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直角三角形的性質(zhì)及判定

 shawnsun007 2021-09-17

◎直角三角形定義: 

有一個(gè)角為90°的三角形,叫做直角三角形。
直角三角形可用Rt△表示,如直角三角形ABC寫(xiě)作Rt△ABC。

◎直角三角形性質(zhì):

直角三角形是一種特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性質(zhì)外,具有一些特殊的性質(zhì):
性質(zhì)1:(勾股定理)直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方,即,如圖:

性質(zhì)2:在直角三角形中,兩個(gè)銳角互余.如圖,若∠B=90°,則∠A+∠C=90°

性質(zhì)3:(直角三角形斜邊中線(xiàn)定理)在直角三角形中,斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半(即直角三角形的外 心位于斜邊的中點(diǎn),外接圓半徑R=C/2),如圖

性質(zhì)4:直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積,即AD×BC=AC×AB.如圖

性質(zhì)5:(映射定理 又稱(chēng) 歐幾里德定理)如圖,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜邊BC上的高,則有射影定理如下:
(1)(AD)2=BD·DC。
(2)(AB)2=BD·BC。
(3)(AC)2=CD·BC。

性質(zhì)6:含30°的直角三角形三邊之比為,如圖

該性質(zhì)還可表述為:

在直角三角形中,如果有一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。
在直角三角形中,如果有一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°。

性質(zhì)7:如圖,

性質(zhì)8:直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。

性質(zhì)9:直角三角形直角上的角平分線(xiàn)與斜邊的交點(diǎn)D 則    BD:DC=AB:AC

性質(zhì)10:含45°角的直角三角形三邊之比為

性質(zhì)11:直角三角形垂心位于直角頂點(diǎn).

性質(zhì)12:直角三角形的內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊之和減去斜邊的差的一半,即r=a+b-c/2

性質(zhì)13:直角三角形中,斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上的射影比例中項(xiàng).

性質(zhì)14:直角三角形中,每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的 比例中項(xiàng).由此,直角三角形兩條直角邊的平方比等于它們?cè)谛边吷系纳溆氨龋?/span>

◎直角三角形的判定方法:

判定1:定義,有一個(gè)角為90°的三角形是直角三角形。
判定2:判定定理:以a、b、c為邊的三角形是以c為斜邊的直角三角形。如果三角形的三邊a,b,c滿(mǎn)足
,那么這個(gè)三角形就是直角三角形。(勾股定理的逆定理)。
判定3:若一個(gè)三角形30°內(nèi)角所對(duì)的邊是某一邊的一半,則這個(gè)三角形是以這條長(zhǎng)邊為斜邊的直角三角形。
判定4:兩個(gè)銳角互為余角(兩角相加等于90°)的三角形是直角三角形。
判定5:若兩直線(xiàn)相交且它們的斜率之積互為負(fù)倒數(shù),則兩直線(xiàn)互相垂直。那么
判定6:若在一個(gè)三角形中一邊上的中線(xiàn)等于其所在邊的一半,那么這個(gè)三角形為直角三角形。
判定7:一個(gè)三角形30°角所對(duì)的邊等于這個(gè)三角形斜邊的一半,則這個(gè)三角形為直角三角形。(與判定3不同,此定理用于已知斜邊的三角形。)

◎ 直角三角形的性質(zhì)及判定的教學(xué)目標(biāo)
1、進(jìn)一步掌握直角三角形的性質(zhì)----直角三角形中,30度的角所對(duì)的邊等于斜邊的一半;
2、能利用直角三角形的性質(zhì)解決一些實(shí)際問(wèn)題;
3、體驗(yàn)探究直角三角形性質(zhì)和判定的過(guò)程,培養(yǎng)動(dòng)手、動(dòng)腦的能力。
◎ 直角三角形的性質(zhì)及判定的考試要求
能力要求:理解
課時(shí)要求:40
考試頻率:???br>分值比重:3

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