三角形的重心，外心，垂心，內(nèi)心和旁心稱之為三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，內(nèi)心定理，旁心定理的總稱；

初中三年，數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)占了很大比列，初一基本都是計(jì)算，打好基礎(chǔ)，初二開始接觸各種幾何，對(duì)三角形、長方形、正方形、菱形等等都有了更多更深層次的了解；

重心定理：三角形的三條邊的中線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的重心。

重心的性質(zhì)：

1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2︰1。

2、重心和三角形任意兩個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。

3、重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。

4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)，即其重心坐標(biāo)為（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。

5. 以重心為起點(diǎn)，以三角形三頂點(diǎn)為終點(diǎn)的三條向量之和等于零向量。

外心定理：三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。

外心的性質(zhì)：

1、三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為該三角形的外心。

2、若O是△ABC的外心，則∠BOC=2∠A（∠A為銳角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A為鈍角）。

3、當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，外心在三角形內(nèi)部；當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，外心在三角形外部；當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，外心在斜邊上，與斜邊的中點(diǎn)重合。

4、外心到三頂點(diǎn)的距離相等

垂心定理 ：三角形的三條高（所在直線）交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的垂心。

垂心的性質(zhì)：

1、三角形三個(gè)頂點(diǎn)，三個(gè)垂足，垂心這7個(gè)點(diǎn)可以得到6個(gè)四點(diǎn)圓。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三點(diǎn)共線，且OG︰GH=1︰2。（此直線稱為三角形的歐拉線（Euler line））（除正三角形）

3、垂心到三角形一頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對(duì)邊距離的2倍。

4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。

內(nèi)心定理：三角形內(nèi)切圓的圓心，叫做三角形的內(nèi)心。

內(nèi)心的性質(zhì)：

1、三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心。

2、直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊的和與斜邊的差的二分之一。

3、P為ΔABC所在空間中任意一點(diǎn)，點(diǎn)0是ΔABC內(nèi)心的充要條件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).

4、O為三角形的內(nèi)心，A、B、C分別為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，延長AO交BC邊于N，則有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC

5、(歐拉定理)⊿ABC中，R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其外心和內(nèi)心，則OI^2=R^2-2Rr．

6、（內(nèi)角平分線分三邊長度關(guān)系）

△ABC中，0為內(nèi)心，∠A 、∠B、 ∠C的內(nèi)角平分線分別交BC、AC、AB于Q、P、R，　則BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.

7、內(nèi)心到三角形三邊距離相等。

旁心定理 :三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心，叫做三角形的旁心。

旁心的性質(zhì)：

1、三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的旁心。

2、每個(gè)三角形都有三個(gè)旁心。

3、旁心到三邊的距離相等。