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注重數(shù)學(xué)本質(zhì) 張奠宙 唐彩斌 唐：各位老師大家好。今天我們交流研討的話題是“注重數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)”。討論小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的“數(shù)學(xué)問題”，為什么強調(diào)是數(shù)學(xué)問題呢，是因為我們希望今天的交流能突出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，幫助大家一起提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。也正如大家常說“教什么比怎樣教更重要”，我們今天討論的就應(yīng)該屬于“教什么”的范疇。 張：各位老師，大家可能都聽到一句俗語叫做要給學(xué)生一杯水，教師必須有一桶水。所以我們今天來談?wù)勑W(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，大家不會覺得太簡單嗎？實際上我們要關(guān)注小學(xué)數(shù)學(xué)教材里邊背后的內(nèi)容，就是說我們是要源于教材但是要高于教材；另外，就是要居高臨下，我們有一些更高的觀點來觀察小學(xué)教材的內(nèi)容；其次，我們要有全面的整體的意識，知道小學(xué)數(shù)學(xué)教材在整個教育當(dāng)中的地位和作用，然后，我們就可以心中有數(shù)；最后，小學(xué)教材雖然看來比較簡單，但是它與時俱進(jìn)，還是有許多時代特色需要我們展示，需要我們深入的了解。所以，我們愿意給大家來探討小學(xué)當(dāng)中的一些數(shù)學(xué)問題，我想，希望給各位理解教材，理解課程標(biāo)準(zhǔn)有所幫助。 一、數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域問題的討論 1．0為什么是自然數(shù) 唐：現(xiàn)在我們就按照小學(xué)數(shù)學(xué)的幾大領(lǐng)域來選擇一些問題來具體分析。我們都知道，小學(xué)數(shù)學(xué)中最大的學(xué)習(xí)領(lǐng)域是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域。首先我們討論關(guān)于自然數(shù)。大家可能會問：自然數(shù)誰不懂？這里還會有數(shù)學(xué)問題嗎？其實與時俱進(jìn)地看，自然數(shù)的問題還真不少。大家可能爭論最多的是“0本來不作為自然數(shù)，現(xiàn)在怎么又說是自然數(shù)了，為什么”？ 張：在上世紀(jì)90年代以前，自然數(shù)不包括0，但是1993之后，就包括0在內(nèi)，這當(dāng)然是一個規(guī)定所產(chǎn)生的，那是在1993年頒布的《中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)》里面有一句話說規(guī)定自然數(shù)包含0，從此之后，0就屬于自然數(shù)的范圍了。 唐：從近年來編寫新課標(biāo)小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，我們可以發(fā)現(xiàn)教材也都根據(jù)上述國家標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了修改。具體的表述是：用0表示“一個物體也沒有”所對應(yīng)的計數(shù)。只是在教學(xué)中，有些老師覺得把0作為自然數(shù)，與傳統(tǒng)不同，不太習(xí)慣。 張： 這只是習(xí)慣問題。0 是自然數(shù)有許多理由。首先， 人的經(jīng)驗是，從無到有。 魔術(shù)師先交代兩手空空， 再變出一只兔子，然后兩只兔子……。鉛筆盒中本來是空的，然后裝進(jìn)一支鉛筆、兩只等等。第二，更重要的是書寫的需要，十的位置記數(shù)寫法是10。沒有0， 就寫不出10，20，30， 100。 所以0，1，2……9， 共十個數(shù)字是最基本的。第三， 0的出現(xiàn)可以保證自然數(shù)集有單位元 a+0 =0+a=a. 在自然數(shù)中5－5＝0，如果0不是自然數(shù)，那么5－5豈不是不能減了。此外，大數(shù)學(xué)家馮·諾依曼用集合論的語言寫自然數(shù)，第一個是“空集Φ”，用0 表示， 然后把以空集為元素的集合{Φ}叫做1，依次類推。從文化的角度看來“有”也是從沒有開始的。 唐： 這么說，0是自然數(shù)的說法，既有生活經(jīng)驗，又符合數(shù)學(xué)規(guī)則，還有文化背景和科學(xué)依據(jù)，是合乎情理的。
唐：下面的類似問題是關(guān)于數(shù)位的分級。自然數(shù)用十進(jìn)位記數(shù)。在小學(xué)里教材上，讀數(shù)與寫數(shù)的時候，一向強調(diào)四位一級，分為個級、萬級、億級，但是在現(xiàn)實生活，無論是銀行里的計數(shù)，還是信息技術(shù)中的計數(shù)都是三位一級，即個、千、百萬……，從數(shù)學(xué)角度上怎樣看這種現(xiàn)象？ 張：這個問題我覺得應(yīng)該“與時俱進(jìn)”，在以前我關(guān)注到，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中只講四位一級，只講個、萬、億。但是現(xiàn)在與國際接軌之后“千”的用途越來越大。所以說四位計數(shù)是我們的傳統(tǒng)，必須保持，我們的學(xué)生應(yīng)該懂，三位一級更是國際慣例，又必須與國際接軌，我們也應(yīng)該讓學(xué)生掌握。兩種并存，是必然趨勢，逐步與國際接軌。我們也注意到，像尺和寸現(xiàn)在就用的比較少了，米和厘米用的比較多了。將來，會通過社會的選擇來確定哪一種是主要的。我想，兩種都要學(xué)，這大概是不可避免的。 唐：聽張老師這么一說，我們知道既要保存?zhèn)鹘y(tǒng)，又要與國際接軌。也有學(xué)者把數(shù)位的分級與空間圖形結(jié)合起來，認(rèn)為“三位一級”更符合數(shù)形結(jié)合的規(guī)律。具體地說，一個小立方體表示1，那么10個一排就是10，10個10排成1個面就是一個百，每一百算一層，10層就是一個新立方體，表示“千”。 再從“千立方體”出發(fā)， 10個一排， 10排構(gòu)成面， 10個面疊成新的立方體就是一百萬。這就很形象地描繪出“三位一級”的構(gòu)造。這樣看來，“三位一級”也是可以通過數(shù)形結(jié)合來描述這種結(jié)構(gòu)。 張：我還注意到，不管是“四位一級”還是“三位一級”，百萬是大家共用的名詞，例如“百萬雄師”，“和百萬英鎊，中外都用百萬形容很多。所以對百萬我們還應(yīng)該多多的關(guān)注。 唐：張老師說起那個百萬，就不僅讓我想起我們經(jīng)?？吹降囊恍┱n題教學(xué)。我們經(jīng)常聽到這樣的片段，1百萬有多大？讓學(xué)生認(rèn)識 “1百萬顆黃豆有多少體積?！?/p> 張：當(dāng)初設(shè)計這樣的教案，它的初衷是好的，就是要大家體驗一下一百萬是怎么樣過來的。它一定是從一開始，然后到十、百、千一點一點數(shù)出來的。當(dāng)數(shù)目很大的時候，數(shù)起來很費力。讓兒童經(jīng)歷這樣一個過程還是很有好處。不過，我又覺得，我們本質(zhì)上還是要關(guān)注100萬這個數(shù)的結(jié)構(gòu)。至于說100萬粒米有多大，這個不是數(shù)學(xué)要研究的問題，這是個別的體驗，100萬粒米， 100萬顆花生， 100萬個籃球有多大等像這樣的問題是沒有窮盡的，也不是我們每個人都需要去體驗的。所以。我覺得還是要把精力放在100萬的結(jié)構(gòu)上面，比如100萬里面有多少個1000，100萬里面有多少個1萬，我們每人捐款1000元，要捐到100萬需要多少個人捐，這樣的素材不僅有現(xiàn)實背景，而且還有數(shù)學(xué)意義，可能更值得我們?nèi)ニ伎肌?/p> 3．分?jǐn)?shù)的定義 唐：聽張老師這么說，就是我們在組織這樣的活動的時候，一方面要關(guān)注現(xiàn)實背景，但是更重要的是要關(guān)注數(shù)學(xué)的意義。前面我們主要討論的是關(guān)于自然數(shù)的問題。接下來我們要討論的是一個比較難學(xué)，但卻很重要的課題：分?jǐn)?shù)。我想我們從分?jǐn)?shù)的定義開始談起。教材很多都是從份數(shù)的定義開始的。一般都這樣描述：單位1平均分為若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。這樣的描述聽起來比較自然，也符合“幾分之幾”的稱呼。因而是引入分?jǐn)?shù)的首選。張老師你怎么看。 張：對，用份數(shù)的定義來引入分?jǐn)?shù)是非常自然的。但我覺得這樣也有缺點，最后是一份或幾份，那究竟是自然數(shù)還是分?jǐn)?shù)？這樣不太明確。因此必須盡快過渡到分?jǐn)?shù)的“商”定義，分?jǐn)?shù)的定義就是，分?jǐn)?shù)是兩個正整數(shù)a，b，a 除以b 的商。所以分?jǐn)?shù)是一個商，這個概念我們現(xiàn)在注意的不夠，而這恰恰是我們學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的核心所在。用a除以b，當(dāng)除的盡時（整除），就是原來的自然數(shù)，沒什么問題，問題就在除不盡的情況下面，那么我們就得到了一個分?jǐn)?shù)，這就是分?jǐn)?shù)所以要成為分?jǐn)?shù)根本的原因，就是除不盡的情況下需要分?jǐn)?shù)，除的盡就不需要分?jǐn)?shù)了。 例如1/4， 它是一個整體平均分為4份中的一份。 但是， 這一份究竟有多大呢？ 1除以4的商是多大呢？它一定比1小，卻又比0大。于是我們在數(shù)射線上可以標(biāo)出它的位置：它在0和1之間，當(dāng)中這一點是一半就是1/2，把1/2和0之間再分一半，那個地方就應(yīng)該是1/4，這樣一畫，數(shù)的概念就出來了。這就顯示它是一個新的數(shù)，是原來自然數(shù)所沒有的數(shù)，它是我們現(xiàn)在要研究的對象。商的分?jǐn)?shù)的定義比份數(shù)的定義要深入一步，體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)出現(xiàn)的必要性，特別是商和除法之間的關(guān)系，我想，如果理解了這一點，分?jǐn)?shù)的價值才能完整的體現(xiàn)。 份數(shù)定義還停留在“幾份”的思考上，還沒有擺脫自然數(shù)的表示。1份，幾份，是分?jǐn)?shù)還是自然數(shù)？因此必須盡快過渡到分?jǐn)?shù)的“商”定義。
唐：剛才張老師也說起分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，但是以前我們描述分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系時只講分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系，一般描述為：分?jǐn)?shù)中的分子相當(dāng)于除法中的被除數(shù)，分母相當(dāng)于除法中的除數(shù)。但到底是怎樣的一種關(guān)系，尚不明晰。通過剛才的介紹分?jǐn)?shù)的商的定義，可能分?jǐn)?shù)是一個新的數(shù)。張老師，你剛才還提到了分?jǐn)?shù)的另外一種定義，那是一種怎樣的定義？ 張：分?jǐn)?shù)的第三個定義是比的定義 兩個自然數(shù) a比b, b ≠0, 即a/b 叫做分?jǐn)?shù)。 比和除，本來是一個問題的兩個方面，我的意思是說，用比的概念之后，分?jǐn)?shù)就可以擴大它的應(yīng)用范圍，使我們的視野更廣闊。我記得我曾經(jīng)請你做過一個實驗，你把實驗向大家介紹一下。 唐：好的，我們來分享一下這個實驗的結(jié)果。上次張老師布置我做過一個小調(diào)查，我們就組織了100多名學(xué)生，分別來自三、四、六年級，調(diào)查的方法是，就是當(dāng)學(xué)生看到屏幕上有一個圓，我們把圓分成4份，其中的一份涂成藍(lán)色，這時學(xué)生會想到哪些分?jǐn)?shù)呢？我們給學(xué)生一些時間，讓他們想，結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)：
測試結(jié)果：
張老師。你怎么看這個數(shù)據(jù)。 張：我想，比的定義和我們原來份數(shù)的定義是相關(guān)的，份數(shù)的定義是說一個整體平均分之后，其中的幾份。從這個小調(diào)查看出，以整個圓作為“整體單位”的思維定勢還是比較強的。但整體不僅僅是一個圓，也可以是1個半圓，或3/4個圓，所以整體是可以變化的，是可以有多種多樣的選擇的。所以就一個大學(xué)的教師來看，我首先看到的是在1個圓里面1塊藍(lán)3塊白，藍(lán)和白之比是1：3，然后馬上就認(rèn)為是一個1/3。所以說不能把一個整圓分成4等分作為一種定式，以至于看不到一塊藍(lán)三塊白之間的比。我想比的定義也許和份數(shù)之間的靈活轉(zhuǎn)換有一定的關(guān)系，我也希望大家把份數(shù)和比的定義連接起來思考。 唐：如果電視機前面的老師也有興趣的話，你也不妨對你班里的學(xué)生做這樣的調(diào)查，或許你能更加深刻的認(rèn)識到剛才張老師所講的從份數(shù)定義怎樣過渡到商的定義的重要性。因為在這個過渡的過程中，讓我們明確了分?jǐn)?shù)是不同于自然數(shù)的一種“新”的數(shù)，是我們的新朋友。當(dāng)我們把1/3 ，1/6等等分?jǐn)?shù)標(biāo)在數(shù)軸（數(shù)射線）上的時候 ，新數(shù)的面貌就完全呈現(xiàn)出來了。 4．分?jǐn)?shù)基本性質(zhì) 唐：分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)中有一個重要的性質(zhì)，是老師們都特別熟悉的，就是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。但是所謂基本性質(zhì)，我們總是這樣描述：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。除了這樣的描述，究竟是什么性質(zhì)呢？并沒有明確的詞語，好像總得有一個特別的名字才好。從數(shù)學(xué)的角度應(yīng)該怎么描述？ 張：我想，這就是分?jǐn)?shù)相等的性質(zhì)，在自然數(shù)里面，兩個數(shù)相等，這兩個數(shù)的表達(dá)是一樣的，2等于2，2就是2。在分?jǐn)?shù)里面，不同形式的分?jǐn)?shù)，它是相等的，但相等的東西可以不一樣，這就是一個新問題了。在數(shù)學(xué)上面，這叫做“等價類”。就是把不同表現(xiàn)形式的東西歸為一類，這樣，我們在觀察問題時，就不僅是看一個數(shù)，而是看一群數(shù)，一類數(shù)，這類數(shù)我們就叫做“等價類”。這個思想在教材當(dāng)中未見得要出現(xiàn)，但是作為老師我們要認(rèn)識到，自從進(jìn)入分?jǐn)?shù)范圍內(nèi)以后，這個基本性質(zhì)，實際上是說明了：不同的東西可以歸為一類，但是它們有個標(biāo)準(zhǔn)，就是數(shù)值相等?！暗葍r類”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，也是我們處理分?jǐn)?shù)不可缺少的一個思考。 大家也可以看這個“等價類”例子， 1/2 所在的等價類，各個分?jǐn)?shù)彼此相等：
唐：聽張老師這么一說，就是說有不同分?jǐn)?shù)的外形，但是它的數(shù)值是一樣的，如果要派代表的時候，我們都很熟悉，叫做最簡分?jǐn)?shù)。那么用最簡分?jǐn)?shù)作代表行不行？你能不能給我們結(jié)合具體的事例形象地說明一下？ 張： 我可以有兩個比喻： 一個是：分?jǐn)?shù)好像一個人可以穿不同的衣服。體育課穿運動服，上課穿校服，正式場合穿西裝，文藝演出穿演出服，休閑時穿休閑服等等。不同場合穿不同衣服，雖然最常用的是校服，但校服不能代替其它的服，但人是同一個。 另一個是：分?jǐn)?shù)又好像我們的學(xué)校。里面的成員都是平等的，都能代表學(xué)校，但是各有各的作用。校長會議校長去參加，數(shù)學(xué)教師活動請數(shù)學(xué)教師去，5年級學(xué)生的競賽則必須由5年級學(xué)生參與。 所以我想，“等價類”就是這樣，大家都是平等的，不同的場合要有不同的表示形式。最簡分?jǐn)?shù)固然重要，但分?jǐn)?shù)相加需要通分，最簡分?jǐn)?shù)就不夠用了。就如校長雖然重要，卻不能代表一切。所以你剛才提的問題很好，所謂分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，就是分?jǐn)?shù)相等的性質(zhì)。什么叫做分?jǐn)?shù)相等，就是這樣的定義。 唐：經(jīng)過張老師這樣形象地描述，分?jǐn)?shù)的這個等價性大家一定清楚些了。那為什么分?jǐn)?shù)要出這樣一個基本性質(zhì)，而自然數(shù)沒有呢？ 張：相等的自然數(shù)只有一種形式。但是相等的分?jǐn)?shù)卻有不同的形式。而且分?jǐn)?shù)的約分，通分在后續(xù)學(xué)習(xí)中非常有用。所以必須認(rèn)真學(xué)習(xí)，加深理解。 唐：基于以上的討論，我感到分?jǐn)?shù)教學(xué)對我們老師的啟示有以下兩點：第一，分?jǐn)?shù)是“新朋友”，是除不盡情形下引進(jìn)的新數(shù)。分?jǐn)?shù)的本質(zhì)在于使得自然數(shù)的除法總可以施行，因而分?jǐn)?shù)的“商定義”顯得十分重要。第二。分?jǐn)?shù)是一個大家庭，相等的分?jǐn)?shù)可以有不同的形式。等價類的思想應(yīng)該有所滲透。 唐：說完了分?jǐn)?shù)，我們來討論和分?jǐn)?shù)密切相關(guān)的小數(shù)，小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，我們常常這樣說：小數(shù)是分?jǐn)?shù)的另一種形式。十分之幾的分?jǐn)?shù)可以寫成一位小數(shù)，百分之幾的分?jǐn)?shù)可以寫成兩位小數(shù)，……依此類推，所以一般都先學(xué)分?jǐn)?shù)再學(xué)小數(shù)。你怎么看？ 張：先學(xué)分?jǐn)?shù)再學(xué)小數(shù)是從一般到特殊，一般的分?jǐn)?shù)有了，我們再來研究特殊的，以10為分母的分?jǐn)?shù)。但是小數(shù)是不是因為分?jǐn)?shù)才產(chǎn)生的呢？這不是。小數(shù)的產(chǎn)生與現(xiàn)實中的度量有密切關(guān)系。我們有了尺所以下面有寸、有分，我們有了斤所以下面有兩。所以我想，如果我們先學(xué)分?jǐn)?shù)，比如說幾元、幾角、幾分，然后再把特殊的分?jǐn)?shù)，我們分成10份的分?jǐn)?shù)，推廣為一般，從特殊到一般，也是一種認(rèn)識的規(guī)律。所以這兩者，在我所見到的國內(nèi)外許多教材當(dāng)中，是有不同的安排的。有些就是由一般到特殊，像我們現(xiàn)在多數(shù)采取的，有些國外的教材就是從特殊到一般，先有小數(shù)這樣的分?jǐn)?shù)，然后在推廣到一般的分?jǐn)?shù)，都是可以的。 唐：看來現(xiàn)代人們在編教材的時候有不同的解讀，所以順序也不一定一樣。那么小數(shù)與分?jǐn)?shù)之間到底有怎樣的關(guān)系，有什么區(qū)別呢？在數(shù)學(xué)史上到底是先有分?jǐn)?shù)還是先有小數(shù)？ 張：中國在商代，就是現(xiàn)在出土的文物中就有尺了，那個尺里面就有寸，而且是十進(jìn)位的，所以這個是有考古的實物為證的，所以小數(shù)在商代就出現(xiàn)了。分?jǐn)?shù)根據(jù)記載是在春秋時代出現(xiàn)的，比商代就要晚很多了。從中國的小數(shù)和分?jǐn)?shù)出現(xiàn)的時間來說，是先有小數(shù)，后有分?jǐn)?shù)。度量衡的發(fā)展大約始于父系氏族社會末期。傳說唐帝“設(shè)五量”，“少昊同度量，調(diào)律呂”。這時的單位尚有因人而異的弊病。《史記·夏本紀(jì)》中記載禹“身為度，稱以出”，則表明當(dāng)時已經(jīng)以名人為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行單位的統(tǒng)一，出現(xiàn)了最早的法定單位。商代遺址出土有骨尺、牙尺，長度約合16厘米，與中等身材的人大拇指和食指伸開后的指端距離相當(dāng)。尺上的分寸刻劃采用十進(jìn)位。 唐：分?jǐn)?shù)產(chǎn)生在什么時候呢？ 張：我國的分?jǐn)?shù)記載出現(xiàn)于春秋時代（公元前770年～前476年《左傳》中，規(guī)定了諸侯的都城大?。鹤畲蟛豢沙^周文王國都的三分之一，中等的不可超過五分之一，小的不可超過九分之一。秦始皇時代的歷法規(guī)定：一年的天數(shù)為三百六十五又四分之一。在小數(shù)出現(xiàn)的時候，并不覺得這是分?jǐn)?shù)。后來有了一般的分?jǐn)?shù)概念，才看到小數(shù)是“沒有寫分母”的分?jǐn)?shù)，其分母由位置確定。 唐：古代的教學(xué)史對我們現(xiàn)代的教學(xué)也是有一定的啟示的，有一種關(guān)系可能是值得我們思考的，就是既然分?jǐn)?shù)可以和小數(shù)互化，那么已經(jīng)有了小數(shù)，何必還要學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)呢？ 張：問題就在于實際的需要，小數(shù)是運算比較方便，很容易看得出來它的大小，但是無限循環(huán)小數(shù)的加減乘除非常麻煩。因此，分?jǐn)?shù)運算必須單獨學(xué)習(xí)。反過來，只學(xué)分?jǐn)?shù)不學(xué)小數(shù)也不行。因為小數(shù)是十進(jìn)位的，比較實用。尤其是比較兩個小數(shù)的大小，無論是有限小數(shù)還是無限循環(huán)小數(shù)，用“字典順序”比較，一目了然。不像面對兩個分?jǐn)?shù)，要比較它們的大小比較困難。所以說，它們各有各的好處。 唐：小數(shù)和分?jǐn)?shù)在具體的問題當(dāng)中各有各的好處，通過剛才我們討論小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，也正是印證了張老師最前面講的一句話，讓我們總體把握，做到心中有數(shù)。 6．算法多樣化的思考 唐：討論完了數(shù)以后，我想在數(shù)與代數(shù)當(dāng)中另外一大塊就是計算，或許電視機前的老師和我們一樣，現(xiàn)在一提起計算，腦子里就會反映出一個新的詞，叫做“算法多樣化”，這也正是我們新課程改革以來，一直倡導(dǎo)的一種理念， 張老師你是怎樣看“算法多樣化”這種理念的？ 張：算法，就是計算方法。隨著計算機時代的到來，計算機可以做各種各樣的事情，但是計算機都是按照算法運行的，所以算法的重要性不言而喻。所以《新課標(biāo)》提出算法的意義，也提出了算法的多樣性也是非常必要的。而小學(xué)提倡算法多樣化，目的在于重視算法，創(chuàng)造性地運用算法。 唐：“算法多樣性”是一種好的理念，但是在具體的實施過程中，我們又會碰到怎樣的問題呢？我來舉一個例子：28×15，兩位數(shù)乘兩位數(shù)。 學(xué)生可能使用的其他方法，至少有以下四種：
＝28×10＋28×5
＝420
③
＝60×7
＝420 一位同學(xué)是把15分拆成10＋5，然后利用乘法分配律計算出結(jié)果，另外一位同學(xué)是把28分成4×7，然后先用15和4相乘得到60，然后再乘以7也得到420的結(jié)果。還有同學(xué)是把15分成5×3，然后再來相乘算出結(jié)果。有同學(xué)把28看成是30-2的差，再和15相乘。 當(dāng)然，在計算的過程當(dāng)中有一種基本的方法，就是豎式計算的方法。
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這么多的算法，張老師你怎么看？ 張：算法可以多樣化，但是必須選擇一種作為基礎(chǔ)。豎式計算方法，就是大家的首選。這是無數(shù)的人，經(jīng)過挑選之后確定下來的，無論在國內(nèi)還是國外都是一樣的。豎式算法是基本技能，基本算法。它的特點是程序化、機械化，按部就班，能夠?qū)Ω度魏挝粩?shù)、任何形式的自然數(shù)的加減乘除運算。這個算法雖然顯得笨重一點，也不夠簡便，但它是最基本的，我們必需把基本的先掌握好。將來多項式相乘也是這樣操作。我們把這類算法，稱作通性通法。它永遠(yuǎn)行得通，算得出。其它的算法都在它的基礎(chǔ)上靈活運用，隨機應(yīng)變。
張：豎式計算是笨辦法，但永遠(yuǎn)有效。但是，我們每個人都有自己的個性，肯定也有一些自己喜歡的個性的算法。相對而言其他算法更加巧妙，但要隨機應(yīng)變，沒有普遍性。實際上如果把上面的四種方法比較一下就可以發(fā)現(xiàn)，有兩種算法其實就是利用乘法分配律，另兩種就是湊整的思想，都特別有利于心算。乘法分配律在數(shù)學(xué)中的作用，有學(xué)者認(rèn)為，相當(dāng)于人類從石器時代到鐵器時代；靈活運用分配律是一種數(shù)學(xué)技能。所以，我想在提倡算法多樣化的時代，一方面要把豎式算法學(xué)會，同時也要充分運用一些能使我們計算更加簡便、靈活的算法，要把基礎(chǔ)和靈活都掌握好。 唐：張老師剛才在講算法多樣化的時候，還特別提到了乘法分配律它特別重要的地位，我想盡管它不是我們算法多樣化的一種普遍的規(guī)律，但是它的重要性或許會引起大家更多地思考。同時在算法多樣化問題上，橫式計算方法值得重視。其原理是從高位到低位，與豎式計算相反。例如
= 200 + 100 + 80 + 40 = 420。 先用兩個乘數(shù)的十位和十位相乘，再用第一個乘數(shù)的十位和第二個乘數(shù)的個位相乘，在分別用以第一乘數(shù)的個位和第二個乘數(shù)的十位相乘，然后再是個位和個位相乘，最后相加。這種橫式算法張老師你是怎么看的。 張：橫式算法在國外比較盛行，可能是因為它對算理說的比較清楚，它揭示了不同的位數(shù)它們所產(chǎn)生的作用。但是它有一個缺點，就是對位比較復(fù)雜，在對位的過程中容易出錯，所以橫式算法還是不如豎式算法哪么有效。橫式算法是一種從高位到低位的算法，和中國的珠算加法相同。所以現(xiàn)在國內(nèi)外一致討論的結(jié)果是豎式算法為主，橫式算法為輔來說明算理，再加上各種各樣的簡便、創(chuàng)造性的一些計算方法，使得“算法多樣化”真正成為中國數(shù)學(xué)教育的一個特色。 唐：剛才張老師講起來從低位算起還是從高位算起，讓我也想起了張?zhí)煨⒗蠋熖貏e提到的對算法多樣化的一種理解，他認(rèn)為起算點不同也是我們算法多樣的一種不同，有的從低位算起有的從高位算起。橫式算法在對位的過程中比較容易出現(xiàn)錯誤，而豎式算法是一種通性通法，從后續(xù)學(xué)習(xí)當(dāng)中來看，即便我們以后學(xué)習(xí)多項式的乘法，也是符合這樣的道理的。 張：對，以前降冪排列，升冪排列都是按照豎式計算的方法。 唐：也就是說，豎式計算不僅適用于小學(xué)，也是后續(xù)學(xué)習(xí)當(dāng)中都要用到的方法。 唐：說起計算，張老師在你編著的《中國數(shù)學(xué)雙基教學(xué)》中，提到雙基的一個維度是速度。對于學(xué)生的計算，我們是不是要提出一些速度的要求？ 張：從國內(nèi)外的調(diào)查來看，中國學(xué)生的計算能力特別是心算的能力是被國際公認(rèn)的。新加坡一個代表團在調(diào)查后認(rèn)為中國學(xué)生的心算能力要強于新加坡，當(dāng)然比美國就更好，這種計算的能力對我們成人后的生活也是非常重要的，所以我們一定要保持中國學(xué)生在心算領(lǐng)域的優(yōu)勢。但要注意的是，我們說的心算主要是指100以內(nèi)或者兩位數(shù)的加減乘除，過多的則沒有必要。速度是我國雙基的一個維度。但是對于計算來說，隨著計算器的普及，不需要對計算有過高的要求，尤其不要用一些大數(shù)目的繁雜的計算來考查學(xué)生計算能力。這種機械的勞動還是讓機器來做比較好。但是，兩位數(shù)的加減運算，一位數(shù)乘兩位數(shù)等的心算能力，還是非常重要的，屬于“雙基”范疇。 唐：我想是不是可以這樣理解，我們作為老師去考察學(xué)生的計算能力的時候，不要用那種繁雜的、特別大數(shù)字的計算題來增加學(xué)生計算的難度，而學(xué)生對于計算基本的方法是否掌握，是我們所更要關(guān)注的。記得以前張老師也請中西部的一位老師做過這樣的調(diào)查，或許電視機前的老師會想，中國的計算那么好，是不是也是指我們那里呢？ 張：現(xiàn)在小學(xué)生的計算能力，張曉霞老師做過一個非常詳細(xì)的調(diào)查，我總的感覺中國的計算能力確實比外國要強很多，或許要求是高了一點。但是因為我們已經(jīng)有了這樣一個傳統(tǒng)，丟掉一個傳統(tǒng)很容易，但保持一個傳統(tǒng)很困難，所以我們應(yīng)該在保持一個合理的計算速度的基礎(chǔ)上進(jìn)行改革。 唐：我想聽了張老師剛才這樣的點評以后，我們中西部的老師心里一定會更加自信了，因為我們在計算方面的優(yōu)勢說不定就在你們班里。 7．什么是代數(shù)？ 唐：剛才我們討論了數(shù)和計算，其實有一個名詞或許老師也和我一樣有疑問的，叫做“數(shù)與代數(shù)”，新課標(biāo)設(shè)置了“數(shù)與代數(shù)”的學(xué)習(xí)領(lǐng)域。過去的小學(xué)里，對于數(shù)的認(rèn)識我們比較熟悉。至于代數(shù)，相對來說比較陌生一些。怎么理解代數(shù)？ 張：代數(shù)學(xué)的西文名稱是algebra，是9世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米的一部著作的名稱。原意是“還原與對消的科學(xué)”。什么叫做對消，大家知道的有正負(fù)對消，就是解方程時所謂的移項，所謂還原，就是把本來淹沒在方程中的ｘ把它暴露出來，還原了ｘ的本來面目，所以方程是和代數(shù)緊密聯(lián)系的，所以我們一說到代數(shù)，就會聯(lián)系到解方程。 唐：一般在學(xué)習(xí)方程之前，我們都要先學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”，方程理論就是“用字母代表數(shù)”嗎？它們之間到底以一種怎樣的關(guān)系。 張：單單用文字代表數(shù)，還不是代數(shù)。例如加法交換率寫為： a+b = b+a , 雖然也用文字代表數(shù)，卻和代數(shù)思想方法沒有關(guān)系。用文字代表數(shù)，即設(shè)某量為x這樣的做法, 只是運用代數(shù)方法的第一步。它后面進(jìn)一步的是“式”的運算，有“式”參與運算就是代數(shù)。所以所謂代數(shù)，就是把文字代表數(shù)往前推一步，可以進(jìn)行“式”的運算，最后把問題數(shù)找出來這樣一個過程全部叫做代數(shù)。代數(shù)思想方法的核心是基于含有x的“式”的運算來求得未知數(shù)，最后解決數(shù)學(xué)問題。從數(shù)的運算到“式”的運算，是算術(shù)與代數(shù)的根本區(qū)別。 唐：聽得出來就是從“數(shù)的運算”到“式的運算”，才是算術(shù)與代數(shù)的根本區(qū)別。這就是說，所謂代數(shù)，需要和方程聯(lián)系在一起。代數(shù)的主要內(nèi)容就是通過文字和數(shù)的運算，把方程中的未知數(shù)求出來。 唐：小學(xué)數(shù)學(xué)的“代數(shù)”內(nèi)容就是能夠部分地解出一元一次方程；ax+b=c。至于ax+b=cx＋d這樣的方程小學(xué)里解起來還是有些困難。 張：解一般的一元一次方程的通性通法，需要使用負(fù)數(shù)，沒有了負(fù)數(shù)解方程就不能夠完整的體現(xiàn)出來。但是從我們國家的教學(xué)情況來看，小學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)還是比較困難的，我們現(xiàn)在的課標(biāo)也沒有把負(fù)數(shù)放到小學(xué)教學(xué)的內(nèi)容里面，那我們應(yīng)該怎樣解方程呢？那就是逆向思維的方法。而逆向思維的方法本質(zhì)上又是一種算式思維的方法。用逆向思維解方程，是現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)里應(yīng)該掌握的一部分，接下來就是在中學(xué)里進(jìn)行負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)，然后把方程的全部都解出來。在逆向思維解方程中，要做到適可而止，學(xué)生能通過一些簡單的逆向思維把方程解出來即可，不要搞一些繁難的逆向思維，結(jié)果等到將來這些逆向思維都沒有用。而且當(dāng)學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)之后，解方程就是程式化的，一步步做下來就是了，根本不需要逆向思維，逆向思維太多了，反而會干擾負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)，所以，我們逆向思維的要求應(yīng)該是適可而止、不要太高。 唐：張老師多次提到適可而止，剛才也講到負(fù)數(shù)的概念，其實小學(xué)里只是一個簡單的涉及，但是不參與運算，所以解方程是就不能運用這方面的知識了。 其實對方程的概念我們也常有爭論，關(guān)于方程概念的爭論也很多。如：x=1。是不是方程？雖然我們說要避免這樣的爭論，但是老師當(dāng)看到試卷上有這樣的問題時，還是會為此爭論不休。張老師你如何看這樣的爭論。 張：方程的本意就是要求未知數(shù)，如果ｘ=1，未知數(shù)也求出來了，也就沒有方程的問題了，所以我們也就不需要去爭論這些問題，比如說０×ｘ＝０是不是方程？ｘ－ｘ＝０是不是方程？這樣的問題還有很多，但對我們學(xué)習(xí)方程知識是沒有關(guān)系的，所以要把這些形式的問題淡化掉，不要在這些無意義的問題上面進(jìn)行爭論，數(shù)學(xué)上不可能把所有的問題按照邏輯的關(guān)系一一寫出來，因為那樣做的話過于繁瑣，我們只有抓住方程就是一個從等式的關(guān)系求未知數(shù)這一主要關(guān)系，其它一些枝節(jié)問題，一些過于形式化的問題則不必過分的關(guān)注。正如西南師范大學(xué)的老校長陳重穆先生所說需要“淡化形式，注重實質(zhì)”。 唐：也就是說，對于我們教學(xué)來說，我們不要過度的爭論是不是方程，而是要討論怎樣解、會不會解這樣的方程。我想我們大家一定要牢記剛才張老師所講的西南師范大學(xué)的老校長陳重穆所講一句話：“淡化形式，注重實質(zhì)”，這應(yīng)該成為我們數(shù)學(xué)教學(xué)的追求。由于時間的關(guān)系，這一講就講到這里，謝謝大家。 |
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