兼評“中國古算與實數(shù)系統(tǒng)”

蒙  虎

（中國社會科學(xué)院哲學(xué)研究所科技哲學(xué)研究室，北京 100732）

摘  要：基于便捷的計數(shù)法和解決實際問題的需要，中國古算在《九章算術(shù)》中即已建立起分?jǐn)?shù)表示的有理數(shù)系與小數(shù)數(shù)系，構(gòu)成此后算法數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在西方，希臘人從數(shù)與數(shù)的比出發(fā)，在克服數(shù)學(xué)危機(jī)的努力中，建立起有理數(shù)域和“量”的比例理論；歐洲近代數(shù)學(xué)由于代數(shù)、解析幾何和微積分的發(fā)展，在“數(shù)”與“量”的混合中，把有理數(shù)域擴(kuò)展代數(shù)數(shù)域。十九世紀(jì)末，適應(yīng)于分析的嚴(yán)格化，各種無理數(shù)（量）被統(tǒng)一為有理數(shù)的極限，然后，在有理數(shù)子集的等價類的意義上建立起實數(shù)系，完成實數(shù)理論。本文通過中西兩種數(shù)系發(fā)展的歷史考察，說明它們的建立、擴(kuò)展和完成有著很大的差異，并由此對“中國古算與實數(shù)系統(tǒng)”一文的主要觀點(diǎn)提出置疑。

關(guān)鍵詞：數(shù)系  數(shù)  量  中國古算  西方數(shù)學(xué)

    我國數(shù)學(xué)家吳文俊先生曾兩次撰文強(qiáng)調(diào)：“中國的勞動人民，在長期的實踐過程中，創(chuàng)造與發(fā)展了從計數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、正負(fù)數(shù)以及無限逼近任一實數(shù)的方法，實質(zhì)上，達(dá)到了整個實數(shù)系統(tǒng)的完成?！痹诖嘶A(chǔ)上，他進(jìn)一步認(rèn)為：“早在公元263年時，劉徽即已通過十進(jìn)制小數(shù)以及極限過程完成了現(xiàn)代意義下的實數(shù)系統(tǒng)”（著重號為原文所加）。并通過兩種數(shù)系的比較，說明在數(shù)系的擴(kuò)展中一個關(guān)鍵的步驟——引進(jìn)無理數(shù)的問題上，中國古算“這種引進(jìn)既簡單又自然，由于數(shù)與形的結(jié)合，根本上排除了危機(jī)”[1]。本文從簡要分析現(xiàn)代實數(shù)系的特點(diǎn)出發(fā)，通過兩種數(shù)系演化的分析、比較，說明中國古算與西方數(shù)學(xué)（指希臘、近代歐洲和現(xiàn)代數(shù)學(xué)）建立、擴(kuò)展和完成數(shù)系的方式有著很大的差異，吳文俊先生的以上結(jié)論值得商榷。

一、現(xiàn)代數(shù)系的基本意義

    著名數(shù)學(xué)史家M.克萊因認(rèn)為：“數(shù)學(xué)史上最使人驚奇的事實之一，是實數(shù)系的邏輯基礎(chǔ)竟遲至十九世紀(jì)后葉才建立起來。在那時以前，即使正負(fù)有理數(shù)與無理數(shù)的最簡單性質(zhì)也沒有邏輯地建立，連這些數(shù)的定義也還沒有”[2]。這說明現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的數(shù)系有著特定的含義，它不同于歷史上曾經(jīng)出現(xiàn)的各種“數(shù)的集合”及其運(yùn)算。現(xiàn)代實數(shù)系并不是代數(shù)數(shù)（域）和超越數(shù)集合的并集，而是通過自然數(shù)的等價類對實數(shù)的存在性及其四則運(yùn)算給出重新定義。

    現(xiàn)代實數(shù)系的建立，關(guān)鍵是無理數(shù)存在及其運(yùn)算法則的確立。十九世紀(jì)末，由于分析嚴(yán)格化的需要，各種形式的個別無理數(shù)被統(tǒng)一于有理數(shù)列的極限。正是康托爾和戴德金把實數(shù)（包括有理數(shù)和無理數(shù)）定義為有理數(shù)列或者有理數(shù)子集的等價類，同時，把實數(shù)系的有序性和代數(shù)運(yùn)算都建立在這種等價類的意義之上，從而把稠密的代數(shù)數(shù)域擴(kuò)展為連續(xù)的實數(shù)域，使現(xiàn)代實數(shù)系成為有序、連續(xù)的代數(shù)域，成為序結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)完美結(jié)合的統(tǒng)一體。然后，把有理數(shù)定義為整數(shù)的有序?qū)?，整?shù)規(guī)定為自然數(shù)的有序?qū)?，這樣通過有理數(shù)而把實數(shù)系邏輯地建立在自然數(shù)之上。

    需要強(qiáng)調(diào)說明的是，傳統(tǒng)的數(shù)系——代數(shù)數(shù)域、有理數(shù)域、整數(shù)環(huán)等——只有在等價類和運(yùn)算同構(gòu)的意義上成為現(xiàn)代實數(shù)系的子類。例如，作為現(xiàn)代實數(shù)的無理數(shù)是有理數(shù)的非常數(shù)列的柯西等價類，而其中的有理數(shù)是傳統(tǒng)有理數(shù)的常數(shù)列的等價類；同樣，作為有理數(shù)的整數(shù)是有序數(shù)對（m,1）(其中m是整數(shù))。也正是在這種等價類和同構(gòu)性的意義上，現(xiàn)代實數(shù)系邏輯地建立在自然數(shù)之上[3]。這就是M.克萊因所說的實數(shù)的邏輯基礎(chǔ)的建立。

    在實數(shù)理論建立之后，皮亞諾和弗雷格試圖進(jìn)一步尋求自然數(shù)的邏輯基礎(chǔ)——把自然數(shù)建立在集合論之上——的努力由于集合論悖論的出現(xiàn)而受阻。這就使得自然數(shù)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的真正的基礎(chǔ)，正如克羅內(nèi)克的名言：“上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其余的數(shù)都是人造的”。

    僅從邏輯線索來看，從自然數(shù)出發(fā)，數(shù)系擴(kuò)展的關(guān)鍵就是把分?jǐn)?shù)、小數(shù)或者有理數(shù)、負(fù)數(shù)、虛數(shù)、無理數(shù)、代數(shù)數(shù)和超越數(shù)等的存在性及其運(yùn)算解釋為自然數(shù)集合的等價類及其運(yùn)算。而從歷史發(fā)展的角度看，數(shù)系起源于早期人類的計數(shù)和測量活動，前者發(fā)展出自然數(shù)及其（代數(shù)）運(yùn)算，后者形成量的稠密性和連續(xù)性（拓?fù)洌└拍?，在一定意義上這已經(jīng)構(gòu)成此后數(shù)系乃至于全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)[4]。離散的自然數(shù)的算術(shù)運(yùn)算的擴(kuò)展和連續(xù)量的數(shù)值表示成為此后數(shù)系擴(kuò)展的兩種基本方式：從自然數(shù)、有理數(shù)的算術(shù)運(yùn)算到代數(shù)數(shù)域的建立，從直觀的空間連續(xù)性經(jīng)由幾何連續(xù)量的有理數(shù)表示直至實數(shù)的連續(xù)性的建立?；谇逦淖匀粩?shù)和直觀的連續(xù)量這個共同的基礎(chǔ)，在不同傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)中發(fā)展出各種不同的數(shù)系，但是它們和現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的數(shù)系有著很大的差異。以下我們考察中西兩種數(shù)系的發(fā)展過程，以及它們與現(xiàn)代數(shù)系之間的關(guān)系。

二、西方數(shù)系的發(fā)展

    從清晰明白的自然數(shù)和直觀的連續(xù)量出發(fā)，西方數(shù)系的發(fā)展大約經(jīng)歷以下三個階段：希臘時期的有理數(shù)域和量的比例理論的建立；近代歐洲，在代數(shù)方程和解析幾何以及后來的微積分（無窮小算法數(shù)學(xué)）的推動下，通過方程的根、幾何量、字母的代數(shù)運(yùn)算等方式，把希臘人的有理數(shù)（域）推廣到包括負(fù)數(shù)、（個別）無理數(shù)和虛數(shù)在內(nèi)的豐富而混亂的“數(shù)系”，然后，通過高斯的幾何解釋確立了負(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的存在性，從而建立起稠密的代數(shù)數(shù)域。最后，由分析的嚴(yán)格化開始，通過把無理數(shù)統(tǒng)一為有理數(shù)的極限這一關(guān)鍵步驟而走向?qū)崝?shù)連續(xù)統(tǒng)的建立。

    人們直觀地認(rèn)為一切量都可以用數(shù)和數(shù)的比直接表示，基于這種樸素的常識和理性自然觀的需要[5]，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派確立了“萬物皆數(shù)”的自然哲學(xué)信念。而這里的“數(shù)”就是自然數(shù)，所以他們把數(shù)與數(shù)的比加以區(qū)別。用數(shù)和數(shù)的比直接表示一切（特別是幾何）量的嘗試是數(shù)系擴(kuò)展的開始。也是在用數(shù)和數(shù)的比表示幾何量的過程中畢達(dá)哥拉斯學(xué)派自己發(fā)現(xiàn)了邏輯矛盾，即在用數(shù)的比表示 時出現(xiàn)了邏輯矛盾。這種邏輯矛盾說明用數(shù)與數(shù)的比去直接表示幾何量不具有普遍性，這就和畢達(dá)哥拉斯的自然哲學(xué)的信念相沖突，也正是在這種意義上——邏輯矛盾與哲學(xué)信念的動搖——引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。

    以邏輯嚴(yán)格性為根本的希臘數(shù)學(xué)，從此就再不敢將數(shù)的運(yùn)算簡單地類比到量的運(yùn)算上去，這正是希臘人的高明和智慧。同時，也正是這種強(qiáng)烈的理性意識，希臘人努力去重新建立“量”的運(yùn)算——?dú)W多克斯的比例理論。這種理論的高明就在于它繞開了用數(shù)表示量的可能性這個難題，在量的比與數(shù)的比之間建立一種等價關(guān)系，把量的比轉(zhuǎn)化為（等價于）數(shù)的比。這既保持了數(shù)的運(yùn)算的直觀明見性，也使量的運(yùn)算達(dá)到邏輯嚴(yán)格性，無理量的存在和運(yùn)算被歸于量的理論之中。這是希臘數(shù)系發(fā)展的第一個成果，也由此導(dǎo)致數(shù)與量的分離。

    歐多克斯的量的理論相當(dāng)復(fù)雜，只用于嚴(yán)格的邏輯證明，而且回避了“用數(shù)如何表示量”的問題。歐幾里得《原本》中只比較兩個幾何量的大小，而不去具體計算面積、體積等幾何量，但是數(shù)學(xué)（包括測地術(shù)和音樂、天文等）又無法避開“用數(shù)表示量”的問題。這一難題在阿基米德的工作中得到既嚴(yán)格又巧妙的解決。他用“窮竭法”把（幾何）量直接界定在兩個有理數(shù)之間——而不是借助于某種計數(shù)法把量直接表示為數(shù)[6]，然后他又用比例理論對量的運(yùn)算加以證明[7]，他的工作標(biāo)志著希臘數(shù)系發(fā)展的第二個關(guān)鍵的步驟：通過用“有理數(shù)”界定“無理量”，把量的運(yùn)算建立在數(shù)和數(shù)的比的運(yùn)算之上。這種方法是走向現(xiàn)代數(shù)系的重要步驟[8]。但阿基米德的方法并沒有使得“無理量”變成“無理數(shù)”[9]，數(shù)與量的分離依舊。

    希臘數(shù)系發(fā)展的第三個重要的步驟是丟番圖在《算術(shù)》中第一次把數(shù)和數(shù)的比統(tǒng)一為一個整體，遵守相同的運(yùn)算，由此把自然數(shù)系擴(kuò)展到有理數(shù)域。他的半文辭代數(shù)，在符號表示的意義上，淡化了數(shù)與數(shù)的比的區(qū)別。但是，希臘人在有理數(shù)系的問題上也并沒有形成統(tǒng)一的看法，如尼克馬科斯把數(shù)的理解恢復(fù)到畢達(dá)哥拉斯的意義——自然數(shù)與自然數(shù)的比加以區(qū)別[10]。

    總的說來，希臘人的數(shù)系是清晰嚴(yán)格的，卻是相互分離的。在算術(shù)與幾何學(xué)中，建立起清晰的數(shù)與數(shù)的比的運(yùn)算和嚴(yán)格的比例理論；在半文辭代數(shù)中借助于符號本身的抽象意義把數(shù)與數(shù)的比的運(yùn)算統(tǒng)一起來構(gòu)成有理數(shù)（域），而在測地術(shù)、天文學(xué)等的實用數(shù)學(xué)中，用有理數(shù)來界定或者近似表示量，并達(dá)到了很好的邏輯嚴(yán)格性。同時，有理數(shù)與量嚴(yán)格區(qū)別。

    適應(yīng)于解決物理學(xué)（自然哲學(xué)）和實際應(yīng)用問題的需要，近代歐洲人淡化了希臘人的邏輯嚴(yán)格性要求，忽略了比例理論這個嚴(yán)格而復(fù)雜的證明手段，模糊了數(shù)與量的區(qū)別，開始直接“用數(shù)表示量”。數(shù)系的發(fā)展承接著丟番圖和阿基米德的工作，差不多回到了前希臘的巴比倫和埃及時代[11]。基于半文辭代數(shù)的有理數(shù)系（域）和連續(xù)量的有理數(shù)表示（界定），這兩個傳統(tǒng)在近代歐洲交織在一起，使得數(shù)系的問題變得異常的混亂，同時也異常活躍。經(jīng)過三百多年混亂得令希臘人難以接受的發(fā)展過程，把希臘人清晰的有理數(shù)域擴(kuò)展到包括幾何量、方程的根、抽象流量（包括無窮小量）等在內(nèi)的豐富而復(fù)雜的數(shù)、量混合的代數(shù)數(shù)域[12]。

    代數(shù)的符號化和解方程的需要將傳統(tǒng)的有理數(shù)向著負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)擴(kuò)展。傳統(tǒng)的有理數(shù)的算術(shù)運(yùn)算通過韋達(dá)的符號表示被直接擴(kuò)展到代數(shù)運(yùn)算。在解有理系數(shù)的代數(shù)方程時，把方程的根作為新的運(yùn)算對象加入有理數(shù)域，通過規(guī)定它們的運(yùn)算，把有理數(shù)的算術(shù)運(yùn)算推廣到包括方程的根在內(nèi)的代數(shù)運(yùn)算[13]，事實上形成了有理數(shù)域的擴(kuò)張域，最終建立起代數(shù)數(shù)域。特別重要的是，從笛卡爾開始就把代數(shù)的與超越的加以區(qū)別[14]，到林德曼證明了這種區(qū)別[15]。對超越數(shù)的認(rèn)識使得希臘人關(guān)于有理數(shù)與無理數(shù)（量）的區(qū)別這個重要的問題進(jìn)一步深化，成為近代數(shù)系發(fā)展的一條重要的線索。

    解析幾何和微積分（特別是無窮級數(shù)）的發(fā)展使得傳統(tǒng)的有理數(shù)和無理量之間的區(qū)別逐漸消逝：放棄嚴(yán)格而復(fù)雜的歐多克斯的比例理論和阿基米德的嚴(yán)格巧妙的方法，把有理數(shù)的運(yùn)算“直接”推廣到無理量。笛卡爾在《幾何》中明確提出“如何將算術(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為幾何運(yùn)算”[16]，在笛卡爾還通過單位線段把量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為相同維數(shù)，而到了牛頓和萊布尼茨的微積分——無窮小量的代數(shù)演算，就直接把數(shù)的運(yùn)算“形式地”推廣到抽象的量。后來柯西、波爾查諾把個別無理數(shù)統(tǒng)一為無窮數(shù)列的極限，到戴德金、康托爾干脆就將無理數(shù)定義為這種數(shù)列的等價類，最終實現(xiàn)了由有理數(shù)域（代數(shù)數(shù)域）的稠密性向?qū)崝?shù)域的連續(xù)性的過渡。跳出感性經(jīng)驗，把實數(shù)統(tǒng)一為有理數(shù)子集的等價類。需要特別注意的是，雖然在混亂的積累時期，人們完全忽視了歐多克斯的比例理論，但在無理數(shù)的邏輯基礎(chǔ)的建立中依然依然有著歐多克斯比例理論的影響[17]，這表明西方數(shù)系發(fā)展的復(fù)雜性與曲折性以及追求邏輯嚴(yán)格的一貫性。

    有了完備的實數(shù)系，困擾西方數(shù)學(xué)的“數(shù)”與“量’的關(guān)系問題最終解決：連續(xù)量和連續(xù)實數(shù)統(tǒng)一起來，傳統(tǒng)幾何的直線和新的實數(shù)系成為等價的連續(xù)統(tǒng)，成為抽象連續(xù)統(tǒng)的具體形式，而稠密的有理數(shù)在等價類的意義上構(gòu)成實數(shù)系的子集。

三、中國古算中數(shù)系的建立

    同樣從清晰明白的自然數(shù)概念出發(fā)，適應(yīng)于測度計量的實際需要，借助于便捷的計數(shù)法和簡單的算具，中國古算很早就建立起簡潔的自然數(shù)的“九九算術(shù)”[18]，并逐步推廣到分?jǐn)?shù)和小數(shù)運(yùn)算，其中自然數(shù)和分?jǐn)?shù)相當(dāng)于希臘人的數(shù)、數(shù)的比，而小數(shù)成為獨(dú)立于分?jǐn)?shù)的一個數(shù)類，并由此發(fā)展出中國古算的數(shù)系——無限小數(shù)數(shù)系。

    在自然數(shù)四則運(yùn)算的基礎(chǔ)上，《九章算術(shù)》給出明確的負(fù)數(shù)的加減運(yùn)算（缺少負(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算）和正分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算，從而形成分?jǐn)?shù)表示的有理數(shù)系（域）[19]。從明確引入負(fù)數(shù)及其加減運(yùn)算法則的角度看，這個數(shù)域比希臘人（丟番圖）建立的正分?jǐn)?shù)運(yùn)算的有理數(shù)（域）更接近于現(xiàn)代的有理數(shù)域。但這一有理數(shù)域并沒有沿著“代數(shù)化”的方向進(jìn)一步發(fā)展出現(xiàn)代代數(shù)數(shù)域的某種等價物。有理數(shù)的運(yùn)算依然是算術(shù)運(yùn)算，它不同于抽象符號的代數(shù)運(yùn)算。

    借助于量的連續(xù)性觀念，中國古算，從自然數(shù)、有限小數(shù)到無限小數(shù)，以簡單概括、直觀類比的方式，逐步推廣自然數(shù)算術(shù)運(yùn)算，最終，在《九章算術(shù)·劉徽注》中，在“以面命之”的意義上，給出無限小數(shù)存在性的直觀判斷[20]，建立起類似于實數(shù)連續(xù)統(tǒng)的無限小數(shù)數(shù)系。在嚴(yán)格的有理數(shù)（分?jǐn)?shù)）域和樸素簡潔的無限小數(shù)數(shù)系獨(dú)立并存的意義上，中國古算，在劉徽時代，已經(jīng)完成其數(shù)系的建立，并由此奠定此后中國數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)。

    在現(xiàn)代實數(shù)系中，小數(shù)分為無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)兩類，有限小數(shù)就是循環(huán)節(jié)為0的無限循環(huán)小數(shù)，同時，有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是相對的，取決于計數(shù)法所采用的進(jìn)位制。無限循環(huán)小數(shù)對應(yīng)著自然數(shù)常數(shù)列，而無限不循環(huán)小數(shù)對應(yīng)非常數(shù)自然數(shù)列，它們的等價類分別為有理數(shù)與無理數(shù)。這樣，無限小數(shù)成為定義實數(shù)的一種簡潔有效的方式。

    中國傳統(tǒng)數(shù)系的發(fā)展不是從有理數(shù)系向?qū)崝?shù)系的過渡，而是直接從自然數(shù)、有限小數(shù)到無限小數(shù)的過渡。在解決實際測度計算的問題中，十進(jìn)位位值制計數(shù)法被自然地推廣到有限小數(shù)，其四則運(yùn)算法則完全等同于自然數(shù)，只需表明小數(shù)點(diǎn)的位置即可。基于便捷的記數(shù)法，中國古算進(jìn)一步把清晰的自然數(shù)的運(yùn)算直接延拓到“無限小數(shù)”上去，在這種意義上，形成簡潔有效、直觀樸素的無限小數(shù)數(shù)系。在這里沒有對無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)加以區(qū)別，也沒有對“有限”與“無限”這兩個重要概念嚴(yán)格區(qū)別。正因為沒有這兩個重要的區(qū)別，使得從有限小數(shù)經(jīng)由無限循環(huán)小數(shù)（有理數(shù)）向無限不循環(huán)小數(shù)（無理數(shù)）的過渡就“沒有任何困難”，沒有意識到從有限到無限的跨越，沒有遇到象西方數(shù)系發(fā)展的那種障礙。但無限小數(shù)的存在和運(yùn)算法則都沒有重新界定，而只是自然數(shù)經(jīng)由有限小數(shù)到無限小數(shù)的類推。

    由此可見，理解中國古算中數(shù)系的特點(diǎn)及其完成的程度，關(guān)鍵在于如何理解無限小數(shù)的存在及其運(yùn)算，也就是看中國古算如何把無限小數(shù)的存在和運(yùn)算建立在自然數(shù)及其運(yùn)算的基礎(chǔ)之上。在《九章算術(shù)·劉徽注》中給這種無限小數(shù)的存在性給出說明，這就是“中國古算與實數(shù)系統(tǒng)”一文第4部分詳細(xì)討論的“以面命之”的重要意義。即“面”在不同于有限小數(shù)的意義上確立無限小數(shù)作為一個完成了的結(jié)果[21]，相當(dāng)于把無限小數(shù)統(tǒng)一為自然數(shù)列的極限，并“以面命之”，這是確立實數(shù)存在性的一種有效方式，是走向?qū)崝?shù)連續(xù)統(tǒng)的重要的一個步驟。但距離建立實數(shù)系統(tǒng)還有另一個重要的步驟，就是如何給這種“面”規(guī)定相應(yīng)的運(yùn)算，同時把這種運(yùn)算建立在自然數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)之上。而在劉徽的工作中，“以面命之”的“面”只是無限小數(shù)的存在性的一種直觀的肯定，對“面”的運(yùn)算的理解只是實際計算中的有限小數(shù)的運(yùn)算法則的簡單類比。中國古算中是否明確給出這種“面”的運(yùn)算法則需要進(jìn)一步考證[22]，這是中國古算中的小數(shù)數(shù)系能否成為一個實數(shù)系的關(guān)鍵所在。

    由此可見，劉徽的“以面命之”進(jìn)一步發(fā)展了《九章算術(shù)》建立的小數(shù)數(shù)系，在“以面命之”的意義上直觀地確立無限小數(shù)（包括無理數(shù)）的存在，繞開了困擾希臘人的用有理數(shù)表示無理量的困難。但是這個數(shù)系和現(xiàn)代實數(shù)系之間的還有一定的差距。同時，中國古算中的有理數(shù)系是以分?jǐn)?shù)的形式建立的，而小數(shù)是獨(dú)立于分?jǐn)?shù)的一種數(shù)系。既沒有循環(huán)小數(shù)與不循環(huán)小數(shù)的區(qū)別，同時，在固定的計數(shù)制中，也沒有明確給出把無限循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)的具體方法，這種由自然數(shù)的簡單類比建立的小數(shù)數(shù)系就不是建立在有理數(shù)（系）的基礎(chǔ)之上的。

    在《九章算術(shù)·劉徽注》建立起小數(shù)系以后，中國數(shù)學(xué)基本上在這樣的數(shù)系基礎(chǔ)上進(jìn)行，以這種簡潔的小數(shù)數(shù)系和簡單的算具為基礎(chǔ)的計算技術(shù)，脫離具體量的限制，發(fā)展出宋元時期的“高次方程數(shù)值解”，把中國傳統(tǒng)的算法數(shù)學(xué)發(fā)展到登峰造極的精巧程度。但在數(shù)系方面沒有大的變化，高次方程的解可以看作是廣義的“面”。特別是，中國古算只關(guān)心“面”的近似值的計算，幾乎沒有意識到這種“面”的解析表示和代數(shù)意義。

四、兩種數(shù)系的比較

    針對“中國古算與實數(shù)系統(tǒng)”一文的結(jié)論，以下說明從自然數(shù)到無限小數(shù)而建立的中國古算的數(shù)系與從有理數(shù)經(jīng)由代數(shù)數(shù)到現(xiàn)代實數(shù)理論的西方數(shù)系之間存在著很大的差異。

    首先，從總體來看，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)與西方數(shù)學(xué)對于數(shù)的分類不同，對數(shù)的運(yùn)算意義的理解與西方不同。在中國古算中，數(shù)被分為自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)。理解中國古算中數(shù)系的關(guān)鍵是無限小數(shù)，作為無限小數(shù)存在性的“面”只是一個無限過程的結(jié)果（極限）的直觀判斷，不是一個明確的運(yùn)算對象，在實際的運(yùn)算中，面還是以一個有限小數(shù)出現(xiàn)的，遵從自然數(shù)的運(yùn)算法則。這種“面”的集合是否應(yīng)該理解為一個實數(shù)系，是需要進(jìn)一步考據(jù)研究的問題。中國古算中的小數(shù)既不是西方數(shù)系中的有理數(shù)（自然數(shù)與數(shù)的比），也不是量（magnitude）的某種等價物，無限小數(shù)的存在性及其運(yùn)算沒有達(dá)到希臘人的數(shù)的運(yùn)算或者量的比例理論那樣的嚴(yán)格性，同時發(fā)揮著兩者的作用：它滿足數(shù)的四則運(yùn)算法則，又可以直接表示任何類型的量（的近似值）。中國古算從自然數(shù)發(fā)展出小數(shù)系，試圖把簡潔的自然數(shù)的運(yùn)算法則推廣小數(shù)上去，獲得有效的計算工具。西方數(shù)系從自然數(shù)出發(fā)擴(kuò)展出各種數(shù)系，同時又努力把新的數(shù)系的存在和運(yùn)算的合理性回歸于自然數(shù)的基礎(chǔ)之上。

    其次，中西數(shù)學(xué)建立和發(fā)展數(shù)系的方式不同，特別是引入無理數(shù)的方式不同。在中國古算中，由自然數(shù)分別獨(dú)立地發(fā)展出分?jǐn)?shù)（有理數(shù)）和無限小數(shù)，把自然數(shù)的運(yùn)算類比到無限小數(shù)，建立小數(shù)數(shù)系。在“以面命之”的意義上，“面”成為構(gòu)成無限小數(shù)（集合）的基本元素，在這個“面”的集合中，沒有有理數(shù)（循環(huán)小數(shù)）與無理數(shù)的明確區(qū)分，沒有“面”的具體運(yùn)算法則的明確規(guī)定。在具體運(yùn)算中只涉及“面”的有限小數(shù)的近似值表示，而有限小數(shù)遵守自然數(shù)的運(yùn)算法則。希臘數(shù)學(xué)，由于用數(shù)和數(shù)的比（分?jǐn)?shù)）表示量時發(fā)現(xiàn)邏輯矛盾，由此區(qū)分了可公度量與不可公度量，在這種意義上發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)（不可公度量）。建立起量的比例理論，但“量”沒有構(gòu)成一個（數(shù)）域，因為量的比只限于同類量，同時量的乘法受到限制[23]。中國古算中的數(shù)系在《九章算術(shù)·劉徽注》中完成以后再沒有大的變化，宋元時期在解方程中引入負(fù)數(shù)的乘法法則（最早見于朱世杰的《算學(xué)啟蒙》[24]），使有理數(shù)系進(jìn)一步走向完善，但沒有涉及代數(shù)數(shù)，這樣負(fù)數(shù)一直限于算術(shù)運(yùn)算。高次方程的數(shù)值解可以看作是對“面”的豐富，沒有實質(zhì)的變化。希臘數(shù)系從有理數(shù)出發(fā)，沿著代數(shù)化方向，通過代數(shù)（符號）和方程的根（系數(shù)的解析表達(dá)式），擴(kuò)展為代數(shù)數(shù)域[25]，同時，沿著“用數(shù)表示量”的方向，從阿基米德的幾何量的有理數(shù)界定開始，到近代解析幾何的幾何量的運(yùn)算和物理量的運(yùn)算的建立，特別是微積分（無窮小量算法）的發(fā)展，把無理數(shù)（量）最終統(tǒng)一到有理數(shù)的極限。同時，這兩條線索交織在一起，互相矛盾沖突，發(fā)展曲折復(fù)雜。和中國古算的數(shù)系演化大異其趣。例如，針對解方程的問題，中國古算在算術(shù)運(yùn)算中尋求數(shù)值解，而西方數(shù)學(xué)尋求解析解，在這一過程中幾乎同時引入負(fù)數(shù)、虛數(shù)，并把代數(shù)數(shù)和超越數(shù)相區(qū)別，這是中國古算中不可想象的問題。再如，西方數(shù)學(xué)從有理數(shù)與無理量的區(qū)別出發(fā)，在用數(shù)表示量的努力中建立無理數(shù)理論，而中國古算中就沒有這種區(qū)別，沒有用數(shù)表示量的任何困難。

    由此可見，西方數(shù)學(xué)與中國古算發(fā)展出相互獨(dú)立的數(shù)系。強(qiáng)調(diào)概念清晰、邏輯嚴(yán)格的西方數(shù)學(xué)從擺脫數(shù)學(xué)危機(jī)開始，通過算術(shù)運(yùn)算的代數(shù)化，把有理數(shù)系擴(kuò)展為代數(shù)數(shù)域，同時，在用稠密的有理數(shù)表示連續(xù)量的努力中，把實數(shù)統(tǒng)一為有理數(shù)的極限。經(jīng)過復(fù)雜曲折的歷程，最終建立起“成熟的實數(shù)系”。而強(qiáng)調(diào)實用的中國算法數(shù)學(xué)，適應(yīng)于實際計算的需要，借助于便捷的計數(shù)法，通過簡單類比，把自然數(shù)的算術(shù)運(yùn)算推廣到無限小數(shù)的算術(shù)運(yùn)算，并在“以面命之”的意義上強(qiáng)調(diào)無限小數(shù)的存在性，由此而發(fā)展出樸素直觀、簡單便捷的小數(shù)數(shù)系。這種小數(shù)數(shù)系是一個“早熟的實數(shù)系”。在這個小數(shù)數(shù)系中，沒有代數(shù)數(shù)與超越數(shù)的區(qū)別，也沒有稠密性與連續(xù)性的區(qū)別，包括負(fù)數(shù)、開方（求根）等的運(yùn)算依然是算術(shù)運(yùn)算，這和現(xiàn)代的實數(shù)系有著很大的差異。說中國古算很早就建立了一種獨(dú)立的數(shù)系尚可，要說“早在公元263年時，劉徽即已通過十進(jìn)制小數(shù)以及極限過程完成了現(xiàn)代意義下的實數(shù)系統(tǒng)”，則值得懷疑。同時，“數(shù)學(xué)危機(jī)”是西方數(shù)學(xué)發(fā)展的重要的里程碑，前兩次數(shù)學(xué)危機(jī)對于數(shù)系的建立和完善具有不可替代的重要作用，說中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)“根本上排除了危機(jī)”可能會引起讀者對西方數(shù)學(xué)危機(jī)及其意義的誤解。諸如此類，涉及兩種數(shù)系關(guān)系的問題需要進(jìn)一步深入研究。

〔參 考 文 獻(xiàn)〕