現(xiàn)在我先講第一個(gè)問題,小學(xué)階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在上一次講座中,我們非常認(rèn)真地回顧了這個(gè)世紀(jì)教育教學(xué)改革,特別是強(qiáng)調(diào)了三個(gè)方面：一是從教學(xué)大綱到課程標(biāo)準(zhǔn)的變化,這個(gè)變化帶來了教育理念的變化,就是以知識為本到以人為本,并且課程目標(biāo)也發(fā)生了很大的變化,就是從一維目標(biāo)到三維目標(biāo)。上次還特別講到，三維目標(biāo)的過程性目標(biāo)逐漸演變了數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)從雙基到四基,從兩能到四能,并且講到了最近非常強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。這一次講座，我們直接從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)開始講起,在上次高中課標(biāo)中,基本把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)定義為具有數(shù)學(xué)基本特征的關(guān)鍵能力、思維品質(zhì)以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)。

無論如何我們應(yīng)該知道，所謂的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指我們經(jīng)過數(shù)學(xué)的教育,我們培養(yǎng)的人應(yīng)該是什么樣。應(yīng)該是什么樣，主要是指行為的有關(guān)問題,比如說如何思考問題,如何做事情,并且我們知道,核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是在學(xué)生參與其中的教學(xué)活動中逐步形成和發(fā)展的，這是教育過程。在這一次討論義教課標(biāo)修訂的時(shí)候,我們進(jìn)一步認(rèn)為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有一致性和發(fā)展性。一致性，就是說無論是從小學(xué)、初中、高中,甚至到大學(xué),我們所說的核心素養(yǎng)應(yīng)當(dāng)是一致的,因?yàn)檫@是數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)。同時(shí)它又有發(fā)展性或者說階段性,就是說數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在小學(xué)階段、初中階段、高中階段和大學(xué)階段的表現(xiàn)是不一樣,是不同的。

現(xiàn)在，我們逐漸地把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)集中到“三會”上,就是會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。

關(guān)于情感、態(tài)度、價(jià)值觀,主要有六個(gè)方面,比如學(xué)習(xí)的興趣和學(xué)習(xí)的習(xí)慣,這兩條已經(jīng)寫在課程目標(biāo)中,還有應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識,作為核心素養(yǎng)的一個(gè)具體表現(xiàn)也寫在課標(biāo)中,還有科學(xué)精神和社會責(zé)任感,作為素養(yǎng)的解釋也寫在課標(biāo)中。

數(shù)學(xué)的眼光是什么呢？數(shù)學(xué)的眼光主要是數(shù)學(xué)的抽象,這樣使得數(shù)學(xué)有個(gè)基本特征,就是數(shù)學(xué)的一般性。數(shù)學(xué)的思維是什么呢？主要是邏輯推理,這樣的話使得數(shù)學(xué)就具有了嚴(yán)謹(jǐn)性。數(shù)學(xué)語言主要指數(shù)學(xué)模型，因?yàn)楝F(xiàn)在的數(shù)學(xué)應(yīng)用大部分是以模型的形式應(yīng)用于各個(gè)學(xué)科,因此使得數(shù)學(xué)具有了應(yīng)用的廣泛性。雖然數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)語言是這樣,但是在各個(gè)階段表現(xiàn)是不一定一樣，不完全一樣。我們基本思考是這樣的（這供各位老師參考）：就是在低學(xué)段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)表現(xiàn)的更加具體,更加側(cè)重于意識,在高學(xué)段可能表現(xiàn)的更加一般,更加側(cè)重能力。根據(jù)這個(gè)原則，核心素養(yǎng)的表現(xiàn)在高中有6個(gè)；在初中有7個(gè)；在小學(xué)有9個(gè)，再加上應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，在小學(xué)的表現(xiàn)就有11個(gè)。我們看看是怎么構(gòu)成的。

數(shù)學(xué)的眼光在高中是數(shù)學(xué)抽象，到初中強(qiáng)調(diào)有抽象的意識就行，但是在小學(xué)階段就更加具體了，數(shù)學(xué)的眼光主要表現(xiàn)于符號的意識，表現(xiàn)于數(shù)感，表現(xiàn)于量感；數(shù)學(xué)眼光在高中還有直觀想象，那么在初中是空間觀念和幾何直觀，在小學(xué)就是空間意識和幾何直觀。這里，需要稍微說明一下：意識和觀念是有所不同的。意識更側(cè)重于直觀，有這個(gè)思維的想法，有這個(gè)動作的前提就認(rèn)為是可以了；而觀念是建立在概念的基礎(chǔ)上，因此觀念要比意識更一般一些。同樣的道理，在初中強(qiáng)調(diào)推理能力，那么在小學(xué)現(xiàn)在要強(qiáng)調(diào)推理意識；在初中強(qiáng)調(diào)模型思想，那么在小學(xué)強(qiáng)調(diào)模型意識；在初中強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)觀念，在小學(xué)就強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)意識。希望老師能夠大概的能夠感悟到區(qū)別?？傮w來說，就是小學(xué)更加具體，更加側(cè)重于意識，更加側(cè)重于一種感覺，而不是建立在概念基礎(chǔ)上的東西。

下面講一下小學(xué)數(shù)學(xué)課程的變化趨勢。無論是小學(xué)還是初中，都包括四個(gè)領(lǐng)域：數(shù)與代數(shù)，圖形與幾何，統(tǒng)計(jì)與概率，綜合與實(shí)踐，這四個(gè)領(lǐng)域沒有變化。但是，為了更好地適用于四基的教學(xué)，或者進(jìn)一步說更好地適用于核心素養(yǎng)的教學(xué)，這次課標(biāo)修訂有個(gè)總體趨勢是這樣：在數(shù)與代數(shù)中要強(qiáng)調(diào)整體性和一致性（下面我會專門來談這個(gè)事情），并且把負(fù)數(shù)、方程、反比例移到初中去（下面我也會談移到初中的理由是什么）；在圖形與幾何中,更加強(qiáng)調(diào)幾何直觀,這樣的話就增加了尺規(guī)作圖的內(nèi)容。增加尺規(guī)作圖有一個(gè)最重要最重要的事情,就是在小學(xué)數(shù)學(xué)中要增加一些操作,讓學(xué)生在這個(gè)操作的過程中感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì),感悟數(shù)學(xué)這個(gè)概念對研究對象之間的關(guān)系，這件事情很重要。

我曾經(jīng)講過一件事情,我現(xiàn)在再重復(fù)一下,我希望無論未來教材寫不寫,在小學(xué)三、四年級的教學(xué)中大概都要教一下拆盒子。什么叫拆盒子呢？就是在小學(xué)三年級，把一個(gè)立體的直方的盒子拆開,讓孩子們看一下拆開之后，這個(gè)折的那個(gè)線在平面上的表現(xiàn)是如何的。如果可能的話，在四年級，在一張紙上把一些你想象好的圖像是什么樣的,在這個(gè)紙上把這個(gè)要出現(xiàn)的印兒畫出來,然后疊起來,看看最后疊出來的東西跟你想的是不是一樣,在這樣的過程中能夠培養(yǎng)學(xué)生的想象力。在小孩子階段培養(yǎng)想象力是非常重要的。

我曾經(jīng)經(jīng)歷過這樣的一件事情,我們附中高中的數(shù)學(xué)老師,也是我的學(xué)生,他有一次問我,他說老師為什么現(xiàn)在許多孩子這個(gè)空間觀念這么不好，學(xué)習(xí)立體幾何很困難？我說你查一下,是不是沒有附小的孩子？后來他查一下,確實(shí)沒有附小的孩子。我說很重要的原因,附小在三、四年級中教這個(gè)孩子拆盒子,讓他建立起空間觀念,這是非常重要的一件事情。因此小學(xué)老師啊,應(yīng)該明白一件事情,就是說你教的東西不一定馬上就能見效,但是你教給孩子是對數(shù)學(xué)或者對幾何的一個(gè)感覺,這個(gè)感覺在他未來學(xué)習(xí)中就會起到作用,在這個(gè)意義上小學(xué)教學(xué)是非常重要的,并且小學(xué)教學(xué)也是非常困難的，老師一定要知道這一點(diǎn)！ 

為了同樣的目的,我們這一次在課標(biāo)中明確地加入了尺規(guī)作圖的內(nèi)容。只有兩個(gè)要求：第一個(gè)要求,在三年級或者四年級（我看大部分教材大概都是放在三年級）,就是給定一條線段,讓你畫出同樣長的線段,過去這樣的問題我們是用尺子量的,2cm、3cm……現(xiàn)在光用尺子量可能還是不行,應(yīng)該要得到數(shù)學(xué)表達(dá)的一般性,那么我們就用尺規(guī)作圖,用圓規(guī)量出這個(gè)長度,讓孩子感悟到用圓規(guī)能夠測量長度。這件事情很重要。如果在三、四年級孩子能感悟到這一點(diǎn)的話,那么到五、六年級講圓的時(shí)候，學(xué)生就能非常清楚地知道——圓上的點(diǎn)到圓心的距離是相等的，就是這個(gè)感覺,甚至這個(gè)定義學(xué)生都能給出來,所以，在三、四年級給出這個(gè)感覺是很重要的。我現(xiàn)在不知道教材未來的編寫是什么樣的,無論如何老師們可以知道這件事情,也可以嘗試著做這件事情。比如，給出一條線段做相同長的這個(gè)線段；會作的話，那么你就可以進(jìn)一步提出這樣的問題,給一條線段作一個(gè)等邊三角形；或者進(jìn)一步,給兩條線段作等腰三角形。給兩條線段作等腰三角形時(shí)，老師會注意到,不一定哪條邊都能夠成為腰的,因?yàn)槿切涡枰獌蛇呏痛笥诘谌?因此在這個(gè)過程中學(xué)生能夠逐漸地感悟到三角形的兩邊之和大于第三邊,就是有些結(jié)論不一定都必須是老師教的。學(xué)生在自己操作的過程中感悟到并且得到這樣的結(jié)論,這樣的教學(xué)是非常重要的；而且能夠培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的一個(gè)感覺,這對未來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是非常有好處的。

第二個(gè)要求，就是把三角形的三條邊長首尾相接落在一條直線上，使孩子們感悟到什么是三角形的周長。大家可能在教學(xué)中已經(jīng)碰到這樣的問題，就是在講三角形的周長和三角形的面積的時(shí)候，學(xué)生很難理解周長和面積是怎么回事。通過尺規(guī)作圖形象地表達(dá)出來，這樣的話能對孩子直觀理解有好處，所以，我們這次就是為了培養(yǎng)幾何直觀，增加了尺規(guī)作圖的內(nèi)容。

在概率統(tǒng)計(jì)這兒沒有很大的變化，但是把百分?jǐn)?shù)過去在數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容，現(xiàn)在放在統(tǒng)計(jì)里了。這個(gè)變化也是非常重要，這個(gè)變化在某種程度上是適應(yīng)大數(shù)據(jù)時(shí)代的要求。因?yàn)樵诖髷?shù)據(jù)時(shí)代很多事情的表現(xiàn)是以百分?jǐn)?shù)的形式表現(xiàn)的，比如大家很關(guān)心的問題有多少人在關(guān)心呢？大家對某一個(gè)問題的看法有（多少人）百分之多少？大部分?jǐn)?shù)據(jù)形式以百分?jǐn)?shù)的形式出現(xiàn)。因此，這樣的百分?jǐn)?shù)和我們傳統(tǒng)教的百分?jǐn)?shù)是有所區(qū)別的，區(qū)別在哪里呢？區(qū)別在這個(gè)地方：無論如何，百分?jǐn)?shù)都是一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)量單位，是數(shù)的倍數(shù)關(guān)系的表達(dá)。但是有兩種表達(dá)：一種是我們過去所教的，是相對穩(wěn)定的表達(dá)。什么意思呢？過去我們教一種飲料中果汁的含量占百分之多少，這在某種意義上是相對穩(wěn)定的，包括稅率、利息、折扣這樣的都是相對穩(wěn)定的。但是，事實(shí)上在我們的日常生活中大量的（百分?jǐn)?shù)）是隨機(jī)的，比如投籃的罰中的命中率，每一次就不一定是一樣的；下雨的概率也不一定是一樣的。可能是下雨的概率天氣預(yù)報(bào)說90%，你可能帶雨傘，說60%，你可能就不帶雨傘。概率是不一樣的，包括經(jīng)濟(jì)增長率。

我們現(xiàn)在跟教材的編寫者建議了這么兩件事，就是用百分?jǐn)?shù)，學(xué)生能夠用于決策（不光是學(xué)生決策），國家也能夠用百分?jǐn)?shù)進(jìn)行決策。比如藍(lán)天改造計(jì)劃。藍(lán)天改造計(jì)劃是怎么規(guī)定的呢？是這么規(guī)定的，把中國30多個(gè)省的省會藍(lán)天的數(shù)量統(tǒng)計(jì)起來占一年的百分之多少，然后按照藍(lán)天數(shù)量的由少到多進(jìn)行排隊(duì)，大概是在80%那個(gè)地方作為國家的要求，這意味著80%的達(dá)到了；其他的一些沒達(dá)到的，要進(jìn)行努力要達(dá)到這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。再比如，有一次在清華附小，我建議他們做這樣的一個(gè)課：把數(shù)學(xué)、體育、語文能夠放在一起，這樣的一門課。比如，在體育課，這個(gè)問題是：四年級的學(xué)生跳繩跳多少個(gè)是四年級學(xué)生的標(biāo)準(zhǔn)呢？有這樣的一個(gè)問題。第一堂課是上體育課，讓學(xué)生們跳繩，每個(gè)同學(xué)可以跳一次、可以跳兩次、跳三次，用平均，這樣的話把孩子們跳繩的平均數(shù)記下來。在數(shù)學(xué)課呢，把這些跳繩的數(shù)量由少到多進(jìn)行排隊(duì)，然后引發(fā)學(xué)生討論：我們?nèi)绾胃鶕?jù)這個(gè)數(shù)據(jù)來制定我們這個(gè)學(xué)校四年級學(xué)生跳繩的標(biāo)準(zhǔn)？讓學(xué)生講出理由來。你可以要前25%跳繩的數(shù)量，可以要一半兒，也可以要75%，只要你能講出合適的理由就可以。然后，語文課，把學(xué)生的這些東西作為一個(gè)實(shí)驗(yàn)報(bào)告或者作為一個(gè)記述文寫下來。像這樣的培養(yǎng)，對于學(xué)生能夠把數(shù)學(xué)的知識和日常生活聯(lián)系得更加緊密，學(xué)生能夠更好地體會數(shù)學(xué)的意義。因此，在綜合與實(shí)踐，加強(qiáng)與其他學(xué)科的融合，與生活、與傳統(tǒng)文化的聯(lián)系（我下面會談到）。這次，比較常強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與傳統(tǒng)文化的聯(lián)系。

這次修訂的基本思路是什么？就是總體的思路是什么呢？就是加強(qiáng)幾何直觀，要加強(qiáng)代數(shù)推理。加強(qiáng)幾何直觀，我剛才已經(jīng)講到。加強(qiáng)代數(shù)推理，主要表現(xiàn)在整體性和一致性，我下面還會仔細(xì)地來談這個(gè)問題。因此根據(jù)這樣的變化，我們的老師應(yīng)該知道——你所教授的數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)是什么，并且還要知道——這些數(shù)學(xué)知識所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是什么，這樣你才能在教學(xué)過程中能夠凸顯數(shù)學(xué)的本質(zhì)，讓學(xué)生感悟其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

在綜合與實(shí)踐中，把我們過去所說的常見的量都放在其中，這樣的話就豐富了綜合與實(shí)踐的內(nèi)容。常見的量，除了長度之外，其他的量都是人為規(guī)定的那些量，放在綜合與實(shí)踐（其實(shí)長度也是人為規(guī)定的）。比如，第一學(xué)段認(rèn)識人民幣，認(rèn)識時(shí)分秒，再認(rèn)識上下左右、東西南北，這些認(rèn)識都?xì)w一個(gè)主題活動。在課標(biāo)中給出了這樣的主題活動，但是，是建議供教學(xué)教材編寫參考，也供老師教學(xué)參考。如果你們不是這樣的主題活動，無論如何要把這些內(nèi)容放進(jìn)去，你可以設(shè)計(jì)一個(gè)其他的主題，以主題活動的形式把這些內(nèi)容表現(xiàn)出來。

比如，第二學(xué)段。第二學(xué)段就進(jìn)一步感悟年月日了，并且講了曹沖稱象的故事。大家未來看課標(biāo)，課標(biāo)凡是談什么什么的故事的話，往往都跟傳統(tǒng)文化聯(lián)系起來。曹沖稱象的故事，老師應(yīng)該知道這一點(diǎn)，不光是從這個(gè)故事來認(rèn)識重量單位，不光是這樣；還應(yīng)該感悟其中的數(shù)學(xué)的思想是什么。曹沖稱象為什么是可行的呢？它最起碼有兩個(gè)：一個(gè)是等量的等量相等。就是說，無論是象把船沉到多少，還是石頭把船沉到多少，只要沉到相同的地方的時(shí)候，重量是相同的，就是等量的等量相等。還要知道一件事情，總量等于分量的和。就是說象太大，稱不了，那么要用一些石頭放在一起得到跟象同樣的重量，然后再分別計(jì)算這些石頭的重量，得到總的重量。這是總量等于分量的和，就是曹沖稱象中所蘊(yùn)含的這個(gè)數(shù)學(xué)。因此，我們數(shù)學(xué)講傳統(tǒng)的故事、傳統(tǒng)文化，其實(shí)要講出是如何用數(shù)學(xué)的眼光來看這個(gè)問題，這是非常重要的。

再比如，度量衡的故事。度量衡的故事主要是講秦始皇統(tǒng)一度量衡，其實(shí)無論是度、量、衡，都是人為規(guī)定的一些東西。比如在秦始皇時(shí)代所說的尺，是成人一na的長度，孔子家語中說了這個(gè)。所謂的升，是容積單位，是一捧，一捧東西能捧多少，這個(gè)單位叫做升。重量單位，最小的單位是銖，銖是指什么呢？是黍，是指大黃米，100粒大黃米的重量稱為1銖，然后是兩、斤。所以，無論如何，在過去，所有的度量單位都是人為規(guī)定的，而且往往用的都是身邊的東西規(guī)定的。后來，是為了大家能夠統(tǒng)一起來，才定義了新的度量單位，比如定義了米、定義了公升、定義了公斤等等。

還有一個(gè)，就是第三學(xué)段。第三學(xué)段就更加復(fù)雜一些了，比如做校園的平面圖啦，營養(yǎng)午餐啦等等。我曾經(jīng)嘗試在附小要做一個(gè)這樣的課，我發(fā)現(xiàn)這樣的課不太好上，所以呀，這樣的課也給老師提供了很好的表現(xiàn)能力的舞臺。這個(gè)要進(jìn)行可操作的教學(xué)設(shè)計(jì)，還要進(jìn)行如何啟發(fā)學(xué)生思考的教學(xué)設(shè)計(jì)，這里有很多問題是比較困難的，因此也是未來改革很重要的一方面。

第三，講第三個(gè)問題，關(guān)注數(shù)學(xué)課程的整體性與致性，這個(gè)整體性、一致性主要是針對數(shù)與代數(shù)。數(shù)與代數(shù)這個(gè)內(nèi)容現(xiàn)在只有兩個(gè)主題了：一個(gè)是數(shù)與運(yùn)算，一個(gè)是數(shù)量關(guān)系。過去有4個(gè)主題：數(shù)的認(rèn)識和數(shù)字運(yùn)算是分兩個(gè)主題，還有常見的量（剛才我已經(jīng)說到了，分到了綜合與實(shí)踐），現(xiàn)在建立一個(gè)新的，是強(qiáng)調(diào)數(shù)量關(guān)系，并且把負(fù)數(shù)、方程、反比例移到初中。

我稍微講一下，移到初中的理由是什么。順便說一下，我們教學(xué)的基本原則（這次課改之后或者新的課標(biāo)發(fā)布之后，對于教學(xué)提的基本原則是什么）。這個(gè)基本原則已經(jīng)跟教材編寫的老師們談到，他們可能會在教材中來做實(shí)踐這樣的原則。

第一個(gè)原則，不單純介紹概念。就是說，像過去說角的概念，從一點(diǎn)引出的兩條射線所組成的圖形叫做角；然后，不比較角的大??；也不講角的計(jì)算。這樣的話，這樣的教學(xué)也是不好的。因此，要講了概念之后，就一定要講它的性質(zhì)或者比較大小，這是很重要的。那么，基于這樣的原則，就把負(fù)數(shù)這個(gè)事情移到初中。大家回想過去教的負(fù)數(shù)，只是認(rèn)識了負(fù)數(shù)，并連負(fù)數(shù)大小的比較都沒有教，如果是這樣的話，那就不教了。就是，概念的引入，單純的教概念這件事情我們就不教了。

第二個(gè)原則，不單純介紹方法。就是說，一個(gè)新的方法的引入，要讓孩子感悟必要性。因此，跟概念的教學(xué)一樣，我們的整個(gè)教育，未來不是為了教而教，而是讓學(xué)生感悟到：一個(gè)新的概念的引入或者一個(gè)方法的引入是有必要性的。無論是認(rèn)識世界的必要性，理解事情的必要性，還是表達(dá)世界的必要性，無論是哪個(gè)必要性，都讓孩子感悟這個(gè)必要性。

這樣的話，把方程移到初中的理由就是這樣的：第一，過去在小學(xué)數(shù)學(xué)中用字母表示數(shù)講的很少，有的只講半堂課，有的最多只講一堂課，這是不可以的。過去在小學(xué)數(shù)學(xué)中，似乎字母表示數(shù)主要是表示未知數(shù)，這是不對的，表示未知數(shù)還是算術(shù)，因?yàn)楸硎疚粗獢?shù)在古希臘的時(shí)候就有了。而從算術(shù)變成代數(shù)，最重要的是用字母來表示方程的系數(shù)，就是用字母能夠一般性的表示數(shù)（我下面還會談這個(gè)事情）。這次課標(biāo)中，未來的教材中，一定要加強(qiáng)字母表示數(shù)的內(nèi)容。因此，過去的教學(xué)，還是沒有代數(shù)的思想，在本質(zhì)上沒有引入代數(shù)；過去那個(gè)簡易方程，沒有引入代數(shù)的思想；還有，過去的簡易方程沒有讓學(xué)生感悟?qū)W習(xí)方程的必要性。如果要引入方程，必須要讓學(xué)生感覺到：用傳統(tǒng)的算術(shù)的方法，計(jì)算起來非常困難的時(shí)候，才引入方程，讓學(xué)生感悟引入方程的必要性。比如，我們過去講簡單方程或叫簡易方程，5-x=2,這是不是方程呢？這確實(shí)是方程。但是建立這樣的方程沒有故事、沒有背景。你很難編一個(gè)5-x=2的方程的背景，為什么呢？方程是要講兩個(gè)故事，兩個(gè)故事量相等，就是等號兩邊是表示兩個(gè)量的等量關(guān)系，而不是運(yùn)算的等量關(guān)系。比如2x-x=x，這個(gè)時(shí)候的等號是運(yùn)算的等量關(guān)系。這是不一樣的。比如5-x=2，這件事情你要編題的話，你只能編出：樹上有5只鳥，飛了幾只，還剩2只，問飛了幾只鳥。這原來是減法的問題，現(xiàn)在你要應(yīng)用方程來解，這讓孩子們感悟到多此一舉。特別是，教這樣的方程，沒有帶來便捷，可能還會帶來麻煩，所以這樣的東西，我們也就不教了。移到初中去教，到初中反而好辦（下回談到為什么到初中反而好辦）。

這樣的話，我們加強(qiáng)對自然數(shù)、對整數(shù)、然后對字母表示數(shù)的理解，這個(gè)理解其中跟核心素養(yǎng)掛鉤的，或者跟數(shù)學(xué)思想掛鉤的東西是這樣的：比如，自然數(shù)。自然數(shù)從2匹馬、2粒米，抽象到2個(gè)小方塊兒，抽象到2，這個(gè)過程是非常重要的過程。我曾經(jīng)講過這個(gè)故事，你們在生活中也會體現(xiàn)到這樣的故事，就有許多小孩兒分不清3和4，為什么分不清3和4呢？因?yàn)樵谥v的時(shí)候，在講數(shù)（shù）的人，會把3講成3個(gè)蘋果，把4講成4個(gè)梨，如果這樣講的話，孩子就很難能夠理解3和4的區(qū)別。應(yīng)該抽象出來，舍去事物后面的背景。數(shù)學(xué)是抽象的，在這個(gè)過程中，讓孩子們感悟到數(shù)學(xué)抽象的過程。抽象過程要分兩步走：第一步，把兩匹馬、兩粒米抽象到兩個(gè)小方塊兒，這樣的話就舍去了背景，但還是有背景，所以我們把這樣的抽象叫做感性具體到感性一般。就是兩匹馬、兩粒米是感性的具體，兩個(gè)小方塊兒是感性的一般，還是感性的東西，還有具體的存在，我們把這個(gè)稱為簡約階段。然后，再由兩個(gè)小方塊兒抽象到2，這是用符號表達(dá)，是感性一般到理性具體，叫做符號階段。因此在這個(gè)抽象過程中，在形式上是去掉了數(shù)量的名詞，用符號表示數(shù)，在實(shí)質(zhì)上是舍棄了事物的背景，使得數(shù)具有一般性。這個(gè)思想是很重要的。數(shù)學(xué)研究的東西都是抽象的東西。抽象的東西是指什么呢？就是指舍去了事物的一切的物理背景，只留下數(shù)和形的研究。因此它針對的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就是數(shù)感，就是符號意識。在初中，我們把這個(gè)感覺進(jìn)一步表達(dá)為抽象意識，這個(gè)過程是很重要的。因此，未來教學(xué)過程中，在這樣的過程中，逐漸地讓孩子們感悟什么東西呢？在小學(xué)階段說的是數(shù)感、符號意識，在老師頭腦中一定知道這是一個(gè)抽象的過程，數(shù)學(xué)研究的東西是抽象的，感悟到數(shù)是一種表達(dá)，是對數(shù)量的抽象。

比如，運(yùn)算。關(guān)于運(yùn)算的問題這里有兩種方法，比如3+1=4，你可以用計(jì)數(shù)的方法，因?yàn)?=3+1，所以3+1=4。你可以這么講，但是無論如何你要用對應(yīng)的方法再講一次。就是說什么呢？人教教材現(xiàn)在已經(jīng)開始這樣寫了:猴哥哥和猴妹妹摘桃，猴妹妹摘了3個(gè)桃，猴哥哥摘了4個(gè)桃。誰摘的多？孩子們已經(jīng)學(xué)過3和4，并且知道（4比3大）4＞3，因此猴哥哥摘的多。那么，在猴妹妹的筐里再加1個(gè)，誰摘的多呢？一樣多，就是3+1=4。這樣的表達(dá)有什么好處呢？這樣的表達(dá)，讓孩子們感覺到等號是什么意思，這是很重要的，這是加法意義的最根本，就是數(shù)是一個(gè)一個(gè)多起來的，在這個(gè)過程中建立數(shù)感、建立符號意識。

因此，在這個(gè)意義上，我想應(yīng)該是不是先講1到9，然后把10和0單獨(dú)來講？這個(gè)過程要認(rèn)識數(shù)位啊。因此，現(xiàn)在，供老師參考。那么，認(rèn)識數(shù)的一致性是什么呢？認(rèn)識數(shù)的一致性，就是知道數(shù)跟數(shù)位的表達(dá)很重要，在同樣的數(shù)位上才能比較大小；運(yùn)算的一致性，在同樣的數(shù)位上才能進(jìn)行加減運(yùn)算。這件事情，我們在整數(shù)中談的很多了，但是在分?jǐn)?shù)和小數(shù)中談的不夠（我下面還會說這個(gè)問題）。那么，理解運(yùn)算的整體性是指什么呢？運(yùn)算的整體性，其實(shí)老師在教學(xué)中也是這么教的，就是把這句話在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候怎么說出來。比如減法是加法的逆運(yùn)算，老師在教減法的時(shí)候，一直在說“算減法，就要想加法”，“ 算除法時(shí)要想乘法”，還有一條就是乘法是加法的簡便運(yùn)算，橫式比豎式重要，這個(gè)是非常大的一件事情。這件事情過去在教材中沒有表現(xiàn)，沒有表達(dá)，這個(gè)表達(dá)可能有些困難，但是無論如何，這個(gè)表達(dá)還是重要的。

比如25×12，在教材中直接就給豎式進(jìn)行運(yùn)算，這是不行的，那是算法，你只教了算法，沒有教算理。它的算理是什么呢？這個(gè)算理是把后面兩項(xiàng)要變成和的形式，12變成2+10，這個(gè)有點(diǎn)兒別扭，因?yàn)閭鹘y(tǒng)的認(rèn)為是10+2，但我們現(xiàn)在教的豎式是2+10，因此用到分配律，就是教了這個(gè)：25×2，這是豎式的第一項(xiàng)；25×10，是豎式的第二項(xiàng)。這樣的話，豎式的算理就出來了。知道了算理之后，以后計(jì)算就不用算理計(jì)算了，就用算法計(jì)算，這是一個(gè)基本原則，就是我們無論如何要讓孩子們知道算法的算理。知道算理之后，在具體計(jì)算的時(shí)候，只用算法，不用算理。因?yàn)椋盟惴ㄟ€是快，但是不知道算法的道理，我們的孩子未來就不知道數(shù)學(xué)的本質(zhì)，未來就缺乏了創(chuàng)造性，所以這個(gè)還是需要的。在這個(gè)過程中要用到的分配律，我們這次有個(gè)原則，就是沒介紹的概念也可以講。比如，字母表示數(shù)沒講，你先用字母表示數(shù)是可以的。比如，分配律，一開始沒有用那個(gè)符號的形式表達(dá)分配律，但是也可以用到分配律。

分配律用的比較多的是先乘除后加減的問題。這個(gè)問題，最近還有包括教材的編寫老師也提出這個(gè)問題?，F(xiàn)在，我想再解釋一下，就是先乘除后加減的問題。有兩個(gè)問題，差別在這兒，一個(gè)有括號，一個(gè)沒有括號，有括號先算括號里的，沒有括號就先算乘法。怎么來解釋這件事情呢？我認(rèn)為最好的是用講故事的方法。比如：操場上來了一隊(duì)同學(xué)，每排3名男同學(xué)，2名女同學(xué)，一共4排。問有多少名同學(xué)？我現(xiàn)在想建議老師：在教學(xué)過程中，這句話一開始不是每道題都說，但是一開始一定要說這個(gè)，就是從頭兒開始是非常重要的。孩子們養(yǎng)成這個(gè)思路之后，做題不會錯。就是，在給出具體算式之前，在學(xué)生的頭腦中形成這個(gè)，就是：同學(xué)后來的數(shù)量＝每排的人數(shù)×排數(shù)，然后就是填空，所以他不會錯，很少會錯。那每排的人數(shù)是多少呢？是3+2，所以要用括號，所以你得先算括號里的。而對后一種形式，這個(gè)題是什么樣的呢？是這樣的。操場上原來就有3名同學(xué)，后來來了一隊(duì)同學(xué)， 2名同學(xué)一排，一共4排，問現(xiàn)在操場上有幾名同學(xué)？這個(gè)時(shí)候?qū)W生腦袋里想成了這句話應(yīng)該是這樣的，這個(gè)是起點(diǎn)，同學(xué)的數(shù)是原來的數(shù)加上后來的，原來是3個(gè)人，后來是一隊(duì)，一隊(duì)是每排2個(gè)人，一共4排是8個(gè)人，因此得先乘除后加減。如果這個(gè)問題還不明白的話，那么就用乘法的定義，那么就是簡便運(yùn)算，（3+2）×4，就是4個(gè)括號的相加，所以得先算括號里的；而后面這個(gè)是原來的數(shù)加上簡便運(yùn)算，所以得這么算。無論如何，在這個(gè)過程中，讓孩子們理解先乘除后加減的道理，并且能夠理解分配律，是很重要的一件事情。這個(gè)是算式。

然后啊，下面就是個(gè)問題了。教書教到哪兒比較合適？如果你覺得你們那塊兒的孩子能力還比較強(qiáng)的話，我想你教完了兩位數(shù)乘一位數(shù)，那么兩位數(shù)乘兩位數(shù)是否能讓孩子們自己得到？如果不行的話，那么教完了三位數(shù)乘一位數(shù)之后，是不是三位數(shù)乘兩位數(shù)一定讓孩子自己得到(如何算)計(jì)算的方法？這個(gè)，孩子能夠得到，在這個(gè)過程中，他能夠感悟到這個(gè)樂趣兒，能激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，這是非常重要的，并且讓孩子們感悟一個(gè)數(shù)學(xué)的基本道理。數(shù)學(xué)的基本道理，就是從未知到已知，就是說你不會算的東西，怎么辦呢？化成你會算的東西，然后進(jìn)行計(jì)算，這是數(shù)學(xué)基本的思想方法之一。所以這個(gè)讓孩子們在具體中感悟這件事情。

那么如何認(rèn)識數(shù)？比如：認(rèn)識數(shù)的關(guān)鍵是10個(gè)符號，因?yàn)槭鞘M(jìn)制的，是10個(gè)符號和數(shù)位。那么如何讀數(shù)呢？不用教的那么復(fù)雜，后面一個(gè)零怎么辦？中間一個(gè)零怎么辦？中間兩個(gè)零怎么辦？其實(shí)不用。怎么讀數(shù)呢？就是用這個(gè)符號的名稱讀出數(shù)位就可以了，比如，這個(gè)2002，兩千零百零十二個(gè)，就這么讀就可以，這樣的話，教學(xué)非常清楚。不要把簡單的東西教麻煩，而是盡可能地用簡單的語言、用樸素的語言,把這個(gè)數(shù)學(xué)的本質(zhì)說出來，這是非常重要的。你要不嫌麻煩，你就這么讀；你要嫌麻煩，你就讀兩千零二，就完了，其實(shí)就是這么回事。

下一個(gè)重要的事情，就是認(rèn)識數(shù)的整體性，就是把整數(shù)的計(jì)數(shù)單位，拓展到分?jǐn)?shù)和小數(shù)，這是很重要的。我們教學(xué)，不認(rèn)識這個(gè)一致性是不可以的。比如，分?jǐn)?shù)2/3的數(shù)位是1/3，認(rèn)識數(shù)位的一致性（我們開始說到了），在同樣的數(shù)位上才能比較大小，這是一致性，所以這個(gè)很重要。比如我們教科書講了，在認(rèn)識分?jǐn)?shù)之后，講了分母一樣的分?jǐn)?shù)的比較，還講了分子一樣的分?jǐn)?shù)比較大小，光教到：1/2和1/3，因?yàn)榉肿邮且粯拥?，所以分母大的分?jǐn)?shù)小，所以1/2＞1/3，教到這兒是不行的。所以我已經(jīng)跟教材編寫者談到：這個(gè)道理不清楚，1/2和1/3不能比較大小。那怎么比較大小呢？應(yīng)該這樣比較大小，是在同樣的數(shù)位上才能比較大小，因此要變成同樣的數(shù)位，就是說把分兩份的，每一份再分3份，這樣的話變成6份，把分3份的每份分兩份也變成6份。這樣，1/2就變成了3/6，1/3就變成了2/6，三個(gè)1/6一定大于兩個(gè)1/6，因此1/2＞1/3。因此，教到分?jǐn)?shù)比較大小的時(shí)候，最起碼在一開始得教到這個(gè)程度，這樣的話，得到相同的單位，在相同單位下進(jìn)行比較大小，這是數(shù)學(xué)的基本原則。順便在這個(gè)時(shí)候啊，老師可以稍微的提一下：分子、分母同乘一個(gè)數(shù)，分?jǐn)?shù)不變，這個(gè)為未來講商不變打下了基礎(chǔ)，所以這個(gè)數(shù)學(xué)教育，是一環(huán)扣一環(huán)的，這是非常重要的一件事情。因此，在這兒，我提一個(gè)建議：就是以后這個(gè)備課，一定從一年級到六年級一塊兒備課，在哪一塊兒講什么，它們相互之間的照應(yīng)是什么，這個(gè)大概是重要的，不能各講各的。比如，小數(shù)的單位。小數(shù)的單位0.1是1/10，0.01是1/100（百分之一），這得講下去，甚至要講0.001是1/1000（千分之一），這也是十進(jìn)制的。我前幾天給人教版的提一個(gè)建議，我現(xiàn)在也提一個(gè)建議，你們老師腦子里形成這件事情，就是十進(jìn)制這件事情是很重要的。十進(jìn)制的時(shí)候，我們都知道整數(shù)的數(shù)位是10個(gè)個(gè)位是十位，10個(gè)十位是百位，10個(gè)百位是千位；下面再創(chuàng)造一個(gè)語言，說小數(shù)的，就是“1/10的1/10是1/100（百分之一），1/10的1/100（百分之一）是1/1000（千分之一）”。這樣的話，把小數(shù)的數(shù)位就強(qiáng)調(diào)出來，這樣的話為初中用小數(shù)表達(dá)有理數(shù)就奠定了基礎(chǔ)。

現(xiàn)在講一下，小學(xué)數(shù)與代數(shù)教學(xué)的難點(diǎn)是分?jǐn)?shù)與小數(shù)的除法。分?jǐn)?shù)和小數(shù)除法這塊兒講的，我后來仔細(xì)發(fā)現(xiàn)是整數(shù)除以整數(shù)沒講透，使得分?jǐn)?shù)的除法和小數(shù)的除法就講得很別扭了，并且它們各講各的理兒，分?jǐn)?shù)的除法講分?jǐn)?shù)除法的理兒，小數(shù)除法講小數(shù)除法的理兒。比如分?jǐn)?shù)的除法，有的教材是這么寫的，先講1÷1/2=2,就是一個(gè)東西有兩個(gè)1/2，（1÷1/2）等于2；然后怎么講5÷1/2呢？5÷1/2=5×1÷1/2=5×(1÷1/2)，1÷1/2=2已經(jīng)知道了，所以就變成了5×2,其實(shí)這個(gè)是對的，但是你講不清楚這個(gè)理兒；那么，同樣的道理，5÷1=5，那么，5÷1/2=5÷1÷1/2=5÷(1÷1/2)=5÷2，如果是這樣的話，那么變成5除以2了。到底是5乘2對？還是5除以2對？這個(gè)問題就大了，當(dāng)然是你能把后面這個(gè)理講清楚，這塊兒除得變成乘，你要能把這個(gè)講清楚比你講這個(gè)除法要難得多的多，這樣的話，你絕對不允許用一個(gè)難的東西來講一個(gè)簡單的事情，這是不允許的。在數(shù)學(xué)我們整個(gè)教學(xué)中，只出現(xiàn)了加法和乘法的分配律，連減法都沒有出現(xiàn)，我們現(xiàn)在居然要討論除法和乘法，這談何容易，所以不能用這個(gè)復(fù)雜的東西來教簡單的事情，這是不行的。

還有一個(gè)，在小數(shù)除法中用商不變來講，那到底是哪個(gè)道理是真？整數(shù)除法有整數(shù)除法的道理，分?jǐn)?shù)除法有分?jǐn)?shù)除法的道理，小數(shù)除法有小數(shù)除法的道理，到底哪個(gè)道理呢？數(shù)學(xué)是各講各的理兒嗎？數(shù)學(xué)還是整體的，還是一致的，這個(gè)問題很大，這個(gè)問題不能給學(xué)生造成一個(gè)錯覺。我曾經(jīng)讓吳正憲老師去給小學(xué)六年級講數(shù)學(xué)的一致性，講完之后，學(xué)生非常高興，學(xué)生用了一句話叫做醍醐灌頂，他說終于知道了數(shù)學(xué)講的是一回事情。我們必須讓孩子們知道數(shù)學(xué)講的是一件事情，不是講好幾件事情。

其實(shí)這個(gè)教學(xué)忽略了一點(diǎn)，就是都是與除法有關(guān)，就是整數(shù)除以整數(shù)能夠?qū)懗煞謹(jǐn)?shù)的形式這個(gè)沒講，還有整數(shù)除以整數(shù)是小數(shù)這件事情沒有講。在講分?jǐn)?shù)除法之前，要進(jìn)一步地理解整數(shù)除法，或者回顧整數(shù)除法。就是，為什么4÷3可以寫成4/3呢？這件事情沒有講，這是個(gè)大事情。為什么可以寫成分?jǐn)?shù)形式呢？其實(shí)中間缺了一個(gè)步驟，4÷3= 4×1/3，我們剛才講了是分?jǐn)?shù)的單位，因此4乘1/3就是4個(gè)1/3單位，因此就是4/3，所以后面的等號是源于分?jǐn)?shù)的定義。那么，前頭這個(gè)等號源于什么事情呢？前頭的等號是源于除法是乘法的逆運(yùn)算。這個(gè)時(shí)候，在講這件事情的時(shí)候，我們要講兩個(gè)基本事實(shí)，在課標(biāo)的內(nèi)容中沒說這是基本事實(shí)，但是在教學(xué)建議中談到了基本事實(shí)這件事情，課標(biāo)中只要求了等號的基本事實(shí)，其實(shí)這個(gè)基本事實(shí)對于不等號也是成立的。老師在教學(xué)中可以根據(jù)內(nèi)容適當(dāng)?shù)貋碜尯⒆觽冎肋@件事情，就是一個(gè)是傳遞性，a=b,b=c,則a=c，剛才我再次講曹沖稱象的時(shí)候已經(jīng)談到這一點(diǎn)。還有一個(gè)等式的性質(zhì)，就是a=b，那么a+c=b+c，當(dāng)然不等式也是成立的。在課標(biāo)中這兩個(gè)事實(shí)寫進(jìn)去了，在內(nèi)容中沒說是基本事實(shí)，但在教學(xué)建議中說了，這是基本事實(shí)，因此在老師的頭腦中一定要知道這是基本事實(shí)，這是不證明的事情，其實(shí)事實(shí)上這個(gè)東西也無法證明，這是現(xiàn)實(shí)存在的，確實(shí)對現(xiàn)實(shí)很多事情對共性的抽象。

下面我們來說這個(gè)事情為什么?。?÷2=a，這件事情說的是什么呢？除法是乘法的逆運(yùn)算，所以這件事情說的是4=2×a，根據(jù)這次逆運(yùn)算，根據(jù)等式的性質(zhì)，兩邊都乘，它不變，那么就變成4×1/2=2×a×1/2，1/2和2約掉了，變成4×1/2=a，這個(gè)a（4×1/2=a）和這個(gè)a（4÷2=a）是相等的，所以4÷2 =4×1/2，根據(jù)逆運(yùn)算，根據(jù)等式的性質(zhì)，根據(jù)等量的等量相等，我們就得到了這個(gè)結(jié)論。這個(gè)東西講給孩子聽，會怎么樣呢？我們在附小試了一下，四年級、五年級的孩子理解這個(gè)一點(diǎn)問題沒有，而且孩子們很高興，好像感覺數(shù)學(xué)是挺講理的一件事情，這個(gè)很重要。如果這個(gè)結(jié)論出現(xiàn)了的話，那么就把這個(gè)結(jié)果引入倒數(shù)的概念的話，這個(gè)結(jié)果就變成了4÷3等于4乘上3的倒數(shù)，這樣的話，分?jǐn)?shù)的問題就迎刃而解，4÷1/3等于4乘分?jǐn)?shù)1/3的倒數(shù)，即4×3，這個(gè)結(jié)論就出來了。

然后是整數(shù)的乘除法。整數(shù)乘除法，建議化成整數(shù)的形式，化成十進(jìn)制的形式，因此，0.4×0.2是4/10×2/10，這個(gè)是:數(shù)與數(shù)運(yùn)算，單位與單位運(yùn)算，就等于8/100(百分之八)，等于0.08。因此，乘法的時(shí)候，單位與單位運(yùn)算這件事情是很重要的，跟整數(shù)一樣，比如40×20，你是不是拿4×2，后面是十乘十等于一百這么來算。如果那個(gè)意義是一樣的話，同樣的道理，小數(shù)乘法跟整數(shù)是一回事，所以應(yīng)該把整數(shù)的運(yùn)算拓展到小數(shù)來，這樣的話得到了算法，算法是什么呢？算法就是（小數(shù)）乘法是乘數(shù)小數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)相加。那除法怎么辦呢？除法就根據(jù)剛才分?jǐn)?shù)的道理把它變成乘倒數(shù)，0.04÷0.2=4/100÷2/10=4/100×10/2，倒數(shù)的話，這個(gè)就是相約，約了之后，就是整數(shù)和整數(shù)相除，單位與單位相除，這樣的話就得到這個(gè)結(jié)果0.2。因此就變成了0.04÷0.2=4/100÷2/10=4/100×10/2=4/2×1/10=0.2，它的算法是什么呢？與乘法對應(yīng)，小數(shù)除以小數(shù)是小數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)相減。這個(gè)相減有個(gè)特殊情況，如果像這種情況（0.04÷0.2）小數(shù)點(diǎn)后兩位減一位夠減的話，那么還是變成小數(shù)點(diǎn)后一位；如果小數(shù)點(diǎn)后一位，這個(gè)是兩位不夠減的話（0.4÷0.02），那么增加個(gè)0（0.4÷0.02=20），讓孩子感覺到這一點(diǎn)就行。這樣的話，運(yùn)算就很少會出現(xiàn)錯誤。這樣的話，我們看到，無論是小數(shù)的運(yùn)算還是分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，其實(shí)本質(zhì)上都回歸到了整數(shù)的運(yùn)算。因此，在進(jìn)行小數(shù)的運(yùn)算和分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，特別是除法運(yùn)算之前，回顧一下整數(shù)的運(yùn)算是有必要的，這樣的話就強(qiáng)調(diào)了整體性。

這回不講方程了。不講方程了，但是要加強(qiáng)字母表示數(shù)。剛才我已經(jīng)說了，在古希臘就用字母表示未知數(shù)，因此還是算術(shù)。只有從韋達(dá)開始，用字母表示方程的系數(shù)，代數(shù)才是開始。這樣的話，讓孩子感悟兩件事情。這塊兒是首先抽象達(dá)到一個(gè)更高的層次（我們剛才說了抽象有個(gè)簡約階段，有個(gè)符號階段），現(xiàn)在用字母表示數(shù)就從理性具體上升到了理性一般，就是一個(gè)普適階段。這樣的話，讓學(xué)生知道字母可以像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算，用字母運(yùn)算得到的結(jié)果是具有一般性的，比如a+b=b+a，只有這么表達(dá)才具有一般性。2+3=3+2，7+8=8+7……無論表達(dá)多少，都是個(gè)案。這樣的話，數(shù)學(xué)抽象，到小學(xué)、到這里就達(dá)到抽象的任務(wù)了，到初中階段更加一般的抽象。因此字母表示數(shù)（這個(gè)我已經(jīng)講過幾次了），要學(xué)會用字母表示關(guān)系。比如，小明的爸爸比小明大30歲，如果小明是a歲，爸爸是b歲，那么爸爸的歲數(shù)和小明歲數(shù)的關(guān)系是這樣的（b=a+30），可以用字母來表達(dá)；比如可以表示規(guī)律，一輛汽車以每小時(shí)60公里速度行駛，t小時(shí)后走了s公里，那么就得到了規(guī)律s=60t。

比較難理解的大概是這個(gè)，就是表達(dá)性質(zhì)。我不知道小學(xué)生會不會理解。比如, n表示正整數(shù)的話，2n表示偶數(shù)，那么2n+1就表示奇數(shù)，像這樣的用符號表示性質(zhì)的，這樣的數(shù)學(xué)表達(dá)、符號表達(dá)，我現(xiàn)在不太清楚，你們可以試一下，孩子能不能懂。無論如何，沒講字母表示數(shù)之前，可以讓孩子們感悟字母表示數(shù)；然后在諸多感悟之后再把它們的共性抽象出來，得到概念，這是認(rèn)識事物的一種基本的思維方法，從具體的到一般的。比如，從低年級就可以感悟，5-□=2，這個(gè)事情等價(jià)于5= 2+□。等到三、四年級,這個(gè)小方塊兒是不可以放個(gè)字母a呀，5-a=2，就是5=2+a。就是這樣的,逐漸地變成了a-b=c，就是a=b+c。

現(xiàn)在我講最后一個(gè)問題，就是要關(guān)注學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，這件事情很重要。因?yàn)椋覀冞@次強(qiáng)調(diào)四基也好，強(qiáng)調(diào)核心素養(yǎng)也好，強(qiáng)調(diào)四能也好，其實(shí)關(guān)鍵就是在課堂上要引發(fā)學(xué)生思考。這樣，就要求老師能夠創(chuàng)造合適的情境，提出合適的問題，引發(fā)學(xué)生思考；或者在教學(xué)過程中，讓同學(xué)們相互思考，相互討論，來啟發(fā)孩子們的思考；或者讓孩子們到黑板上來講一講，來啟發(fā)孩子們的思考，這都是可以的。無論如何，啟發(fā)式教學(xué)很重要，這是一個(gè)很根本的一個(gè)原則。

在這次課標(biāo)中，把三個(gè)基本事實(shí)說得更加清楚，雖然課標(biāo)中并沒有明確地說這是基本事實(shí)（我剛才說了），但在教學(xué)建議中說了。三個(gè)基本事實(shí)，剛才談到一個(gè)傳遞性，一個(gè)等式的性質(zhì)，還有一個(gè)就是兩點(diǎn)間直線段最短。過去，這個(gè)基本事實(shí)沒有用。這次可以在教材編寫（也不知道最后是怎么樣）、可以在教材、在教學(xué)中稍微嘗試一下。比如，兩邊之和大于第三邊。兩邊之和大于第三邊，老師教學(xué)都是操作的（手勢比劃），進(jìn)行這樣操作，再往下落下來，落下來，然后兩邊之和大于第三邊，這個(gè)事實(shí)?。ㄎ覄偛耪f了）、這個(gè)結(jié)果可以讓孩子們感悟。比如剛才我說了，給兩條線段作個(gè)等腰三角形，老師在這個(gè)時(shí)候，如果那個(gè)課是在三年級或者四年級講的話，那么到六年級講這個(gè)課的時(shí)候，老師可以回顧這個(gè)問題：給兩條線段作等腰三角形，線段長度是什么樣的情況下作出什么樣的三角形？老師甚至可以提出這樣的問題：這兩條線段的長度有什么關(guān)系的時(shí)候，無論哪條線段作腰，哪條線段作底都可以？能滿足這個(gè)情況的這兩條線段之間、長度之間有什么關(guān)系呢？這樣的話，孩子們就能感悟出兩邊之和大于第三邊，然后感悟之后，最后啊，老師啊，可以總結(jié)一下這個(gè)事情，因?yàn)槲覀冎v過兩點(diǎn)間直線段最短，那么三角形是這兩條邊是個(gè)折線，所以兩點(diǎn)間既然直線段最短，那么折線肯定也大于直線段，就是稍微講一下。這就是我們在這一次，義教修改小學(xué)階段，提到推理意識的這么一個(gè)想法：就是稍微幫孩子們建立一下，不都是從直觀看出來的，多少有一些邏輯思維的因素在這個(gè)里頭，這個(gè)推理意識。比如，加一個(gè)數(shù)比原來的數(shù)大。這件事情是指什么事？比如5＞0，不等號兩邊加上同樣的數(shù)，不等號不變（a+5＞a），這個(gè)是推理意識。

這樣的教學(xué)，包括這樣的考核跟過去有所不同了。過去你要只考概念的話，往往是靠背，這樣的話，你出這個(gè)題呀，可能說三角形的內(nèi)角和，畫一杠，讓學(xué)生填這塊兒是180度，填這件事情，這個(gè)大部分是在記憶層面。如果要考思維層面的話，這道題可以稍微改一下，如果一個(gè)三角形不是直角三角形的話，那么它至多有幾個(gè)鈍角？或者是，至少有幾個(gè)銳角？像這樣的話，就是比知道180度的前提下，稍微有一點(diǎn)兒邏輯推理的意識在里頭。

甚至可以出這樣的問題。這個(gè)三角形里頭有一點(diǎn)把這兩條邊連起來，這樣的話得到兩個(gè)三角形，這兩個(gè)三角形的一個(gè)特點(diǎn)就是這個(gè)底邊是共同的。因此一眼就能看出來這個(gè)角比這個(gè)角大。

那么，如何來說明這件事情？就是說，孩子能不能懂這件事情？你們可以在六年級試一下。如果a+b=c+d的話，那么a<c→b>d。這件事和這個(gè)道理是一樣的，它們都是180度，因?yàn)椤螦BC＞∠DBC，∠ACB＞∠DCB，所以，∠D＞∠A,就是這個(gè)道理,這樣的邏輯推理。所以，我們要加強(qiáng)代數(shù)推理的意識就在這兒。就是，推理這件事情不僅僅幾何才有，代數(shù)中也有推理，并且老師們可以看到這樣的推理是更接近于生活的推理，在這更接近日常生活中就有這樣的推理，所以這樣的推理的教學(xué)是有必要的。當(dāng)然，更困難的問題是來論證線段AB+AC>DB+DC，眼看這個(gè)結(jié)論是正確的，但是說不出道理來，有時(shí)候會覺得：引起（數(shù)學(xué)的）學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，往往就是在這樣的問題中，才能引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的好奇心。

還有一個(gè)，就是嘗試讓學(xué)生自己得到結(jié)論。這是很重要的一種教學(xué)方法。這個(gè)，在國家的教育質(zhì)量監(jiān)測中已經(jīng)每年都有這樣的題了，這個(gè)題叫問題解決，就是基本上建立兩個(gè)原則，這兩個(gè)原則一個(gè)叫做滿意原則，一個(gè)叫做加分原則。這個(gè)其實(shí)要教孩子們會用數(shù)學(xué)的眼光來觀察問題。比如這個(gè)（我這個(gè)講過幾次了）超市的問題。超市問題是給教育質(zhì)量監(jiān)測小學(xué)四年級出的第一道問題解決的問題，就是開放性問題：有一條道路連接兩個(gè)小區(qū)，計(jì)劃在道邊修個(gè)超市，你認(rèn)為建在什么地方？為什么?什么叫滿意原則呢？就是孩子們思考的思維的過程，和他得到的結(jié)論是一致的，就可以滿意了。那么，這道題很多學(xué)生答：應(yīng)該建在中間兒，因?yàn)榇蠹易咭粯舆h(yuǎn)。這個(gè)理由和結(jié)論是一致的，我們就認(rèn)為是對的了。那什么叫加分原則呢？如果孩子們思考的更加深刻一點(diǎn)，比如有的孩子答：要知道兩個(gè)小區(qū)人數(shù)的多少，按居民人數(shù)做個(gè)比例來建超市，像這樣更好，可以再加分，比如加2分，這樣的方法現(xiàn)在已經(jīng)開始在教育質(zhì)量監(jiān)測中體現(xiàn)。

什么叫孩子們會想問題呢？剛才說的是孩子們會問問題（這是一方面）；還有一個(gè)，就是孩子們能夠自己得到結(jié)論（這是一方面）；還有一個(gè)更難的，就是孩子們能夠推出一些結(jié)論，就是會用數(shù)學(xué)的思維思考問題，能夠自己得到一些結(jié)論，很重要。我非常希望這一次教材編寫完之后，就是在這一次課標(biāo)指引下的教學(xué)，能夠更加關(guān)注學(xué)生的思維能力的培養(yǎng)，讓孩子們學(xué)會想問題，讓孩子們學(xué)會做事情，這就是四基的基本活動經(jīng)驗(yàn)，也是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的基本前提。

比如，我剛才談到這個(gè)問題，三位數(shù)乘兩位數(shù)這件事情，是不是這個(gè)結(jié)論孩子能夠得到？為什么孩子可能能得到？因?yàn)槟阒v兩位數(shù)乘一位數(shù)，兩位數(shù)乘兩位數(shù)的時(shí)候已經(jīng)用到了乘法分配律，因此你講完三位數(shù)乘一位數(shù)之后，三位數(shù)乘兩位數(shù)，孩子們應(yīng)當(dāng)能夠想到這個(gè)乘法分配律，能夠嘗試之后，把那個(gè)兩位數(shù)變成兩個(gè)和的形式，然后自己得到運(yùn)算方法。這個(gè)是不是可以？這個(gè)很重要。還有一個(gè)，知道三角形內(nèi)角和，孩子能不能夠更一般地知道四邊形的內(nèi)角和應(yīng)該是多少呢？知道三角形兩邊之和大于第三邊，那么，是不是能得到四邊形三邊之和要大于第四邊？像這樣的東西，就是自然的推論，這樣的一些想法是數(shù)學(xué)的基本想法之一。

我剛才已經(jīng)講過，數(shù)學(xué)基本想法就是把未知的化為已知的，就是把不知道的化為我們學(xué)過的、已知的，這是一種想法。還有一種想法是，把我們學(xué)過的東西（這個(gè)是正面的）能夠推到更一般的情況里，這是思維的一個(gè)想法。比如，會用數(shù)學(xué)的語言來表達(dá)問題：什么是“除法是乘法的逆運(yùn)算”？剛才，我表達(dá)了。這樣的結(jié)論，孩子能不能夠舉例說明“除法的商其實(shí)是乘法中一個(gè)乘數(shù)”？像這樣的事情能不能說出來？能不能夠理解“兩邊之和大于第三邊”說的是什么事情？事實(shí)上兩邊之和大于第三邊講的是兩條邊的邊長之和大于第三邊的邊長，這個(gè)量化的概念，不是現(xiàn)象的描述，而是數(shù)學(xué)進(jìn)入了量化的概念。這樣的事情，是不是孩子們能夠講出來？

我曾經(jīng)嘗試過，我希望孩子們理解，概念表達(dá)讓孩子們理解，產(chǎn)生概念是有意義的。我現(xiàn)在想舉例說明一件事情，平行四邊形的面積。平行四邊形的面積，現(xiàn)在我們講課都用方格紙，把這邊兒裁出一個(gè)三角形，挪到這邊兒來，用方格紙看，這個(gè)正好構(gòu)成了一個(gè)長方形，這樣的話我們得到了底乘高是平行四邊形的面積。是不是可以嘗試這么講：一個(gè)長方形，我們推一下，斜著推一下的話，變成了一個(gè)平行四邊形，這個(gè)平行四邊形的面積和原來的長方形的面積比，哪個(gè)大哪個(gè)小呢？孩子們可能一開始得不到平行四邊形面積要小于這個(gè)長方形的面積;如果得不到的話，那么你就一直往下推，推到一定程度，孩子們能看出來：這個(gè)平行四邊形的面積要小于這個(gè)長方形的面積。既然平行四邊形的面積小于長方形的面積，但是在推的過程中，邊長沒有變化，甚至周長也沒有變化，那么變化的是什么呢？變化的是角度。孩子如果說角度的話，你可以跟孩子們說“關(guān)于角度變化這個(gè)問題初中再講”，這個(gè)就是正弦函數(shù)了。還有一個(gè)變化，就是這兩條邊兒靠近了。那么這兩條邊兒靠近了，怎么來表達(dá)這個(gè)近呢？那么就引出了高的概念，高是表達(dá)兩條平行線之間的距離，因此能夠表達(dá)平行四邊形這兩條平行線之間的距離。因此，從長方形的底乘高推廣到平行四邊形的底乘高。孩子能不能在老師的啟發(fā)下,自己得到這個(gè)結(jié)論？如果可能的話，最后再用方格紙來驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論是不是對的。

所以，所有的教學(xué)，不一定都是直接教給孩子們結(jié)論，或者用很明顯的事實(shí)來推導(dǎo)結(jié)論。在教學(xué)過程中可以嘗試著在必要的時(shí)候引出概念，讓孩子們知道引出概念的必要性，知道數(shù)學(xué)概念是對一種數(shù)學(xué)現(xiàn)象、或者是對一種自然現(xiàn)象的一種表達(dá)。然后，如果孩子們能自己得到結(jié)論的話，老師引導(dǎo)孩子們通過這個(gè)方格紙或其他的方法來驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論。這樣的教學(xué)，能夠很好的啟發(fā)學(xué)生思考，這是很必要的一種教學(xué)形式。

還有一種，就是孩子們會不會想問題，最關(guān)鍵的就是讓孩子們能夠提出問題。我知道有很多老師已經(jīng)在嘗試這樣的教學(xué)。如果孩子們能夠提出有數(shù)學(xué)意義的問題，那孩子們肯定是會思考問題。事實(shí)上，剛才我們說的孩子們能夠自己得到結(jié)論，孩子們也會思考問題;甚至我們再往前說的，孩子們能夠論證這個(gè)結(jié)論的正確性，也是會思考問題。因此現(xiàn)在總結(jié)，孩子們會思考問題，最起碼有三個(gè)步驟，一個(gè)步驟就是老師把條件和結(jié)果都給他了，他會說出其中的道理；還有一個(gè)，老師給出情況，他能夠推出結(jié)論；還有一個(gè)，問題本身都是孩子提出來的，這樣的話，對培養(yǎng)孩子們、對教學(xué)有一些好處。

我說的這個(gè)題，是師大附小幼兒園做的，挺有意思。我一個(gè)學(xué)生叫張丹，她是北師版教材主編，數(shù)學(xué)教材組的。有一次，她跟我討論情境的問題。我跟她說“情境不是重要的，重要的是問題。你想好問題之后，再回想情境。”在一般情況下，什么情境啊都能提出問題。后來張丹說，能嗎？我說能，你說吧。后來她就說滑滑梯的問題，我說滑滑梯的問題是很好的情境。因?yàn)槟憧梢詥l(fā)孩子們思考什么樣的滑梯滑的快？孩子們會說：陡。那么，這就進(jìn)入到數(shù)學(xué)了。你要描述什么樣的滑滑梯是陡的呢？孩子們會說：高。你再啟發(fā)孩子們思考：光高是陡嗎？那孩子們就會說了，就是這個(gè)對邊和這個(gè)邊之間的關(guān)系，這個(gè)比值越……比的概念出現(xiàn)了；或者講這個(gè)角越大……角的概念也出現(xiàn)了，不就引入數(shù)學(xué)了嗎？然后，我講了這個(gè)故事之后，幼兒園的老師創(chuàng)造了這么一個(gè)情景，拿兩個(gè)板兒（有一個(gè)板兒，還有一個(gè)長方體的柱子的積木），她讓幼兒園孩子分小組說，最平緩的，稍微立一下、稍微陡一點(diǎn)兒，再立一下、陡一點(diǎn)兒。完了，拿小汽車，讓孩子看：什么樣的滑梯，小汽車滑的遠(yuǎn)？最后，孩子們提出問題，并且得到結(jié)論。那堂教學(xué)，孩子們玩的是挺高興的。但是無論如何，這個(gè)問題是很難的問題，就是如何啟發(fā)孩子提出問題，這是很難的問題，但是這樣的教學(xué)也是可以嘗試的。

這樣的話，我今天基本就講了數(shù)學(xué)課程隨著這次課標(biāo)修改基本完成之后，它可能引發(fā)的變化是什么，主要談了這些變化對教學(xué)的啟示是什么。

首先我談了核心素養(yǎng)，核心素養(yǎng)要有階段性，因此核心素養(yǎng)是三會，在小學(xué)階段和初中階段的表現(xiàn)是不一樣的。小學(xué)階段更具體，更側(cè)重于意識。在初中階段可能側(cè)重了一些能力，側(cè)重了一些觀念。

第二件事情，就是課程的變化，主要是把負(fù)數(shù)、方程和反比例移到初中。初中整體的構(gòu)想是：幾何要強(qiáng)調(diào)直觀，代數(shù)要強(qiáng)調(diào)論證。具體措施是：在幾何中增加了幾何作圖，在代數(shù)中強(qiáng)調(diào)了整體性，就是一定抓住單位緊緊不放，在同樣的單位下才能比較大小，在同樣的單位下才能進(jìn)行加減運(yùn)算。乘除運(yùn)算是整數(shù)的運(yùn)算和單位運(yùn)算之間的關(guān)系。

第三件事情，就是基于這個(gè)變化，特別是，代數(shù)的整體性是什么表現(xiàn)；最后，就是培養(yǎng)孩子們的思維。思維，我大概談了三個(gè)層次。

其實(shí)提出這樣的問題的時(shí)候，我在腦子里想這樣的教學(xué)是很困難的，所以給老師們也提出了一個(gè)思考或者操作的這么一個(gè)空間，希望老師們在未來的教學(xué)過程中，能夠?qū)嵺`、能夠嘗試、能夠創(chuàng)造更好的經(jīng)驗(yàn)。謝謝大家！