What-四元數(shù)

定義1：

若存在復(fù)數(shù)A=a+bi和C=c+di，構(gòu)建Q=A+Cj并定義k=ij，因此生成

四元數(shù)空間H:

                    Q=a+bi+cj+dk

上式a,b,c,d為R；i,j,k為虛數(shù)單位向量；

ii=jj=kk=ijk=-1，ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j;右手法則

注：通過Q發(fā)現(xiàn)，實(shí)數(shù)、虛數(shù)、復(fù)數(shù)均屬于四元數(shù)；

定義2：

四元數(shù)定義為標(biāo)量與向量的和,第一部分是實(shí)數(shù)或標(biāo)量，第二部分(加粗)

是虛數(shù)或向量,

四元數(shù)Q視作四維向量q，可表示實(shí)數(shù)和純虛數(shù)；               

2.How-四元數(shù)basis

基本運(yùn)算法則:  

 +、、 1、 *、 ||.||、 -1(逆)、 normalized

2.1加法(+)：

對(duì)應(yīng)位置相加，滿足加法交換律和結(jié)合律；

             p+q=q+p     p+(q+r)=(p+q)+r   

2.2乘法()：

不滿足交換律(因叉乘導(dǎo)致，叉乘為零可交換)，滿足結(jié)合律；

 并滿足對(duì)加法的分配律：

四元數(shù)乘法可轉(zhuǎn)變?yōu)榫仃嚦朔e：

注：

表示向量生成斜對(duì)稱矩陣；

（向量叉乘）

2.3單元四元數(shù)([1,0,0,0]) ：

滿足

2.4共軛(*)：

四元數(shù)共軛定義標(biāo)量部分不變，向量（虛數(shù)部分）取相反數(shù)；

四元數(shù)與其共軛四元數(shù)相乘等于各部分平方和；

2.5范數(shù)(||.||):

定義如下，

2.6逆(-1):

四元數(shù)乘以四元數(shù)的逆等于單元四元數(shù)[1,0,0,0];

結(jié)合四元數(shù)共軛可知：

2.7單位四元數(shù)(normalized)：

范數(shù)等于1的四元數(shù)，結(jié)合上式可得，

單位四元數(shù)可作為方向/旋轉(zhuǎn)操作符，這意味旋轉(zhuǎn)逆操作可使用四元數(shù)共軛。