四元數的定義和復數非常類似，唯一的區(qū)別就是四元數一共有三個虛部，而復數只有一個。所有的四元數q∈H（H代表四元數的發(fā)現者William Rowan Hamilton）都可以寫成下面這種形式：

上面這個看似簡單的公式就決定了四元數的一切性質。

與復數類似，四元數其實就是對于基{1，i，j，k}的線性組合，四元數也可以寫成向量的形式。

此外，我們在表示四元數時，還經常把實部與虛部分開，用一個實數s表示實部，用一個三維向量來表示虛部，將其表示為標量和向量的有序對形式：

定義及性質

模長（范數）

仿照復數的定義，我們可以暫時將一個四元數q=a+bi+ci+dk的模長（或者說范數（Norm））定義為：

而如果用標量向量有序對的形式進行表示的話，q=[s，v]的模長為：

顯然，四元數的模長很難用幾何的方法來進行理解，因為它代表的是一個四維的長度.但是，和高維向量的模長一樣，這只是類比復數模長進行衍生定義的結果，我們只需要將它理解為一個定義就可以了.。

四元數加減法

與復數類似，四元數的加法只需要將分量相加就可以了.如果我們有兩個四元數q1=a+bi+cj+dk，q2=e+fi+gj+hk，那么它們的和為：

他們的差為：

而對以標量向量有序對形式定義的四元數來說：q1=[s，v]，q2=[t，u]，那么：

四元數標量乘法

如果我們有一個四元數q=a+bi+cj+dk和一個標量s，那么它們的乘積為對應項系數相乘：

四元數與標量的乘法是遵守交換律的，也就是說sq=qs。

四元數乘法

四元數之間的乘法比較特殊，它們是不遵守交換律的，也就是說一般情況
下q1q2 ≠ q2q1．這也就有了左乘和右乘的區(qū)別．如果是q1q2，那么我們就說
「q2 左乘以q1」，如果是q2q1，那我們就說「q2 右乘以q1」．除了交換律之外，我們經常使用的結合律和分配律在四元數內都是成立的。
那么，如果有兩個四元數??1 = ?? + ???? + ?? ?? + ???? 和??2 = ?? + ?? ?? + ???? + ???，那么它們的乘積為：

上式中的結果還是有點凌亂，我們根據博客開始的地方：

等到如下所示的表格：

（其中有顏色的地方表示不能使用乘法交換律）

利用上式表格，對四元數乘積的結果進一步化簡：

同時上式還可以簡單的寫成一個矩陣形式，如下所示：

注意這個矩陣所做出的變換等價于左乘??1．因為四元數不符合交換律，所
以右乘??1 的變換是一個不同的矩陣，它可以使用完全相同的方法推導而得，結果如下：

Gra?mann 積

對上述q1q2乘積結果進行重新整理如下所示：

令：

那么：

（注意：v × u的結果是一個向量，這里的i、j、k 是向量的基，寫成這種形式結
果應該就非常清楚了，如果使用標量向量有序對形式來表示，q1 q2 的結果可
以用向量點乘和叉乘的形式表示出來）

寫成有序對形式為：

這個結果也被叫做Gra?mann 積

純四元數

如果一個四元數能寫成這樣的形式：

那么我們則稱?? 為一個純四元數，即僅有虛部的四元數。
純四元數有一個很重要的特性：如果有兩個純四元數?? = [0, v], ?? = [0, u]，
那么：

逆和共軛

因為四元數是不遵守交換律的，我們通常不會將兩個四元數相除寫為??/?? 的形式。取而代之的是將乘法的逆運算定義為?????1 或者???1??，注意它們的結果一般是不同的。

其中，???1 是?? 的逆（Inverse），我們規(guī)定：

這也就是說：

顯然，要在無數的四元數中尋找一個滿足?????1 = ???1?? = 1 的???1 是非常困難的，但是實際上我們可以使用四元數共軛的一些性質來獲得???1。

我們定義，一個四元數?? = ?? + ???? + ?? ?? + ???? 的共軛為??? = ?? ? ???? ? ?? ?? ? ????（??? 讀作「q star」）。如果用標量向量有序對的形式來定義的話，?? = [??, v] 的共軛為??? = [??, ?v]。
共軛四元數的一個非常有用的性質就是：

可以看到，這最終的結果是一個實數，而它正是四元數模長的平方：


所以：qq* = q*q，滿足乘法交換定律。
引入之前定義的四元數逆，qq-1 = 1。

用這種辦法尋找一個四元數的逆會非常高效，我們只需要將一個四元數的虛
部改變符號，除以它模長的平方就能獲得這個四元數的逆了．如果∥??∥ = 1，
也就是說?? 是一個單位四元數(Unit Quaternion)，那么