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數(shù)學(xué)難點【勾股定理最短路徑問題】,經(jīng)典例題 答案解析

 一個大風(fēng)子 2021-09-29


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勾股定理最短路徑問題

例題1:如圖,長方體的長為15,寬為10,高為20,點B離點C的距離為5,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B,需要爬行的最短距離是多少?

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分析:通過圖可以發(fā)現(xiàn),是一個點到它相對的另外一個點的情形。先確定長方體的長寬高,分別為5、10、20。

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這類問題相對來說比較簡單,這樣解題本質(zhì)上還是展開圖的三種情形。

2.長方體中爬行,不是到達(dá)相對的另外一個點

如果在長方體中爬行,不是到達(dá)相對的另外一個點,那就只有通過展開圖來解決問題。

例題2:如圖,長方體的底面邊長為4cm和寬為2cm,高為5cm.若一只螞蟻從P點開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點,求螞蟻爬行的最短路徑長為多少厘米?

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分析:要求長方體中兩點之間的最短路徑,最直接的作法,就是將長方體展開,然后利用兩點之間線段最短來求解。本題螞蟻爬行了四個面,那就需要將四個面都展開來進(jìn)行計算。

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3.在圓柱體中爬行半圈或一圈

在圓柱體中爬行,要分兩種情況,圓柱的側(cè)面展開圖是長方形,可能爬行了長方形的一半,也有可能爬行了整個長方形。

例題3:如圖,一圓柱體的底面周長為24cm,高AB為9cm,BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點A出發(fā),沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C,則螞蟻爬行的最短路程是多少厘米?

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變式:一只螞蟻從點A出發(fā),沿著圓柱的側(cè)面爬行到點B,則螞蟻爬行的最短路程是多少厘米?

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4.正方體表面爬行

螞蟻在正方體表面爬行時,一般就一種情形,可通過畫圖解決。

例題4:如圖,點A的正方體左側(cè)面的中心,點B是正方體的一個頂點,正方體的棱長為2,一螞蟻從點A沿其表面爬到點B的最短路程是多少?

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本題點A為正方形的中心,因此到四條邊的距離都是邊長的一半。

5.圓柱體多圈問題

例題5:為籌備元旦晚會,同學(xué)們設(shè)計了一個圓筒形燈罩,底色漆成白色,然后纏繞紅色油紙,如圖,已知圓筒高108cm,其平行底面的截面周長為36cm,如果在表面纏繞4圈,需要油紙的長度為多少厘米?

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分析:將圓柱體沿一條母線展開,可得圖形,如下圖,只需求出每一圈所需的油紙的長度即可,展開后即轉(zhuǎn)化為求解直角三角形的問題,在Rt△ABC中,AB已知,BC可求,根據(jù)勾股定理即可得出AC的長度,由于油紙纏繞4圈,故油紙的總長度為4AC的長度。

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6.螞蟻爬行轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問題

例題6:如圖,圓柱形容器高為18cm,底面周長為24cm,在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點B處有一滴蜂蜜,此時一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿2cm與蜂蜜相對的點A處,則螞蟻從外壁A處到達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離是多少厘米?

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分析:本將圖形展開,利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵.同時也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力。將杯子側(cè)面展開,建立A關(guān)于EF的對稱點A′,根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求。

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本題是由外到內(nèi),需要轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問題解決,不是單單螞蟻爬行問題。

7.螞蟻在樓梯上爬行

例題7:如圖,是一個三級臺階,它的每一級的長,寬,高分別為20 dm,3 dm,2 dm,A和B 是這個臺階兩相對的端點,A點有一只螞蟻想到B點去吃可口的食物,則螞蟻沿著臺階爬到B點的最短路程是多少dm?

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分析:先將圖形平面展開,再用勾股定理根據(jù)兩點之間線段最短進(jìn)行解答。

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▎編輯:小名老師

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