任何數(shù)學(xué)分支，不管多么抽象，有朝一日都要應(yīng)用于真實(shí)世界的現(xiàn)象。

蒙日學(xué)派

一切數(shù)學(xué)分支當(dāng)中，幾何學(xué)最容易受到不同時代之間不斷改變的口味的影響。在古典希臘，它攀上了最高峰，不料大約在羅馬衰亡的那一時期跌落至谷底。在阿拉伯和文藝復(fù)興時期的歐洲，它收復(fù)了一些失地；在17世紀(jì)，它站在了一個新時代的門檻上，不料差不多又被遺忘了將近兩個世紀(jì)，至少是被搞研究的數(shù)學(xué)家所遺忘，在不斷增加的分析學(xué)分支的陰影里凋敝枯萎。英國，尤其是整個18世紀(jì)后期，試圖把歐幾里得的《幾何原本》恢復(fù)到它曾經(jīng)的光榮位置上，但英國在這一學(xué)科的研究上幾乎沒有取得多少進(jìn)步。

通過蒙日和卡諾的努力，純幾何在法國大革命時期有了一些復(fù)活的跡象，但幾何學(xué)作為一個活的數(shù)學(xué)分支，其幾乎是爆炸性的重新發(fā)現(xiàn)主要是隨著19世紀(jì)的黎明而出現(xiàn)的。蒙日在高等理工學(xué)院的學(xué)生對這次幾何學(xué)的新發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。反映了他們老師的研究的多樣性，一些學(xué)生追求幾何學(xué)對工程學(xué)的應(yīng)用，有的人從事教學(xué)，還有人致力于幾何學(xué)對物理學(xué)的應(yīng)用；很多人是為了幾何學(xué)本身而研究這門學(xué)科。

夏爾·迪潘最為人們所銘記的是他對曲面理論的貢獻(xiàn)，在這一領(lǐng)域，他提出了諸如四次圓紋曲面等概念，那是由所有與一組球體相切的球體所圍成曲面。西奧多·奧利維爾在創(chuàng)造幾何模型以發(fā)展幾何概念的可視化上比蒙日走得更遠(yuǎn)；這項(xiàng)工作開始了幾何模型收藏的積累，到世紀(jì)末，通過費(fèi)利克斯·克萊因的教學(xué)影響，得到了極大的促進(jìn)。夏爾·朱爾斯·布里昂雄今天因?yàn)橐粋€定理而最為人們所知，他重新確立了人們遺忘已久的帕斯卡爾定理，布里昂雄用現(xiàn)代的形式把這個定理表述為：

在任何內(nèi)接于一條圓錐曲線的六邊形中，相對邊的三個交點(diǎn)始終在一條直線上。

他繼續(xù)通過另外一些證明，得出了一個被冠以他的名字的定理：

任何外切于一條圓錐曲線的六邊形的三條對角線相交于同一點(diǎn)。

帕斯卡爾和布里昂雄的定理是幾何學(xué)中一對重要的“對偶”定理最早的明確實(shí)例，也就是說，如果把“點(diǎn)”和“線”這兩個詞互換，定理依然有效（在平面幾何中）。如果我們把“一條直線與一條圓錐曲線相切”讀作“一條直線在一條圓錐曲線上”，則這兩個定理可以表述在下面的組合形式中：

圓錐曲線上的點(diǎn)與線之間的這種關(guān)系，后來被另一位理工學(xué)院的校友有效地加以利用，此人后來成了射影幾何的實(shí)際奠基者。他就是讓-維克多·蓬斯萊，也曾受教于蒙日的門下。

射影幾何：蓬斯萊與沙勒

蓬斯萊身陷囹圄期間，寫了一本論述解析幾何的專著《分析在幾何中的應(yīng)用》，盡管它最初是打算作為他另一部更為著名的作品、1822年出版的《論圖形的射影屬性》的導(dǎo)論。后一部作品明顯不同于前一部，因?yàn)榫惋L(fēng)格而言，它是綜合的，而不是分析的。后來，他成了綜合方法的忠實(shí)倡導(dǎo)者。他認(rèn)識到，解析幾何似乎擁有的優(yōu)勢就在于它的一般性，因此，他試圖在綜合幾何中作出盡可能一般化的陳述。他為了促進(jìn)這一計(jì)劃，構(gòu)想出了他所說的“連續(xù)性原理”，或“數(shù)學(xué)關(guān)系的持久性原理”。他把這一原理描述如下：

針對原始圖形而發(fā)現(xiàn)的度量性質(zhì)，對于所有被認(rèn)為是源自于最初圖形的相關(guān)圖形都依然適用，除了符號改變之外，無需其他的修改。

作為這一原則的一個例證，蓬斯萊引用了一個圓內(nèi)相交弦的線段乘積相等的定理，當(dāng)交點(diǎn)在圓外的時候，這個定理成了割線線段乘積相等。如果其中一條線是圓的切線，定理依然有效，只要用切線的平方取代割線線段的乘積。在某種意義上，這個原則跟卡諾的觀點(diǎn)并無不同，但蓬斯萊把它帶到了更遠(yuǎn)，包括開普勒和德扎格曾經(jīng)暗示過的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。因此可以說，兩條直線必定會相交———要么相交于一個平常的點(diǎn)，要么（在平行線的情況下）相交于無窮遠(yuǎn)處的一點(diǎn)，稱之為理想點(diǎn)。為了實(shí)現(xiàn)分析的一般性，蓬斯萊發(fā)現(xiàn)有必要在綜合幾何中不僅引入理想點(diǎn)，而且還要引入虛點(diǎn)，因?yàn)橹挥羞@樣你才可以說，一個圓和一條直線必定相交。在他的驚人發(fā)現(xiàn)當(dāng)中包括這樣一條：在一個平面上畫出的所有圓都有兩個交點(diǎn)，被稱作無窮遠(yuǎn)處的虛圓點(diǎn)，通常被表示為I和J。

蓬斯萊認(rèn)為，他的連續(xù)性原理———大概是從解析幾何那里得到的暗示———完全是綜合幾何的一次發(fā)展。在18世紀(jì)下半葉，圍繞解析法和綜合法的優(yōu)缺點(diǎn)，一直存在爭論，尤其是在德國。1759年，數(shù)學(xué)家兼歷史學(xué)家、萊比錫和哥廷根大學(xué)的教授A.G.凱斯特納認(rèn)為，解析法在用試探法解決問題的時候高出一籌，提供了思考的力量，比較省事。

19世紀(jì)幾何學(xué)的歷史充斥著獨(dú)立發(fā)現(xiàn)和重新發(fā)現(xiàn)的實(shí)例。另一個牽涉到蓬斯萊的例子是九點(diǎn)圓的發(fā)現(xiàn)。蓬斯萊與布里昂雄在熱爾崗的1820~1821年的《年刊》上聯(lián)合發(fā)表了一篇論文，盡管它的題目是“直角雙曲線確定的研究”，但其中包含了下面這個出色定理的證明：

從任意三角形的定點(diǎn)向它們的對邊作垂直線，通過垂足的圓既通過各邊的中點(diǎn)，也通過連接頂點(diǎn)與垂直線相交點(diǎn)所得線段的中點(diǎn)。

這個定理通常既沒有被稱作蓬斯萊定理，也沒有被稱作布里昂雄定理，而是用一個獨(dú)立的德國數(shù)學(xué)家的名字來命名，他就是卡爾·威廉·費(fèi)爾巴哈，他在1822年發(fā)表了這一結(jié)果。這篇短小的論文既包括了這個定理以及一些相關(guān)命題，也包括圓的幾個引人入勝的屬性的證明。其中包括這樣一個事實(shí)：九點(diǎn)圓的圓心在歐拉線上，而且是垂心與外心之間的中點(diǎn)；以及“費(fèi)爾巴哈定理”：任意三角形的九點(diǎn)圓內(nèi)切于內(nèi)接圓，并外切于三個旁切圓。美國幾何學(xué)家朱利安·洛厄爾·柯立芝，把這個定理稱作“初等幾何中自歐幾里得時代以來人們所發(fā)現(xiàn)的最優(yōu)美的定理?！?/span>

應(yīng)該指出的是，在整個19世紀(jì)，這樣一些定理的魅力在很大程度上支撐了三角形和圓的幾何學(xué)研究。除了雅各·施泰納之外，這一領(lǐng)域最有名的貢獻(xiàn)者大概是英國—美國幾何學(xué)家弗蘭克·莫利了。以莫利的名字命名的定理是這樣：一個三角形各角的相鄰三等分線的交點(diǎn)所構(gòu)成的三角形是等邊三角形。

回到蓬斯萊，我們之所以記得他，主要是因?yàn)樗褂矛F(xiàn)有的德扎格的中心投影和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的概念來建立復(fù)射影平面的概念?；A(chǔ)是射影性質(zhì)的研究，比如那些在透視下依然保持不變的屬性。給定平面上的一個點(diǎn)O和一條直線l，一個透視賦給每個點(diǎn)P以直線l上的一點(diǎn)P'，使得：若Q是第二點(diǎn)，則OQ必定存在一點(diǎn)Q'，使得PQ與P'Q'在l上相交。一連串的透視被稱作直射。蓬斯萊再一次求助于德扎格使用過的方法，使阿波羅尼奧斯的極點(diǎn)和極線的概念走上了前臺，正如我們已經(jīng)指出的那樣，他把自己的對偶原理歸功于極點(diǎn)和極線的概念。

米歇爾·沙勒在射影幾何中強(qiáng)調(diào)了6個交比（或稱非調(diào)和比），4個共線點(diǎn)或4條共點(diǎn)線的（c-a）/（c-b）∶（d-a）/（d-b），以及這些比在射影變換下的不變性。他的《論高等幾何》在確立有向線段在純幾何中的使用上也很有影響。沙勒的《幾何學(xué)中的方法的起源與發(fā)展簡史》也很有名，他是法國最偉大的射影幾何學(xué)家之一。他在晚年開創(chuàng)了枚舉幾何學(xué)的研究，這是代數(shù)幾何學(xué)的一個分支，其任務(wù)就是要借助幾何解釋來確定代數(shù)問題的解法的數(shù)量。在這個領(lǐng)域以及其他領(lǐng)域，他極其出色地利用了“對應(yīng)原理”。

綜合度量幾何學(xué)：施泰納

沙勒的成果在很多方面與幾個德國幾何學(xué)家的成果相重疊。其中最著名的是雅各·施泰納，他一直被認(rèn)為是現(xiàn)時代最偉大的綜合幾何學(xué)家。在他的手上，綜合幾何取得的進(jìn)展比得上早些年分析學(xué)所取得的進(jìn)展。他非常不喜歡解析的方法。解析這個詞暗示了一定數(shù)量的技術(shù)或機(jī)械；解析法常常被稱作一個工具，而工具這個說法從未應(yīng)用于綜合法。施泰納反對幾何學(xué)中一切種類的工具或“小道具”。他只用綜合的方法來論證，在發(fā)表于《克列爾雜志》上的一篇論文中，有一個引人注目的定理看上去自然屬于分析學(xué)：一個三次曲面只包含27條線。

施泰納還證明了，只要給你一個固定的圓，歐幾里得的作圖可以只用直尺來作。這個定理表明，在歐幾里得的幾何中，你不可能完全沒有圓規(guī)，但是在用圓規(guī)畫一個圓之后，你就可以丟掉圓規(guī)，只用直尺

施泰納的名字在很多方面被人們所記憶，包括施泰納點(diǎn)的屬性：如果你用所有可能的方式把一條圓錐曲線上的6個點(diǎn)連成帕斯卡爾的神秘六邊形，你就獲得了60條帕斯卡爾線，三條三條地相交于20個施泰納點(diǎn)。在施泰納未發(fā)表的發(fā)現(xiàn)當(dāng)中，有一些發(fā)現(xiàn)涉及到那種富有成果的被稱作“反演幾何”的幾何變換：

若兩個點(diǎn)P和P'在一條射線上，這條射線源自一個半徑為r（r≠0）的圓C的圓心O，且OP和OP'這兩個距離的積是r2，則我們就說，P和P'互為關(guān)于C的反演點(diǎn)。對圓外的每個點(diǎn)P，圓內(nèi)都有一個對應(yīng)的反演點(diǎn)。由于當(dāng)點(diǎn)P與圓心O重合時圓外不存在點(diǎn)P'與P對應(yīng)，于是我們就有了一個悖論，它在某種意義上類似于波爾查諾的悖論：每個圓（不管它多么?。┑膬?nèi)部所包含的點(diǎn)，可以說比圓外部分還要多一個點(diǎn)。我們用完全一樣的方式，很容易在三維空間里定義一個點(diǎn)關(guān)于一個球體的反演點(diǎn)。

很多平面或立體反演幾何的定理，都很容易通過解析或綜合的方法來證明。特別是，我們很容易證明：在反演變換下，一個不通過反演中心的圓被變換為一個圓，而一個通過反演中心的圓被變換為一條不通過反演中心的直線（類似的結(jié)論對三維反演幾何中的球體和平面也適用）。更難證明的是這樣一個更重要的結(jié)論：反演是保角變換，也就是說，在反演幾何中曲線之間的夾角得以保持。保角變換很不尋常，這一點(diǎn)可以從約瑟夫·劉維爾所證明的下面這個定理中清楚地看出：在空間里，唯一保角的變換是反演變換以及相似和全等變換。施泰納沒有發(fā)表他的關(guān)于反演的觀念，反演變換被這個世紀(jì)的其他數(shù)學(xué)家?guī)状沃匦掳l(fā)現(xiàn)，其中包括開爾文勛爵，1845年，他通過物理學(xué)得出了反演變換，并把它應(yīng)用于靜電學(xué)中的問題。

如果半徑為a的反演圓的圓心O是一個笛卡爾坐標(biāo)系的原點(diǎn)，那么點(diǎn)P（x，y）的反演點(diǎn)P'的坐標(biāo)x'和y'被下面的公式給出：

這兩個公式后來啟發(fā)了路易吉·克雷莫納，他研究更加一般化的變換x'=R1（x，y）、y'=R2（x，y），式中R1和R2是有理代數(shù)函數(shù)。這樣的變換（反演變換只是其特例）被稱作克雷莫納變換，以紀(jì)念這個在1863年發(fā)表關(guān)于它們的介紹的人，他后來針對三維空間把它們進(jìn)行了一般化。

綜合非度量幾何學(xué)：施陶特

施泰納在他1832年出版的《幾何圖形之相互依賴性的系統(tǒng)發(fā)展》中論述了基于度量考量的射影幾何。若干年后，純幾何學(xué)找到了另一位德國信徒，他就是高斯的學(xué)生K.G.C.馮·施陶特，他1847年出版的《位置幾何學(xué)》構(gòu)建了不涉及量或數(shù)的射影幾何學(xué)。施陶特的幾何學(xué)極其重要，因?yàn)樗@示了射影幾何如何能在沒有距離概念的情況下建立起來，因此為下面這個觀念鋪平了道路：有一種非度量幾何，可以在它的基礎(chǔ)上定義距離概念。幾年之后，法國的拉蓋爾討論了把度量強(qiáng)加給非度量角度幾何學(xué)的可能性。然而，正是阿瑟·凱萊，后來在他的“六論齊次多項(xiàng)式”中，對于在射影幾何的基礎(chǔ)上定義度量的整個概念，提出了最有影響的闡述。

解析幾何

現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向解析幾何在這一時期所取得的成就。正如蒙日大概是第一個專攻一般意義上的幾何學(xué)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)家，尤利烏斯·普呂克成了第一個專攻特殊意義上的解析幾何的數(shù)學(xué)家。他堅(jiān)定地相信，代數(shù)學(xué)方法大大優(yōu)于蓬斯萊和施泰納的純幾何方法。19世紀(jì)初，很多人都認(rèn)識到了，解析幾何被代數(shù)計(jì)算的笨拙所拖累；因此，他們開始大幅度地對符號進(jìn)行縮略。1818年，加布里埃爾·拉梅把所有通過兩個圓

的交點(diǎn)的圓族簡單地寫作：

使用了兩個參數(shù)或乘數(shù)m和m'。拉梅似乎是通過簡記法來研究單參數(shù)族解析幾何的創(chuàng)始者，但正是普呂克，把這項(xiàng)研究帶到了最遠(yuǎn)。

普呂克還發(fā)現(xiàn)了一種新的坐標(biāo)系，就是我們所說的齊次坐標(biāo)，費(fèi)爾巴哈是它的發(fā)明者之一。另一個發(fā)明者是A.F.莫比烏斯，他是這樣提出了自己的“重心坐標(biāo)”：考慮一個給定的三角形ABC，定義點(diǎn)P的坐標(biāo)，使得當(dāng)你把一個質(zhì)點(diǎn)放在A、B和C上時，P是這些質(zhì)點(diǎn)的重心。莫比烏斯對變換進(jìn)行了分類，所依據(jù)的是全等、相似、仿射（對應(yīng)圖形保持平行線）和直射，并暗示了在每一個變換族下不變性的研究。然而，莫比烏斯之所以被人們記住，是因?yàn)椤澳葹跛箮А薄?/span>

齊次坐標(biāo)是在幾何算術(shù)化的方向上跨出的一大步，但在1829年，普呂克提出了一個革命性的觀點(diǎn)，與笛卡爾把坐標(biāo)視為線段的古老觀點(diǎn)徹底決裂。齊次坐標(biāo)系中一條直線的方程具有這樣的形式：

三個參數(shù)系數(shù)（a，b，c）決定了平面上的唯一一條直線，正如齊次坐標(biāo)（x，y，t）對應(yīng)于平面上的唯一一點(diǎn)一樣。由于這些坐標(biāo)是數(shù)，因此跟系數(shù)并無不同，普呂克認(rèn)識到，可以修改通常的語言，把齊次坐標(biāo)（a，b，c）稱作一條直線。最后，如果把笛卡爾的慣例顛倒過來，用字母表中開頭的字母代表變量，用末尾的字母代表常量，則方程ax+by+ct=0就代表了一束通過固定點(diǎn)（x，y，t）的直線，而不是固定直線（a，b，c）上的一束點(diǎn)?，F(xiàn)在，如果你考慮意義不明確的方程pu+qv+rw=0，則有一點(diǎn)很清楚：你可以毫不在乎地把這個方程視為固定直線（p，q，r）上的點(diǎn)（u，v，w）的總和，或者視為通過固定點(diǎn)（u，v，w）的直線（p，q，r）的總和。

普呂克發(fā)現(xiàn)了幾何學(xué)對偶原理的分析學(xué)等價物；現(xiàn)在，有一點(diǎn)已經(jīng)很清楚：純幾何曾經(jīng)徒然尋找的理由在這里已由代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)提供?！包c(diǎn)”和“直線”這兩個詞的互換，只不過相當(dāng)于關(guān)于量p、q、r和u、v、w的“常量”和“變量”這兩個詞的互換而已。從代數(shù)位置的對稱性來看，很顯然，關(guān)于pu+qv+rw=0的每一個定理都直接以兩種形式出現(xiàn)，互為對偶。

此外，普呂克還證明了，每一條曲線（不同于直線）都可以被視為有雙重來源：它是一條由一個移動的點(diǎn)所產(chǎn)生的軌跡并被一條移動的直線所包圍，該點(diǎn)不斷沿著該直線移動，同時該直線繼續(xù)圍繞該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。說來也怪，在點(diǎn)坐標(biāo)中一條曲線的次數(shù)（曲線的“階”）未必跟線坐標(biāo)中曲線的次數(shù)（曲線的“類”）一樣，而且，普呂克的偉大成就之一是4個用他的名字命名的方程的發(fā)現(xiàn)，把曲線的類和階與曲線的奇點(diǎn)聯(lián)系起來了：

式中m是類，n是階，δ是節(jié)點(diǎn)數(shù)，κ是歧點(diǎn)數(shù)，ι是平穩(wěn)切線（拐點(diǎn)）數(shù)，τ是雙切線數(shù)。從這些方程一眼就可以看出：一條圓錐曲線（或二階曲線）可以沒有奇點(diǎn)，因此必定也是二類曲線。

在1831年，普呂克把對偶原理擴(kuò)展到了三維，在三維空間里，一個平面的齊次坐標(biāo)（a，b，c，d）與一個點(diǎn)的齊次坐標(biāo)（x，y，z，t）之間的關(guān)系表明，三維空間里一個定理的對偶定理是通過“點(diǎn)”和“平面”這兩個詞的互換而得到的，“直線”這個詞保持不變。在后來的論文和專著中，普呂克把他的工作擴(kuò)展到包括笛卡爾虛坐標(biāo)系和齊次虛坐標(biāo)系?，F(xiàn)在，證明蓬斯萊定理（所有圓都相交于無窮遠(yuǎn)處的兩個虛點(diǎn)）就是小事一樁了，因?yàn)?，點(diǎn)（1，i，0）和（i，1，0）都滿足方程

不管a、b、c取什么值。普呂克還證明，圓錐曲線的焦點(diǎn)有這樣一個屬性：從這些焦點(diǎn)到曲線的虛切線通過上述圓的交點(diǎn)；因此，他把高次平面曲線的焦點(diǎn)定義為一個有這一屬性的點(diǎn)。

在笛卡爾和費(fèi)馬的時代，以及在蒙日和拉格朗日的時代，法國都是解析幾何發(fā)展的中心，但因?yàn)槠諈慰说墓ぷ?，這一領(lǐng)域的領(lǐng)袖地位便跨過了萊茵河，轉(zhuǎn)移到了德國。然而，普呂克在很大程度上是一個在本國沒有獲得什么榮譽(yù)的先知。在德國，綜合方法的捍衛(wèi)者施泰納受到了過度的贊美。莫比烏斯在解析—綜合論戰(zhàn)中一直保持中立，但雅可比，盡管本人是一個運(yùn)算法則的構(gòu)建者，卻加入了施泰納的陣營，反對普呂克。灰心喪氣的普呂克在1847年從幾何學(xué)轉(zhuǎn)向了物理學(xué)，在這一領(lǐng)域，他發(fā)表了一連串論述磁學(xué)和光譜學(xué)的論文。

我們驚訝地注意到，普呂克并沒有利用行列式的發(fā)展，這大概是因?yàn)樗c雅可比之間的長期不和；這或許就是他為什么沒有系統(tǒng)地發(fā)展三維以上解析幾何的原因。普呂克通過他在1846年的觀察接近了這個觀念：決定三維空間中一條直線的4個參數(shù)可以被認(rèn)為是4個坐標(biāo)；但只是多年之后，也就是在1865年，他才回到了解析幾何，并發(fā)展出了“新的空間幾何”的觀念———即四維空間，其中基本元素是直線，而不是點(diǎn)。與此同時，柯西在1843年開創(chuàng)了n維空間的普通解析幾何，使用行列式作為基本工具。在這種符號表示法中，使用齊次坐標(biāo)，直線和平面的方程分別可以寫作

凱萊曾指出，n維空間中對應(yīng)的（n-1）維基本元素可以通過一個n+1階行列式用齊次坐標(biāo)來表示，類似于上面的兩個行列式。很多二維和三維的簡單公式，如果得到恰當(dāng)?shù)谋硎镜脑?，都很容易一般化至n維。

黎曼幾何

幾十年來，非歐幾何一直是數(shù)學(xué)的一個邊緣方面，直到它通過波恩哈德·黎曼非常一般化的觀點(diǎn)徹底整合起來。黎曼以一篇論述有一個復(fù)變量的函數(shù)理論的論文獲得了博士學(xué)位。正是在這一領(lǐng)域，我們有了所謂的柯西—黎曼方程：

有一個復(fù)變量z=x+iy的解析函數(shù)w=f（z）=u+iv必定滿足這兩個方程，雖說這個必要條件甚至早在歐拉和達(dá)朗貝爾的年代就已經(jīng)被人所知。這篇博士論文還導(dǎo)致了黎曼曲面的概念，預(yù)示了拓?fù)湓诜治鰧W(xué)中最終要扮演的角色。

1854年，黎曼成了哥廷根大學(xué)的編外講師（沒有薪水），按照老規(guī)矩，要求他在全體教師面前宣講一篇授課資格論文，結(jié)果是數(shù)學(xué)史上最著名的一次試講，因?yàn)樗尸F(xiàn)了一次對整個幾何學(xué)領(lǐng)域深刻而閎闊的概覽。這篇論文的標(biāo)題是《論奠定幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》，但它并沒有拿出一個明確的實(shí)例。相反，它極力主張一種幾何學(xué)的全局觀，作為任何種類的空間里任意維度的流形研究。他的幾何學(xué)跟羅巴切夫斯基的幾何學(xué)比起來，是更加一般意義上的非歐幾何，在前者那里，問題僅僅是有多少條可能的平行線通過一點(diǎn)。黎曼認(rèn)識到，幾何學(xué)甚至大可不必處理平常意義上的點(diǎn)、直線或平面，而是要處理依據(jù)某些規(guī)則組合而成的一組組有序的n元組。

黎曼認(rèn)識到，在任何幾何學(xué)中，最重要的法則，是求出無窮靠近的兩個點(diǎn)之間的距離的法則。普通的歐氏幾何中，這個“度量”被：

給出；但有無數(shù)多的其他公式可以用作距離公式，而使用的度量當(dāng)然會決定空間或幾何的屬性。一個空間，如果度量是下面的形式：

式中g(shù)是常量，或者更一般的情況下，是x、y和z的函數(shù)，則這個空間就被稱作黎曼空間。

因此（局部說來），歐氏空間只不過是黎曼空間的一個非常特殊的特例，在歐氏空間里，

而其他的g全都等于零。黎曼甚至得出了一個公式，用來求他的“空間”里一個“曲面”的高斯曲率。在黎曼的講課之后，高斯幾乎是平生頭一遭對別人的工作表現(xiàn)出熱心。

我們今天是在一個更加有限的意義上使用黎曼幾何這個術(shù)語：它是一種從薩凱里的鈍角假設(shè)推導(dǎo)出來的平面幾何（如果拋開直線的無窮性）。這種幾何的一個模型，可以從下面這樣的解釋中找到：它把“平面”解釋為一個球體的表面，把“直線”解釋為球體上的一個大圓。在這種情況下，一個三角形的各角之和大于兩個直角。正是黎曼提出彎曲度量空間的一般研究，而不是相當(dāng)于球面幾何的特例，最終使得廣義相對論成為可能。黎曼本人在很多方面對理論物理做出過重大貢獻(xiàn)，因此，1859年，他被任命為狄利克雷的繼任者，執(zhí)掌哥廷根大學(xué)那個高斯曾充任過的教席，是再合適不過的。

黎曼在證明三角形各角之和大于兩個直角的非歐幾何是在球面上實(shí)現(xiàn)的過程中，本質(zhì)上證明了幾何學(xué)賴以產(chǎn)生的那些公理的一致性

高維空間

黎曼所實(shí)現(xiàn)的幾何學(xué)的統(tǒng)一在不同幾何的微觀方面（“局部”幾何）尤其重要。解析幾何（“全局”幾何）沒有什么大的改變。1868年，普呂克發(fā)表了一篇論文，論述“新的空間幾何”。他在這篇論文中，明確地闡述了他大約在20年前暗示過的一個原理。他認(rèn)為，大可不必把一個空間想象為點(diǎn)的總和；同樣可以把它想象為由直線組成的。事實(shí)上，任何一個從前被想象為點(diǎn)的軌跡或總和的圖形，本身都可以被當(dāng)作一個空間的構(gòu)成元素來對待，空間的維度相當(dāng)于決定這個元素的參數(shù)的數(shù)量。如果我們把平常的三維空間看作是一個“由無限細(xì)、無限長的稻草所堆成的宇宙稻草堆”，而不是一個“由無限細(xì)小的鉛彈所構(gòu)成的凝聚塊”，它就是四維空間，而不是三維空間。凱萊從分析學(xué)上發(fā)展出了這樣一個觀念：普通的二維平面可以被視為一個五維空間，它的構(gòu)成元素是圓錐曲線。

費(fèi)利克斯·克萊因

克萊因在某種意義上是普呂克的繼任者，然而，他采取了不同的方向，這個方向有助于把某種統(tǒng)一的元素帶入新研究成果的多樣性中。新觀點(diǎn)部分程度上或許是探訪巴黎的結(jié)果，在那里，拉格朗日關(guān)于群論的暗示已經(jīng)發(fā)展成了———尤其是通過置換群———代數(shù)學(xué)的一個成熟的分支?？巳R因?qū)θ焊拍钪械慕y(tǒng)一可能性留下了深刻的印象，他把余生的全部時間都花在了發(fā)展、應(yīng)用和推廣這個概念上。在這項(xiàng)工作中，他與挪威數(shù)學(xué)家索菲斯·李攜手合作，李發(fā)現(xiàn)了切變換，并寫了一部厚重的三卷本論著，論述變換群理論。李的切變換（后來被克萊因系統(tǒng)化了）以這樣一種方式在歐氏空間的直線與球體之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系，使得相交線對應(yīng)于切球。（按照克萊因的觀點(diǎn)，歐氏三維空間里的直線和球體各自構(gòu)成了一個四維空間。）一般而言，切變換是把切曲面帶入切曲面的解析變換。

一組元素如果符合下面這些條件，我們就說它們構(gòu)成了關(guān)于某個給定運(yùn)算的一個群：（1）這組元素在該運(yùn)算下是封閉的，

（2）這組元素包含一個關(guān)于該運(yùn)算的單位元素，

（3）對于組中的每個元素，都有一個關(guān)于該運(yùn)算的逆元素，

（4）該運(yùn)算是結(jié)合運(yùn)算。

元素可以是數(shù)（比如在算術(shù)群中）、點(diǎn)（在幾何群中）、變換（在代數(shù)群或幾何群中）或者任何東西。運(yùn)算可以是算術(shù)運(yùn)算（比如加法或乘法）或幾何運(yùn)算（比如圍繞一個點(diǎn)或一根軸旋轉(zhuǎn)），或任何其他把組中的兩個元素（比如兩個變換）結(jié)合起來構(gòu)成組中的第三個元素的運(yùn)算法則。群概念的概括性很明顯。1872年，克萊因成為埃爾朗根大學(xué)的教授時，在一項(xiàng)著名的就職綱領(lǐng)中顯示，群如何能夠作為一個很方便的手段，用來描述19世紀(jì)所出現(xiàn)的各種不同的幾何的特征。

克萊因拿出的這項(xiàng)綱領(lǐng)（后來被稱作“埃爾朗根綱領(lǐng)”）把幾何學(xué)描述為研究那些在某個特定變換群之下依然保持不變的圖形的性質(zhì)。因此，對變換群的任何一種分類都成了幾何學(xué)的一種規(guī)范化。例如，歐氏平面幾何所研究的是這樣一些圖形的屬性（包括面積和長度），它們在由平面上的平移和旋轉(zhuǎn)（所謂的剛性變換）所組成的變換群之下依然保持不變，相當(dāng)于歐幾里得未曾說出的公理：這些圖形在一個平面上移動的時候依然保持不變。從分析學(xué)的角度講，剛性平面變換可以寫作下面的形式：

式中，ae-bd=1；這些構(gòu)成了一個群的元素。把這樣兩個元素“結(jié)合”起來的“運(yùn)算”只不過是按順序變換而已。不難看出，如果在上面的變換之后緊接著執(zhí)行下面的變換：

連續(xù)兩個運(yùn)算的結(jié)果，等價于這種類型的某一單個運(yùn)算，它將把點(diǎn)（x，y）帶到點(diǎn)（x″，y″）的位置上。

在這個變換群中，如果用更一般的條件：ae-bd≠0，取代原先的條件：ae-bd=1，則新的變換也組成了一個群。然而，長度和面積未必保持不變，但一條給定類型的圓錐曲線（橢圓、拋物線或雙曲線）在這些變換下將依然是同一種類型的圓錐曲線。這樣的變換，莫比烏斯更早研究過，被稱作仿射變換，它們是所謂的仿射幾何的典型特征，之所以這樣稱呼，是因?yàn)樵谶@樣的變換下一個有限點(diǎn)變換為一個有限點(diǎn)。那么很顯然，從克萊因的觀點(diǎn)來看，歐氏幾何只不過是仿射變換的一個特例。反過來，仿射幾何也只不過是一種更加一般的幾何———射影幾何———的一個特例。射影變換可以寫作下面的形式：

很顯然，如果d=0=e，且f=1，這個變換就是仿射變換。射影變換的有趣屬性包括：

（1）一條圓錐曲線被轉(zhuǎn)變?yōu)橐粭l圓錐曲線，

（2）交比依然保持不變。

在某種意義上，克萊因的工作是“幾何學(xué)的英雄時代”的一個當(dāng)之無愧的高潮，因?yàn)樗v課和教學(xué)的時間長達(dá)半個世紀(jì)。他的熱情具有極強(qiáng)的感染力，以至于19世紀(jì)晚期的一些重要人物都很樂意支持群論最終不僅把幾何學(xué)包括在內(nèi)，而且把數(shù)學(xué)的所有分支都納入其中。今天，他的名字還在那個被稱作“克萊因瓶”的單側(cè)曲面的拓?fù)渲斜蝗藗兯懹洝?/span>

后黎曼時代的代數(shù)幾何

到19世紀(jì)末，有幾種新方法研究幾何學(xué)，通常按照代數(shù)幾何的不同版本來分類。在黎曼的作品中有一個共同的基礎(chǔ)。不是黎曼的明確屬于幾何學(xué)的出版物，而是他的論述復(fù)變函數(shù)理論的作品，尤其是跟一篇論述阿貝爾函數(shù)的經(jīng)典論文中黎曼曲面的概念相關(guān)聯(lián)的作品，為大多數(shù)這樣的研究提供了促進(jìn)因素。

起初，阿爾弗雷德·克萊布什在為了幾何目的而利用黎曼的函數(shù)理論上所做的工作比其他任何人都要多?？巳R布什最早在一篇題為《論阿貝爾函數(shù)對幾何學(xué)的應(yīng)用》中對這一課題給予了關(guān)注。這是一次三重方向進(jìn)攻的開始?？巳R布什最初只是著手把黎曼的復(fù)變函數(shù)理論應(yīng)用于代數(shù)曲線的研究。他有充分的能力來完成這項(xiàng)任務(wù)；他熟悉復(fù)射影幾何學(xué)家們先前的工作，熟悉阿貝爾函數(shù)理論的雅可比傳統(tǒng)，熟悉黎曼的論文。他獲得了很多卓有成效的成果，為進(jìn)一步的研究奠定了基礎(chǔ)。

另一種方法，在克萊布什與埃爾朗根大學(xué)的戈?duì)柕ず献魍瓿傻淖髌分惺褂?。?866年出版的著作《阿貝爾函數(shù)理論》中，他們著手在代數(shù)幾何的基礎(chǔ)上重建阿貝爾函數(shù)理論。戈?duì)柕ぷ鳛?9世紀(jì)不變量理論的捍衛(wèi)者而被人們所銘記，在這一背景下我們注意到世紀(jì)之交的意大利幾何學(xué)派，包括卡斯特爾諾沃、恩里克斯以及稍晚的塞韋里，都十分看重不變量理論。

最后，克萊布什轉(zhuǎn)向了曲面研究。他提出了二重積分，希望通過探索與阿貝爾積分應(yīng)用于曲線研究的類似方法來獲得結(jié)果。

最活躍的方向是把雙有理變換應(yīng)用于曲線研究；很多數(shù)學(xué)家都注意到，黎曼的模只不過是雙有理不變量，從而用黎曼的術(shù)語來表述他們的研究。盡管歐洲主要中心的數(shù)學(xué)家們做了大量的工作，但最終的結(jié)果似乎令人失望。到1920年代，大多數(shù)這樣的“代數(shù)幾何學(xué)”努力開始退居次要位置，讓位于純代數(shù)方法，這一方法在一般性和抽象性上日益提高，在代數(shù)幾何學(xué)中處于支配地位長達(dá)幾十年。