歐幾里得幾何

著名數(shù)學(xué)家歐幾里德被認(rèn)為是將幾何公理化的第一人，他描述了支配這個(gè)世界的幾何規(guī)則，并且基于這些公理來(lái)證明定理——這是數(shù)學(xué)史上最早使用證明的情形之一。

歐幾里得把這些內(nèi)容都寫在《幾何原本》一書中，雖然很可能是對(duì)他所處時(shí)代幾何知識(shí)的總結(jié)，但依然是有史以來(lái)最有影響力的教科書，其邏輯、公理化的方法和嚴(yán)格的證明仍然是數(shù)學(xué)的基石。

▲ 歐幾里得平面幾何的五條公設(shè)

歐幾里得對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)最顯著的影響之一是對(duì)平行公設(shè)的討論。在第一卷中，歐幾里得列出了五個(gè)公設(shè)，其中第五條就是平行公設(shè)，敘述如下：

• 若兩條直線都與第三條直線相交，并且在同一邊的內(nèi)角之和小于兩個(gè)直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。

十九世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家阿德里安-馬里·勒讓德證明這一公設(shè)等價(jià)于如下表述：

• 三角形內(nèi)角和等于兩個(gè)直角。

對(duì)于平行公設(shè)，歐幾里得描述得明顯要比前四條復(fù)雜。在他之后的兩千年里，許多專業(yè)和業(yè)余的數(shù)學(xué)家嘗試證明第五公設(shè)可由前四條公設(shè)推理得到并都以失敗告終。

第五公設(shè)成立的幾何被稱為“歐幾里得幾何”或“平面幾何”，它的定義特征是三角形內(nèi)角和總是 180°。

荷蘭著名版畫藝術(shù)家知名藝術(shù)家埃舍爾(Escher)對(duì)幾何尤為著迷。在下面的圖片中，他描繪了一幅由天使與惡魔拼接而成的平面幾何圖案。

直到 1829 年，第五公設(shè)不成立而其余公設(shè)成立的幾何例子最終才被俄羅斯數(shù)學(xué)家尼古拉·羅巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)。事后再來(lái)看，數(shù)學(xué)家歷經(jīng)這么長(zhǎng)時(shí)間才得出這一發(fā)現(xiàn)，忽略掉了一個(gè)常見的例子。它就是球體表面的幾何，稱為“球面幾何”。

球面幾何

▲ 一個(gè)大圓將球體分成兩個(gè)相等的半球，大圓線是連接球面上兩點(diǎn)最短的路徑所在的曲線(圖自維基@jhbdel)

在球面幾何(Spherical geometry)里，這里歐幾里得的直線不再是“直線”，因?yàn)榍蛎嫔蟽牲c(diǎn)之間的最短距離是在大圓(Great circle)上的一段弧。球體是曲面，這樣三角形內(nèi)角和總是 180° 這一結(jié)論不再成立，比如在球面上既是非常小的三角形的內(nèi)角和也會(huì)略大于 180°(但局部區(qū)域按照平面歐幾里得幾何的定律還是很好的近似方法)，而更大的三角形會(huì)有更大于 180° 的內(nèi)角和。

▲ 球面三角形的內(nèi)角和不等于180°(圖自維基@Lars H. Rohwedder)

數(shù)學(xué)家花了很長(zhǎng)時(shí)間才注意到關(guān)于球面的幾何學(xué)，這是因?yàn)榕c地球的大小相比，人類實(shí)在是過(guò)于渺小。即便在地面上畫一個(gè)大大的三角形，然后測(cè)量角度之和與 180° 幾無(wú)偏差，以致于根本無(wú)法檢測(cè)到。

現(xiàn)在你可能會(huì)問(wèn)：是否還存在一種幾何學(xué)，其中第五公設(shè)不成立，但其中三角形內(nèi)角和小于 180°。

答案是，有的。這就是所謂的雙曲幾何。

雙曲幾何

雙曲幾何不像球面幾何一樣容易想象，因?yàn)樗荒茉谌S歐氏空間中無(wú)扭曲地建立模型。在雙曲幾何中，如同在球面幾何里，歐幾里得的前四條公設(shè)成立，但第五公設(shè)不成立。但在雙曲幾何中，至少可以找到兩條相異的直線，且都通過(guò) P 點(diǎn)，并不與 R 相交(如下圖所示)，因此它違反了平行公設(shè)。

▲ 通過(guò) P 點(diǎn)且漸漸趨近 R（但不相交）的直線(圖自維基 @Vladimir0987)

想象雙曲幾何的一個(gè)方式是龐加萊半平面模型。這個(gè)模型和“真正的”雙曲空間之間的關(guān)系同平面地圖和我們的球形世界之間的關(guān)系相似。例如，如果你沿直線從倫敦坐飛機(jī)到圣弗蘭西斯科，然后在地圖上畫出你的路線，路線就不再是直線，因?yàn)榈貓D扭曲了直線。（在標(biāo)準(zhǔn)“麥卡托投影法”映射下，接近極點(diǎn)處的距離被大大扭曲）在龐加萊半平面模型中，雙曲平面被展平成一張歐幾里得半平面。作為展平的一部分，雙曲平面中的許多直線在模型中變成彎曲的。雙曲平面中的直線在模型中變成垂直于半平面邊界的直線或圓心在半平面邊界上的圓。

▲ 雙曲幾何中的直線

隨著越來(lái)越靠近半平面邊界，距離變得越來(lái)越大，以至于只能靠近但永遠(yuǎn)無(wú)法到達(dá)邊界。這樣三角形是三條“直線”相交所得，并且如果你實(shí)驗(yàn)一下，你就會(huì)知道一個(gè)雙曲三角形的內(nèi)角和嚴(yán)格小于 180°。

▲ 三角形的內(nèi)角之和小于 180°

還有其他方式在平面上建立雙曲幾何模型。其中之一是在一個(gè)圓上表示雙曲平面，當(dāng)你靠近圓周時(shí)，距離變得越來(lái)越大。下面埃舍爾的《圓極限 IV》(又稱天堂和地獄)1960 年 7 月完成的木刻版畫，作品表達(dá)了對(duì)于龐加萊所描述的雙曲空間的感受。

球面幾何和雙曲幾何都是彎曲幾何的例子，不像歐式幾何是平坦的。在球面幾何中，曲率是正的，在雙曲幾何中，曲率為負(fù)。

彎曲空間

一個(gè)引起宇宙學(xué)家相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間興趣的問(wèn)題是，我們生活的宇宙是否是平的，在這個(gè)意義上，一個(gè)三角形的角度加起來(lái)總是180°?？雌饋?lái)確實(shí)是這樣，但從歷史上我們知道，這不一定是種正確的解釋。愛因斯坦的相對(duì)論告訴我們重力會(huì)引起空間局部彎曲。在如恒星這樣的大質(zhì)量物體周圍，空間被扭曲。這可以通過(guò)光束在靠近這些物體時(shí)發(fā)生彎曲觀察到?？拷诙吹牡胤?，扭曲如此之強(qiáng)以至于太靠近黑洞的光束被“吸進(jìn)”其中無(wú)法逃脫。所以如果你想象用光束作為邊來(lái)畫三角形，除非你小心地選擇你的位置遠(yuǎn)離大質(zhì)量物體，否則無(wú)法保證內(nèi)角和為 180°。

宇宙的形狀究竟怎樣？自1997年的毫米波段氣球觀天計(jì)畫開始的一連串宇宙微波背景輻射測(cè)量實(shí)驗(yàn)，目前科學(xué)家的觀點(diǎn)是，事實(shí)上我們確實(shí)生活在一個(gè)平坦的宇宙中，或者說(shuō)，如果有一個(gè)曲率，也是非常輕微的。

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