我們都熟悉時(shí)空的概念，它是簡(jiǎn)單的三維空間（X、Y、Z）和一個(gè)時(shí)間維度。在視覺(jué)上，一個(gè)點(diǎn)可以像下面這樣在時(shí)空中移動(dòng)，這被稱(chēng)為參考系。

• 一個(gè)在時(shí)空中移動(dòng)的參考系。

所有這些參考系的合并創(chuàng)造了空間，而任何導(dǎo)致時(shí)間移動(dòng)的因素都使這些參考系在時(shí)間中移動(dòng)?？臻g和時(shí)間是不分開(kāi)的。你移動(dòng)得越快，相對(duì)于其他靜止的人來(lái)說(shuō)，你的時(shí)間就越慢。此外，當(dāng)在一個(gè)方向上移動(dòng)時(shí)，那么你就在那個(gè)方向上收縮了！這是很重要的。當(dāng)空間收縮時(shí)，時(shí)間就會(huì)變慢來(lái)補(bǔ)償它。我們想說(shuō)明的是，時(shí)空是不可數(shù)的。讓我們看看如何說(shuō)明。

數(shù)字?

不可數(shù)是什么意思？為此，我們必須回到數(shù)字上來(lái)。

自然數(shù)包括數(shù)字1、2、3、4、......

整數(shù)包括數(shù)字..., -2, -1, 0, 1, 2, ...

有理數(shù)包括數(shù)字2/3，6/8，1/2，等等。

實(shí)數(shù)包括數(shù)軸上的每一個(gè)數(shù)字。

• 自然數(shù)N、整數(shù)Z、有理數(shù)Q和實(shí)數(shù)R的嵌套。

函數(shù)?

現(xiàn)在我們有了數(shù)字，讓我們來(lái)看看函數(shù)。函數(shù)是一種虛構(gòu)的機(jī)器，它從一個(gè)集合或空間中獲取一些東西，并將其轉(zhuǎn)換為另一個(gè)集合或空間中的其他東西。

• 一個(gè)任意的函數(shù)。

我們要看的主要有三種類(lèi)型的函數(shù)：單射式（(one-to-one）， 滿射式（onto），以及雙射式（one-to-one & onto）。單射是指A中的每個(gè)元素只映射到B中的一個(gè)元素一次；滿射意味著A映射到B的全部；雙射意味著A映射到B的全部，A中的每個(gè)元素只映射到B中的一個(gè)元素一次。從視覺(jué)上看，它看起來(lái)如下所示：

如果兩個(gè)集合有相同數(shù)量的元素，那么這兩個(gè)集合之間就會(huì)有一個(gè)雙射的映射。例如，請(qǐng)看下面這張可愛(ài)的圖片。左邊有3只狗，右邊有3只貓。如果我們把一只狗和每只貓只映射一次，就得到一個(gè)一對(duì)一的函數(shù)。此外，我們已經(jīng)涵蓋了所有三只貓，因此這個(gè)函數(shù)是滿射的。由于它既是一一對(duì)應(yīng)的，又是滿射的，所以它是雙射的。這使得我們可以提出以下命題。

命題：當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)集合之間存在雙射，則這兩個(gè)集合具有相同數(shù)量的元素(即相等的基數(shù))。我們記得這是一個(gè)“當(dāng)且僅當(dāng)”的命題，這意味著如果第一部分是真的，那么第二部分也是真的(反之亦然)。如果兩個(gè)集合具有相等的基數(shù)，那么這兩個(gè)集合之間就存在一個(gè)雙射。

可數(shù)性?

有了這些，我們就具備了證明時(shí)空不可數(shù)所需的一切。首先，我們必須定義可數(shù)性是什么意思。假設(shè)有一些任意的集合。讓我們稱(chēng)它為S（想象一個(gè)標(biāo)有S的空?qǐng)A，里面什么都沒(méi)有）。

集合，S，是：

有限集，如果它是空的，或者具有有限個(gè)數(shù)的元素。

無(wú)限集：如果它不是有限集。

此外，集合，S，是：

可數(shù)集，如果S具有與自然數(shù)相同的基數(shù)或數(shù)字元素。

可列集，如果它是有限的或可數(shù)集。

不可數(shù)集，如果它不是可數(shù)集。

無(wú)窮大和可數(shù)性并不相互排斥，因?yàn)樽匀粩?shù)可以達(dá)到無(wú)窮大。一個(gè)例子將有助于說(shuō)明問(wèn)題。讓我們看看集合S，這次我們用東西填滿它。這個(gè)集合里有多少個(gè)橙子？

這個(gè)橙子集合是可數(shù)的。換句話說(shuō)，我們可能做了以下的事情：

它看起來(lái)非常相似，我們只是給每個(gè)橙子分配了一個(gè)自然數(shù)。你會(huì)注意到的是，這是自然數(shù)和橙子之間的雙射。因此，如果自然數(shù)和任何任意集合之間存在雙射關(guān)系，那么這個(gè)任意集合就是可數(shù)的。這就是我們說(shuō)某物是否可數(shù)的意思。

時(shí)空是不可數(shù)的?

這就是我們需要證明時(shí)空是不可數(shù)的全部?jī)?nèi)容。在我們進(jìn)入這個(gè)問(wèn)題之前，讓我們回顧一下不同類(lèi)型的數(shù)：自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)和實(shí)數(shù)。有三種類(lèi)型的函數(shù)：、滿射和雙射、滿射和雙射。我們還知道，如果某樣?xùn)|西與自然數(shù)之間有一個(gè)雙射的映射，那么它就是可數(shù)的。再一次熟悉下時(shí)空中的參考系：

讓我們從證明空間不可數(shù)開(kāi)始。具體來(lái)說(shuō)，讓我們只從空間的一個(gè)維度開(kāi)始?；仡^看看參考系，選擇X空間維度。

如果你想在X空間維度上測(cè)量什么，你會(huì)怎么做？既然這是一個(gè)思想實(shí)驗(yàn)，讓我們想象一下，有一把尺子，可以測(cè)量任何可以想象到的尺寸如2.543米，1,203,021米，1.6x10^-35米等等。

如果我想測(cè)量每一個(gè)點(diǎn)，我可以做一些類(lèi)似下面的列表。其中，所有的Z都是整數(shù)（...，-2，-1，0，1，2，...），所有的X都是0到9之間的數(shù)字。這樣，我們將得到所有可以想象的實(shí)數(shù)。例如2.94872839000000032300，還有312,412,50,910.2419334923941、0.3333333……等等。

現(xiàn)在，實(shí)數(shù)是可數(shù)的還是不可數(shù)的？如果是可數(shù)，那么在自然數(shù)和實(shí)數(shù)之間就會(huì)有一個(gè)雙射。讓我們來(lái)看看能否把它畫(huà)出來(lái)。

這是什么意思呢？每個(gè)自然數(shù)可以映射到每一個(gè)實(shí)數(shù)。因此實(shí)數(shù)是可數(shù)的。那么你能回答下面問(wèn)題嗎：

如果你想不出來(lái)也不用擔(dān)心，答案馬上就會(huì)出現(xiàn)。想象一下，有一個(gè)實(shí)數(shù)a，和上面類(lèi)似，讓我們把a(bǔ)寫(xiě)成：

• a寫(xiě)成小數(shù)點(diǎn)擴(kuò)展

如果實(shí)數(shù)表中的第一個(gè)小數(shù)等于，例如5，那么a中的第一個(gè)小數(shù)就不能等于5。此外，如果實(shí)數(shù)表中的第二個(gè)小數(shù)等于，例如，7，那么a中的第二個(gè)小數(shù)就不能等于7。不斷地重復(fù)，你就會(huì)得到下面這樣的東西。

注意，所有的實(shí)數(shù)都列在了實(shí)數(shù)列表中，所以讓我們看看是否能在列表里找到a。它在第一行嗎？不在，表中的第一個(gè)小數(shù)點(diǎn)不可能等于a的第一個(gè)小數(shù)點(diǎn)。它在第二行嗎？不在，第二個(gè)小數(shù)點(diǎn)不可能等于a的第二個(gè)小數(shù)點(diǎn)。第三行呢？同理，也不在。這個(gè)概念如下圖所示，它被稱(chēng)為康托對(duì)角線，以格奧爾格·康托命名。

• 康托爾對(duì)角線證明了實(shí)數(shù)是不可數(shù)的。

那么，a在哪里？我們知道那張表包含了所有的實(shí)數(shù)，但我們剛剛發(fā)現(xiàn)了一個(gè)不在里面的實(shí)數(shù)，哪里出錯(cuò)了？錯(cuò)就錯(cuò)在我們假設(shè)實(shí)數(shù)是可數(shù)的。換句話說(shuō)，自然數(shù)和實(shí)數(shù)之間不存在雙射關(guān)系。如果沒(méi)有雙射，那么它們就有不同數(shù)量的元素。

你可能會(huì)問(wèn)，"但自然數(shù)和實(shí)數(shù)都是無(wú)限大的--無(wú)限怎么會(huì)比無(wú)限大？" 好問(wèn)題。我不知道該怎么告訴你。

回到時(shí)空問(wèn)題。如果在X方向上測(cè)量一切，這根本無(wú)法做到。換句話說(shuō)，你在那個(gè)方向上可以選擇的每個(gè)數(shù)字，我總是可以選擇一個(gè)你沒(méi)有選擇的數(shù)字?，F(xiàn)在，感受時(shí)間的流逝。時(shí)間是不可數(shù)的，我總是可以選擇一個(gè)你沒(méi)有選擇的時(shí)間點(diǎn)。

如果我們對(duì)時(shí)空的所有維度做與剛才相同的事情，會(huì)得到下面的東西：

• 時(shí)空是不可數(shù)的

我們已經(jīng)證明，時(shí)空是不可計(jì)數(shù)的。

它的意義?

我自己也不確定，但這確實(shí)引出了一個(gè)不祥的問(wèn)題：

你可能會(huì)問(wèn)，"什么是物體？"。讓我們來(lái)看幾個(gè)：星系的數(shù)目是可數(shù)的嗎？恒星、黑洞、原子、夸克呢？