每只兔子的腳數(shù)比頭數(shù)多1個。現(xiàn)在的情況是一共35個頭，46只腳，雞是頭腳一一對應(yīng)是不多的，那么多出來的腳都是兔子的，所以有兔子47-35=12只，知道了兔子的只數(shù)，很容易就算出雞的只數(shù)是23只了。

這種方法從表面上看和假設(shè)法十分相似，但如果你仔細(xì)分析后就會發(fā)現(xiàn)，這種方法的妙處在于通過金雞獨立，雞的頭數(shù)和腳數(shù)一一對應(yīng)了，一個頭對應(yīng)一只腳，那么多出來的腳就是兔子的了。因此，這種方法告訴我們一種解題思路：將其中一個動物的頭腳數(shù)做到一比一，這樣，總腳數(shù)與總頭數(shù)之差就是另一個動物的腳數(shù)與頭數(shù)之差，在這種情況下，問題得到了簡化，直接可以算出另一個動物的只數(shù)。

經(jīng)典解法九：滑稽搞笑的吹哨法

聽口令：抬起一只腳！這時，雞展示了它金雞獨立的功夫，兔子則躡手躡腳地抬起了一只腳。

?

此時，每個動物都少了一只腳，一共有35個動物，就是少了35只腳，現(xiàn)在的總腳數(shù)是94-35=59只。聽口令：再抬起一只腳！這時，雞整個蹲了下來，兔子則是兩只后腿著地，如圖所示：

?

此時，總腳數(shù)=59-35=24，注意觀察我們發(fā)現(xiàn)，雞已經(jīng)沒有腳了，也就是說剩下的24只腳都是兔子的，我們看圖，現(xiàn)在的兔子有2只腳，一共24只腳，那么兔子就應(yīng)該有24÷2=12只，那么，雞就是35-12=23只。

對這種解法，我只能說I服了U。這種解法的妙處就在于通過兩次吹哨，把雞的腿變沒了，徹底把題目簡化成兔子的頭腳問題，這種思路非常值得大家學(xué)習(xí)，如果孩子對雞兔同籠問題感興趣，我倒是建議家長可以嘗試給孩子講講這種方法，激發(fā)他們繼續(xù)探索解題方法的熱情。

這種方法和假設(shè)法是有區(qū)別的，實際上，和上面提到的金雞獨立法也有區(qū)別，請同學(xué)們認(rèn)真思考這三種方法的區(qū)別到底在什么地方。

經(jīng)典解法十：插翅難飛法

一只雞2只腳，一只兔子4只腳，但是雞會飛啊，來一個大鵬展翅。

?這個時候我們再來看看，一只雞2腳2翅，也算是湊足了四肢了，這樣，35個動物，每個動物都是四肢，一共有35×4=140，比題目中的94只腳多了46，這46就是展開的翅膀，我們知道一只雞2只翅膀，所以46只翅膀就是46÷2=23只雞，兔子就是35-23=12只。

這種解法本質(zhì)上是假設(shè)法的一種變形，假設(shè)所有的動物都是兔子，都有四只腳（此方法認(rèn)為是2腳2翅膀），然后運用假設(shè)法把題目做出來。不過，這種方法和假設(shè)法不同之處，在于運用了圖形和想象，這樣，有助于學(xué)生更好地理解。和上面介紹的吹哨法有異曲同工之妙。

經(jīng)典解法十一：調(diào)轉(zhuǎn)乾坤平均法

出于對求解題目計算的簡化，我們把題目稍作修改，雞兔共有20個頭，共有50只腳。我們來看如何用平均法求解。

一只雞2只腳，一只兔子4只腳，那么它們混合在一起，平均一個動物的腳數(shù)應(yīng)該是大于2小于4的。從題目中我們可以看出，20個頭，50只腳，平均下來一個動物2.5只腳（這是什么怪物？?。┪覀冇镁€來表示如下:

?

我們把一只雞2只腳，一只兔子4只腳也標(biāo)記在線上。

?

從上圖中可以看出，一只兔子的腳數(shù)比平均數(shù)多了1.5只，一只雞的腳數(shù)比平均數(shù)少了0.5只，我們可以這么理解，一只兔子比平均數(shù)多出的1.5只腳，需要3只雞來“拉平”，即一只兔子配3只雞，可以配出2.5只腳的效果，這樣，我們把動物一共分成4份，雞占了3份，兔子占了1份。雞就是20×?=15只，兔子就是20×?=5只。

對于學(xué)有余力的同學(xué)，極力推薦用這種方法思考雞兔同籠問題。因為這種方法把雞兔同籠問題和平均數(shù)問題聯(lián)系在一起，對于提高對平均數(shù)的理解大有好處。不過這種方法由于涉及到各項占比的情況，所以對題目中數(shù)字的要求較高，計算的時候需要格外注意。

這種方法我覺得至少要等到孩子四年級下學(xué)期才能講給孩子聽，否則，無論是平均數(shù)的理解，還是所謂的占比（比和比例都是五年級下或者六年級的內(nèi)容了），他聽起來都會很吃力，當(dāng)然，如果孩子很聰明，也有三年級的孩子能夠聽懂這種方法，甚至習(xí)慣于用這樣的方法來解題的。

經(jīng)典解法十二：

其實，這道題還可以這樣考慮，既然雞、兔的總頭數(shù)是35，如果能求出雞兔頭數(shù)之差，把問題轉(zhuǎn)化成和差問題，再利用和差公式就很容易算出兩種動物的只數(shù)了。

如下圖所示，設(shè)雞有x只，有2x只腳（藍(lán)色矩形），兔子有y只，有4y只腳（黃色矩形）。那么，兩個藍(lán)色矩形與兩個黃色矩形一起，拼成了一個大的正方形ABCD，中間則形成一個中空的矩形PQMN。

?

矩形ABCD的面積是：

它等于兩個藍(lán)色矩形的面積加上兩個黃色矩形面積，再加上中間中空的白色矩形PQMN的面積。

因此，有：

則

再利用和差公式，很容易求出

我是優(yōu)博數(shù)學(xué)，中科院理學(xué)博士，關(guān)注我?guī)Ыo你更多學(xué)習(xí)方法和解題思路方面的干貨內(nèi)容。