三角形的五心問題在高中課本中并沒有直接給出，但是高考中卻時有出現(xiàn)，如果沒有對此進(jìn)行有效研究和訓(xùn)練，碰到此種問題，即使是尖子生也會一頭霧水，筆者針對這個問題專門對三角形的五心進(jìn)行深入研究和剖析，其中三角形的重心，垂心，外心，內(nèi)心我們在這里會做重點(diǎn)介紹，旁心由于高考并不多見，在這我們只做簡單說明.

下面我們依次來介紹：

一、三角形“五心”概念及基本性質(zhì)

1.三角形的重心：三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)。

高中數(shù)學(xué)徐老師

性質(zhì)2：重心和三角形3個頂點(diǎn)組成的3個三角形面積相等.

高中數(shù)學(xué)徐老師

性質(zhì)4：重心到三角形3個頂點(diǎn)距離的平方和最小.

高中數(shù)學(xué)徐老師

2.三角形的垂心：三角形的垂心是三角形三邊上的高的交點(diǎn)。 銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形的垂心在三角形外。

高中數(shù)學(xué)徐老師

3.三角形的外心：三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)(或三角形外接圓的圓心) ，且鈍角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜邊上，且剛好與斜邊中點(diǎn)重合；銳角三角形的外心在三角形內(nèi).

高中數(shù)學(xué)徐老師

高中數(shù)學(xué)徐老師

4. 三角形的內(nèi)心：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)(或內(nèi)切圓的圓心).

高中數(shù)學(xué)徐老師

5.三角形的旁心：三角形每一條內(nèi)角平分線（所在直線）與另外兩角的外角平分

線相交于一點(diǎn)，交點(diǎn)就叫做旁心.（這樣的點(diǎn)共有三個，如圖所示的）

高中數(shù)學(xué)徐老師

二、三角形“四心”的相互關(guān)系（旁心不作研究）

高中數(shù)學(xué)徐老師

三、奔馳定理與三角形“四心”的關(guān)系

高中數(shù)學(xué)徐老師

備注：奔馳定理是三角形四心向量形式的完美統(tǒng)一，它將四心向量形式表露無疑，是向量中最具魅力和優(yōu)美的兩大結(jié)論之一.

四、三角形“四心”的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)徐老師

高中數(shù)學(xué)徐老師

高中數(shù)學(xué)徐老師

總結(jié)：花了整整一個下午，做完這篇文章，由于篇幅原因，后面例題的詳細(xì)解答沒有打上來，有需要的小伙伴可以關(guān)注并私信高中數(shù)學(xué)徐老師，我會將詳細(xì)的電子版發(fā)給你。