一．選擇題（共10小題）

1．（2015·茂名）如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點，PD⊥OA于點D，PD=6，則點P到邊OB的距離為（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

選A（關注公眾號：初二數(shù)學語文英語）

【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，是基礎題，比較簡單，熟記性質是解題的關鍵．

2．（2015·天臺縣模擬）△ABC是一個任意三角形，用直尺和圓規(guī)作出∠A、∠B的平分線，如果兩條平分線交于點O，那么下列選項中不正確的是（　?。P注公眾號：初二數(shù)學語文英語）

A．點O一定在△ABC的內(nèi)部

B．∠C的平分線一定經(jīng)過點O

C．點O到△ABC的三邊距離一定相等

D．點O到△ABC三頂點的距離一定相等

【考點】角平分線的性質．21世紀教育網(wǎng)

【分析】根據(jù)角平分線的定義與性質即可判斷．

【解答】解：∵三角形角平分線的性質為：三角形的三條角平分線在三角形內(nèi)部且相交于一點，到三角形三條邊的距離相等，

∴A、B、C三個選項均正確，D選項錯誤．

故選D．

【點評】此題考查了角平分線的性質，熟記性質是解題的關鍵．

3．（2015·茂名校級一模）如圖，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，則點D到AB的距離是（　?。?/strong>

A．4 B．5 C．6 D．7

【考點】角平分線的性質．21世紀教育網(wǎng)

【專題】常規(guī)題型．（關注公眾號：初二數(shù)學語文英語）

【分析】由角平分線的性質可得點D到AB的距離等于CD，根據(jù)已知求得CD即可．

【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，

∴點D到AB的距離等于CD，

∵BC=10，BD=6，

∴CD=BC﹣BD=10﹣6=4，

∴點D到AB的距離是4．

故選A．

【點評】此題主要考查角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．

4．（2015·泰安樣卷）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是∠CAB的平分線，DE⊥AB于E，AB=a，CD=m，則AC的長為（　　）

A．2m B．a(chǎn)﹣m C．a(chǎn) D．a(chǎn)+m

【考點】角平分線的性質；等腰直角三角形．21世紀教育網(wǎng)

【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得CD=DE，再利用“HL”證明Rt△ACD和Rt△AED全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AC=AE，再判斷出△BDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質可得BE=DE，然后根據(jù)AE=AB﹣BE計算即可得解．

【解答】解：∵AD是∠CAB的平分線，DE⊥AB，∠C=90°，

∴CD=DE，（關注公眾號：初二數(shù)學語文英語）

在Rt△ACD和Rt△AED中，，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），

∴AC=AE，

∵∠B=45°，DE⊥AB，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴BE=DE=m，

∵AE=AB﹣BE=a﹣m，

∴AC=a﹣m．

故選B．

【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，等腰直角三角形的判定與性質，熟記性質是解題的關鍵．

5．（2015·河北模擬）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，對角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為（　?。?/strong>

A．7.5 B．8 C．15 D．無法確定

【考點】角平分線的性質；全等三角形的判定與性質．21世紀教育網(wǎng)

【分析】如圖，過點D作DE⊥BC于點E．利用角平分的性質得到DE=AD=3，然后由三角形的面積公式來求△BCD的面積．

【解答】解：如圖，過點D作DE⊥BC于點E．

∵∠A=90°，

∴AD⊥AB．（關注公眾號：初二數(shù)學語文英語）

∴AD=DE=3．

又∵BC=5，

∴S_△BCD=BC·DE=×5×3=7.5．

故選：A．

【點評】本題考查了角平分線的性質．角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．

6．（2015·蕪湖三模）△ABC的三邊AB，BC，CA的長分別為6cm，4cm，4cm，P為三邊角平分線的交點，則△ABP，△BCP，△ACP的面積比等于（　　）

A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：2

【考點】角平分線的性質．21世紀教育網(wǎng)

【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得點P到△ABC三邊的距離相等，然后根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比解答．

【解答】解：∵P為三邊角平分線的交點，

∴點P到△ABC三邊的距離相等，

∵AB，BC，CA的長分別為6cm，4cm，4cm，

∴△ABP，△BCP，△ACP的面積比=6：4：4=3：2：2．

故選D．（關注公眾號：初二數(shù)學語文英語）

【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，等高的三角形的面積的比等于底邊的比，熟記性質并判斷出點P到△ABC三邊的距離相等是解題的關鍵．（關注公眾號：初二數(shù)學語文英語）

7．（2015·江西校級模擬）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，已知CD=3，BD=5，則下列結論中錯誤的是（　?。?/strong>

A．AC=6 B．AD=7 C．BC=8 D．AB=10

【考點】角平分線的性質．21世紀教育網(wǎng)

【分析】過點D作DE⊥AB于點E，由角平分線的性質可知CD=DE=3，由勾股定理求出BE的長，再由相似三角形的判定定理得出△BED∽△BCA，故可得出AC及AB的長，在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理求出AD的長即可．

【解答】解：∵CD=3，BD=5，

∴BC=CD+BD=3+5=8，故C正確；

過點D作DE⊥AB于點E，

∵AD平分∠CAB，

∴CD=DE=3．

在Rt△BDE中，（關注公眾號：初二數(shù)學語文英語）

∵BD=5，DE=3，

∴BE===4．

∵∠B=∠B，∠DEB=∠C，

∴△BED∽△BCA，

∴==，即==，解得AB=10，AC=6，故A，D正確；

在Rt△ACD中，

∵AC=6，CD=3，

∴AD===3，故B錯誤．

故選B．

【點評】本題考查的是角平分線的性質，根據(jù)題意構造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關鍵．

8．（2015春·成都校級期末）如圖是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在（　?。P注公眾號：初二數(shù)學語文英語）

A．△ABC的三條中線的交點 B．△ABC三邊的中垂線的交點

C．△ABC三條高所在直線的交點 D．△ABC三條角平分線的交點

【考點】角平分線的性質；作圖—應用與設計作圖．21世紀教育網(wǎng)

【分析】由于涼亭到草坪三條邊的距離相等，所以根據(jù)角平分線上的點到邊的距離相等，可知是△ABC三條角平分線的交點．由此即可確定涼亭位置．

【解答】解：∵涼亭到草坪三條邊的距離相等，

∴涼亭選擇△ABC三條角平分線的交點．

故選D．（關注公眾號：初二數(shù)學語文英語）

【點評】本題主要考查的是角的平分線的性質在實際生活中的應用．主要利用了到線段的兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．

9．（2015秋·平南縣月考）如圖，Rt△ABC，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，則下列結論中不正確的是（　?。?/strong>

A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADB

C．AD平分∠EDC D．ED+AC＞AD

【考點】角平分線的性質．21世紀教育網(wǎng)

【分析】根據(jù)已知條件由角平分線的性質可得結論CD=DE，由此又可得出很多結論，對各選項逐個驗證，證明．

【解答】解：CD=DE，

∴BD+DE=BD+CD=BC；

又有AD=AD，（關注公眾號：初二數(shù)學語文英語）

可證△AED≌△ACD

∴∠ADE=∠ADC

即DE平分∠ADB；

在△ACD中，CD+AC＞AD

所以ED+AC＞AD．

故選B．

【點評】本題主要考查平分線的性質，由已知證明△AED≌△ACD是解決的關鍵．（關注公眾號：初二數(shù)學語文英語）

10．（2015春·吉州區(qū)期末）在正方形網(wǎng)格中，∠AOB的位置如圖所示，到∠AOB兩邊距離相等的點應是（　?。?/strong>

A．M點 B．N點 C．P點 D．Q點

【考點】角平分線的性質．21世紀教育網(wǎng)

【專題】網(wǎng)格型．（關注公眾號：初二數(shù)學語文英語）

【分析】根據(jù)角平分線的性質“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，注意觀察點M、N、P、Q中的哪一點在∠AOB的平分線上．

【解答】解：從圖上可以看出點M在∠AOB的平分線上，其它三點不在∠AOB的平分線上．

所以點M到∠AOB兩邊的距離相等．故選A．

【點評】本題主要考查平分線的性質，根據(jù)正方形網(wǎng)格看出∠AOB平分線上的點是解答問題的關鍵．

二．填空題（共10小題）

11．（2015·連云港）在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分線，則△ABD與△ACD的面積之比是　　　　　　．

【考點】角平分線的性質．21世紀教育網(wǎng)

【分析】估計角平分線的性質，可得出△ABD的邊AB上的高與△ACD的AC上的高相等，估計三角形的面積公式，即可得出△ABD與△ACD的面積之比等于對應邊之比．

【解答】解：∵AD是△ABC的角平分線，

∴設△ABD的邊AB上的高與△ACD的AC上的高分別為h₁，h₂，

∴h₁=h₂，

∴△ABD與△ACD的面積之比=AB：AC=4：3，

故答案為4：3．（關注公眾號：初二數(shù)學語文英語）

【點評】本題考查了角平分線的性質，以及三角形的面積公式，熟練掌握三角形角平分線的性質是解題的關鍵．

12．（2015·聊城）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分線．若AB=6，則點D到AB的距離是　　　　　?。?/strong>

【考點】角平分線的性質．21世紀教育網(wǎng)

【分析】求出∠ABC，求出∠DBC，根據(jù)含30度角的直角三角形性質求出BC，CD，問題即可求出．

【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，

∴∠ABC=180°﹣30°﹣90°=60°，

∵BD是∠ABC的平分線，

∴∠DBC=∠ABC=30°，（關注公眾號：初二數(shù)學語文英語）

∴BC=AB=3，

∴CD=BC·tan30°=3×=，

∵BD是∠ABC的平分線，

又∵角平線上點到角兩邊距離相等，

∴點D到AB的距離=CD=，

故答案為：．

【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，熟記性質是解題的關鍵．（關注公眾號：初二數(shù)學語文英語）

13．（2015·蘿崗區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于點D，若AB=4，且點D到BC的距離為3，則BD=　　　　　?。?/strong>

【考點】角平分線的性質．21世紀教育網(wǎng)

【分析】根據(jù)角平分線的性質得到AD=3，由勾股定理求得BD．

【解答】解：∵∠A=90°，

∴DA⊥AB，

∵BD平分∠ABC，點D到BC的距離為3，

∴AD=3，

∵AB=4，

∴BD==5．

【點評】本題主要考查了角平分線的性質，由已知能夠注意到D到BC的距離即為DE長是解決的關鍵．

14．（2015·綠園區(qū)一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=8．對角線BD⊥CD，P是BC邊上一動點，連結PD．若∠ADB=∠C，則PD長的最小值為　　　　　?。?/strong>

【考點】角平分線的性質；垂線段最短．21世紀教育網(wǎng)

【分析】根據(jù)垂線段最短，當DP垂直于BC的時候，DP的長度最?。Y合已知條件，利用三角形的內(nèi)角和定理推出∠ABD=∠CBD，由角平分線性質即可得AD=DP，由AD的長可得DP的長．

【解答】解：根據(jù)垂線段最短，當DP⊥BC的時候，DP的長度最?。?/p>

∵BD⊥CD，即∠BDC=90°，又∠A=90°，

∴∠A=∠BDC，又∠ADB=∠C，

∴∠ABD=∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，

∴AD=DP，又AD=8，

∴DP=8．

故答案為：8．（關注公眾號：初二數(shù)學語文英語）

【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，垂線段最短的性質，熟記性質并判斷出DP最小時的位置是解題的關鍵．21·世紀*教育網(wǎng)

15．（2015春·蘇州校級期末）如圖，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB．交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6，△DEB的周長為　　　　　　．

【考點】角平分線的性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理．21世紀教育網(wǎng)

【分析】分析已知條件，根據(jù)勾股定理可求得CA的長，△CAD≌△EAD，則DE=DC，在△BED中，BE=AB﹣AE，DE=DC，△DEB的周長為：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB．

【解答】解：△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AB=6

根據(jù)勾股定理得2CB²=AB²，∴CB=3，

∵AD平分∠CAB

∴∠CAD=∠EAD

∵DE⊥AB

∴∠DEA=90°=∠C

∴△CAD≌△EAD（AAS）

∴AC=AE=3，DE=CD

∴EB=AB﹣AE=6﹣3

故△DEB的周長為：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB=6﹣3+3=6．

【點評】此題考查了全等三角形的判定及性質，應用了勾股定理，三角形周長的求法，范圍較廣．

16．（2015春·晉江市期末）如圖，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，且DE=DF，若∠DBC=50°，則∠ABC=　　　　　　（度）．

【考點】角平分線的性質．21世紀教育網(wǎng)

【分析】根據(jù)到角的兩邊的距離相等的點在角平分線上可得BD平分∠ABC，再根據(jù)∠DBC=50°可得答案．

【解答】解：∵DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，且DE=DF，

∴BD平分∠ABC，

∴∠ABC=2∠DBC，（關注公眾號：初二數(shù)學語文英語）

∵∠DBC=50°，

∴∠ABC=100°，

故答案為：100．

【點評】此題主要考查了角平分線的性質，關鍵是掌握到角的兩邊的距離相等的點在角平分線上．

17．（2015秋·薊縣期中）如圖，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB，垂足為E，若△BDE的周長為8，則AB的長為　　　8　　　．

18．（2015秋·鎮(zhèn)海區(qū)校級月考）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥BC于E，若S△ABC=60cm2，AB=12cm，BC=18cm，則S△DBC=　　　　　　，DE=　　　　　?。?/strong>

【考點】角平分線的性質．21世紀教育網(wǎng)

【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得點D到AB的距離等于點D到BC的距離，即DE的長度，再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出S_△ABD：S_△DBC，然后求解即可，再利用三角形的面積公式列式計算即可求出DE．21教育名師（關注公眾號：初二數(shù)學語文英語）原創(chuàng)作品

【解答】解：∵BD是△ABC的角平分線，DE⊥BC，

∴點D到AB的距離等于點D到BC的距離，即DE的長度，

∵AB=12cm，BC=18cm，

∴S_△ABD：S_△DBC=AB：BC=12：18=2：3，

∵S_△ABC=60cm²，

∴S_△DBC=60×=36cm²，

∵DE⊥BC，

∴BC·DE=36，

即×18·DE=36（關注公眾號：初二數(shù)學語文英語），

解得DE=4cm．

故答案為：36cm²；4cm．

【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，三角形的面積，等高的三角形的面積的比等于底邊的比，熟記各性質是解題的關鍵．

19．（2014秋·定興縣期末）如圖，點P是∠BAC的平分線上一點，PE⊥AB，PF⊥AC，E，F(xiàn)分別為垂足，①PE=PF，②AE=AF，③

∠APE=∠APF，上述結論中正確的是　　　　　?。ㄖ惶钚蛱枺?/strong>

20．（2013秋·石家莊期末）如圖，已知△ABC的周長是21，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面積是　　　　　?。?/strong>

【考點】角平分線的性質．21世紀教育網(wǎng)

【分析】先根據(jù)角平分線的性質求得PE=PF，再利用全等即可判定．

【解答】解：∵點P是∠BAC的平分線上一點，PE⊥AB，PF⊥AC

∴PE=PF（關注公眾號：初二數(shù)學語文英語）

∴Rt△APE≌RT△APF（HL）

∴AE=AF，∠APE=∠APF

故填①②③．

【點評】本題主要考查平分線的性質及三角形全等的判定及性質；由已知求得Rt△APE≌RT△APF是解決的關鍵．

三．解答題（共10小題）

21．（2015·路南區(qū)二模）在學完全等三角形后，李老師給出了下列題目：

求證：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．

已知：

求證：

證明：

【考點】角平分線的性質．21世紀教育網(wǎng)

【分析】連接OA，作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分別為E、F，將△ABC的面積分為：S_△ABC=S_△OBC+S_△OAC+S_△OAB，而三個小三角形的高OD=OE=OF，它們的底邊和就是△ABC的周長，可計算△ABC的面積．2-1-c-n-j-y

【解答】解：作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分別為E、F，連接OA，

∵OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，

∴OD=OE=OF，

∴S_△ABC=S_△OBC+S_△OAC+S_△OAB

=×OD×BC+×OE×AC+×OF×AB

=×OD×（BC+AC+AB）

=×3×21=31.5．

故填31.5．

【點評】此題主要考查角平分線的性質；利用三角形的三條角平分線交于一點，將三角形面積分為三個小三角形面積求和，發(fā)現(xiàn)并利用三個小三角形等高是正確解答本題的關鍵．

22．（2015春·泰山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于點D，過點D作DE⊥AB于點E．

（1）求證：AC=AE；

（2）若點E為AB的中點，CD=4，求BE的長．

【考點】角平分線的性質；全等三角形的判定與性質．21世紀教育網(wǎng)

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，寫出已知和求證，根據(jù)全等三角形的判定和性質證明結論．

【解答】已知：PE=PF，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，

求證：點P在∠AOB的平分線上．

證明：在Rt△POE和Rt△POF中，

，

∴Rt△POE≌△RtPOF，

∴∠EOP=∠FOP，

∴點P在∠AOB的平分線上．

【點評】本題考查的是角平分線的判定的證明，靈活運用直角三角形全等的判定定理是解題的關鍵．（關注公眾號：初二數(shù)學語文英語）

23．（2015·黃島區(qū)校級模擬）現(xiàn)要在三角地ABC內(nèi)建一中心醫(yī)院，使醫(yī)院到A、B兩個居民小區(qū)的距離相等，并且到公路AB和AC的距離也相等，請確定這個中心醫(yī)院的位置．

【考點】角平分線的性質；線段垂直平分線的性質；作圖—應用與設計作圖．21世紀教育網(wǎng)

【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質作出AB的垂直平分線，根據(jù)角平分線性質作出∠BAC的角平分線，即可得出答案．

【解答】解：

作AB的垂直平分線EF，作∠BAC的角平分線AM，兩線交于P，

則P為這個中心醫(yī)院的位置．

【點評】本題考查了線段垂直平分線性質，角平分線性質的應用，主要考查學生的理解能力和動手操作能力

24．（2015春·澧縣期末）如圖：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF；

說明：（1）CF=EB．

（2）AB=AF+2EB．

【解答】證明：（1）∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴DE=DC，

∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，，

∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．

∴CF=EB；

（2）∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴CD=DE．

在△ADC與△ADE中，

∵

∴△ADC≌△ADE（HL），

∴AC=AE，

∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．

【點評】本題主要考查平分線的性質，由已知能夠注意到點D到AB的距離=點D到AC的距離，即CD=DE，是解答本題的關鍵．

25．（2015秋·泰興市校級月考）如圖，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，BE，CF相交于點D，若BD=CD．求證：AD平分∠BAC．

【考點】角平分線的性質；全等三角形的性質；直角三角形全等的判定．21世紀教育網(wǎng)

【專題】證明題．

【分析】要證AD平分∠BAC，只需證DF=DE．可通過證△BDF≌△CDE（AAS）來實現(xiàn)．（關注公眾號：初二數(shù)學語文英語）

根據(jù)已知條件，利用AAS可直接證明△BDF≌△CDE，從而可得出AD平分∠BAC．

【解答】證明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，

∴∠BFD=∠CED=90°．

在△BDF與△CDE中，

，

∴△BDF≌△CDE（AAS）．

∴DF=DE，

∴AD是∠BAC的平分線．

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，以及到角兩邊距離相等的點在角平分線上等知識．發(fā)現(xiàn)并利用△BDF≌△CDE是正確解答本題的關鍵．

26．（2014秋·蕪湖校級期末）如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足為E、F，求證：EB=FC．

【考點】角平分線的性質；全等三角形的判定與性質．21世紀教育網(wǎng)

【專題】證明題．

【分析】首先由角平分線的性質可得DE=DF，又有BD=CD，可證Rt△BED≌Rt△DFC（HL），即可得出EB=FC．21·cn·jy·com

【解答】證明：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB、DF⊥AC，

∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，

在Rt△BED和Rt△DFC中，

，

∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），

∴EB=FC．

【點評】此題主要考查角平分線的性質和全等三角形的判定和性質，難度不大．（關注公眾號：初二數(shù)學語文英語）

27．（2014秋·隴西縣期末）如圖：E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足為C，D．

求證：（1）OC=OD；（2）DF=CF．

【考點】角平分線的性質；全等三角形的判定與性質；等腰三角形的判定與性質．21世紀教育網(wǎng)

【專題】證明題．

【分析】（1）首先根據(jù)角平分線的性質可得EC=DE，∠ECO=∠EDO=90°，然后證明Rt△COE≌Rt△DOE可得CO=DO；

（2）證明COF≌△DOF可根據(jù)全等三角形的性質可得FC=FD．

【解答】證明：（1）∵E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，

∴EC=DE，∠ECO=∠EDO=90°，

在Rt△COE和Rt△DOE中，

，

∴Rt△COE≌Rt△DOE（HL），

∴CO=DO；

（2）∵EO平分∠AOB，（關注公眾號：初二數(shù)學語文英語）

∴∠AOE=∠BOE，

在△COF和△DOF中，

，

∴△COF≌△DOF（SAS），

∴FC=FD．

【點評】此題主要考查了角平分線的性質，以及全等三角形的判定與性質，關鍵是掌握角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．

28．（2014秋·南昌期末）如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，求：

（1）S△ACD；

（2）AC的長．

【考點】角平分線的性質．21世紀（關注公眾號：初二數(shù)學語文英語）教育網(wǎng)

【分析】（1）根據(jù)S_△ACD=S_△ABC﹣S_△ABD，利用三角形的面積公式可求解；

（2）過點D作DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=DF，再根據(jù)（1）中所求S_△ACD=3列出方程求解即可．

【解答】解：（1）S_△ACD=S_△ABC﹣S_△ABD=7﹣×4×2=3；

（2）如圖，過點D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點E，

∴DE=DF=2．

∵S_△ACD=3，

∴×AC×2=3，

解得AC=3．

【點評】本題考查了三角形的面積，角平分線性質的應用，注意：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．

29．（2014秋·蘇州期末）一天，數(shù)學老師布置一個思考題，要求每個學習小組課后去討論．你能和他們一起思考嗎？題目是這樣的：

如圖，P是∠AOB的角平分線OC上一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．

（1）比較PD與PE的長短，得　　　　　??；

（2）在OC上另取一點Q，畫QF⊥OA，QG⊥OB，垂足分別為F，G．再比較QF、QG的長短，得　　　　　　；

（3）你可以在角平分線OC上再取其它一些點試試，從中你發(fā)現(xiàn)了什么？

【考點】角平分線的性質．21世紀教育網(wǎng)

【分析】（1）通過實際操作能得到P點到角的兩邊距離相等；

（2）通過實際操作能得到P點到角的兩邊距離相等；

（3）可以通過證明三角形全等來得到正確的結論；

【解答】解：（1）用直尺量得PD=PE；

（2）用直尺量得QF=QG；

（3）證明：∵P是∠AOB的角平分線OC上一點，

∴∠AOC=∠BOC，

PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠ODP=∠OEP，

∴△DOO≌△EPO，

∴PD=PE，

∴角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．

【點評】本題考查了角平分線的性質，通過學生的動手、動腦使得學生更加牢固的掌握了新知識．

30．（2014秋·贛州期末）已知：如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC．

（1）求證：AM平分∠BAD；

（2）試說明線段DM與AM有怎樣的位置關系？

（3）線段CD、AB、AD間有怎樣的關系？直接寫出結果．

【考點】角平分線的性質；全等三角形的判定與性質．21世紀教育網(wǎng)

【專題】幾何綜合題．

【分析】（1）首先要作輔助線，ME⊥AD則利用角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等可知ME=MC，再利用中點的條件可知ME=MB，再利用到角兩邊距離相等的點在角的平分線上的逆定理證明AM平分∠DAB．

（2）根據(jù)平行線性質得出∠CDA+∠BAD=180°，求出∠1+∠3=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．21cnjy.com

（3）證Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD=DE，同理得出AE=AB，即可得出答案．

【解答】（1）證明：作ME⊥AD于E，

∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，

∴ME=MC，

∵M為BC中點，

∴MB=MC，

又∵ME=MC，

∴ME=MB，

又∵ME⊥AD，MB⊥AB，

∴AM平分∠DAB．