實(shí)數(shù)可以直觀地看作小數(shù)（有限或無限的），它們能把數(shù)軸“填滿”。實(shí)數(shù)包括所有的有理數(shù)和無理數(shù)。比如0、 -4.8、、等。但僅僅以枚舉的方式不能描述實(shí)數(shù)的全體。

      根據(jù)日常經(jīng)驗(yàn)，有理數(shù)集在數(shù)軸上似乎是“稠密”的，于是古人一直認(rèn)為用有理數(shù)即能滿足測量上的實(shí)際需要。以邊長為1的正方形為例，其對角線有多長？在規(guī)定的精度下（比如誤差小于0.001），總可以用有理數(shù)來表示足夠精確的測量結(jié)果（比如1.414）。但是，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，只使用有理數(shù)無法完全精確地表示這條對角線的長度，這徹底地打擊了他們的數(shù)學(xué)理念，他們原以為：

      任何兩條線段（的長度）的比，可以用自然數(shù)的比來表示。

      正因如此，畢達(dá)哥拉斯本人甚至有“萬物皆數(shù)”的信念，這里的數(shù)是指自然數(shù)（1，2，3 ...），而由自然數(shù)的比就得到所有正有理數(shù)，而有理數(shù)集存在“縫隙”這一事實(shí)，對當(dāng)時(shí)很多數(shù)學(xué)家來說可謂極大的打擊，這就是所謂的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。

      從古希臘一直到十七世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們才慢慢接受無理數(shù)的存在，并把它和有理數(shù)平等地看作數(shù)；后來有虛數(shù)概念的引入，為加以區(qū)別而稱作“實(shí)數(shù)”，意即“實(shí)在的數(shù)”。在當(dāng)時(shí)，盡管虛數(shù)已經(jīng)出現(xiàn)并廣為使用，實(shí)數(shù)的嚴(yán)格定義卻仍然是個(gè)難題，以至函數(shù)、極限和收斂性的概念都被定義清楚之后，才由十九世紀(jì)末的戴德金、康托等人對實(shí)數(shù)進(jìn)行了嚴(yán)格處理。

      所有實(shí)數(shù)的集合則可稱為實(shí)數(shù)系或實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)。任何一個(gè)完備的阿基米德有序域均可稱為實(shí)數(shù)系。在保序同構(gòu)意義下它是惟一的，常用R表示。由于R是定義了算數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算系統(tǒng)，故有實(shí)數(shù)系這個(gè)名稱。

      在目前的初等數(shù)學(xué)中，沒有對實(shí)數(shù)進(jìn)行嚴(yán)格的定義，而一般把實(shí)數(shù)看作小數(shù)（有限或無限的）。實(shí)數(shù)的完整定義在幾何上，直線上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng)。

      實(shí)數(shù)可以分為有理數(shù)（如42、）和無理數(shù)（如π、√2）兩類，也可以分為代數(shù)數(shù)和超越數(shù)（有理數(shù)都是代數(shù)數(shù)），或正數(shù)，負(fù)數(shù)和零三類。實(shí)數(shù)集合通常用字母R或表示。而Rn表示n維實(shí)數(shù)空間。實(shí)數(shù)是不可數(shù)的。實(shí)數(shù)是實(shí)分析的核心研究對象。

      實(shí)數(shù)可以用來測量連續(xù)變化的量。理論上，任何實(shí)數(shù)都可以用無限小數(shù)的方式表示，小數(shù)點(diǎn)的右邊是一個(gè)無窮的數(shù)列（可以是循環(huán)的，也可以是非循環(huán)的）。在實(shí)際運(yùn)用中，實(shí)數(shù)經(jīng)常被近似成一個(gè)有限小數(shù)（保留小數(shù)點(diǎn)后n位，n為正整數(shù)）。在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，由于計(jì)算機(jī)只能存儲有限的小數(shù)位數(shù)，實(shí)數(shù)經(jīng)常用浮點(diǎn)數(shù)來表示。

      在公元前500年左右，以畢達(dá)哥拉斯為首的希臘數(shù)學(xué)家們認(rèn)識到有理數(shù)在幾何上不能滿足需要，但畢達(dá)哥拉斯本身并不承認(rèn)無理數(shù)的存在。直到17世紀(jì)，實(shí)數(shù)才在歐洲被廣泛接受。18世紀(jì)，微積分學(xué)在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來。直到1871年，德國數(shù)學(xué)家康托爾第一次提出了實(shí)數(shù)的嚴(yán)格定義。

      實(shí)數(shù)可以用通過收斂于一個(gè)唯一實(shí)數(shù)的十進(jìn)制或二進(jìn)制展開如{3，3.1，3.14，3.141，3.1415，…}所定義的序列的方式而構(gòu)造為有理數(shù)的補(bǔ)全。實(shí)數(shù)可以不同方式從有理數(shù)構(gòu)造出來。這里給出其中一種，其他方法請?jiān)斠妼?shí)數(shù)的構(gòu)造。

      設(shè)R是所有實(shí)數(shù)的集合，則：

      集合R是一個(gè)域： 可以作加、減、乘、除運(yùn)算，且有如交換律，結(jié)合律等常見性質(zhì)。

      域R是個(gè)[[有序域]]，即存在全序關(guān)系≥，對所有實(shí)數(shù)x, y和z：

      若x≥ y則x+ z≥ y+ z；

      若x≥ 0且y≥ 0則x'y≥ 0。

      集合R滿足戴德金完備性，即任意R的非空子集S(S ? R, S ≠ ?)，若S在R內(nèi)有上界，那么S在R內(nèi)有上確界。

      最后一條是區(qū)分實(shí)數(shù)和有理數(shù)的關(guān)鍵。例如所有平方小于2的有理數(shù)的集合存在有理數(shù)上界，如1.5；但是不存在有理數(shù)上確界（因?yàn)?/span>不是有理數(shù)）。

      實(shí)數(shù)通過上述性質(zhì)唯一確定。更準(zhǔn)確的說，給定任意兩個(gè)戴德金完備的有序域R1和R2，存在從R1到R2的唯一的域同構(gòu)，即代數(shù)學(xué)上兩者可看作是相同的。

      在實(shí)數(shù)域內(nèi)，可實(shí)現(xiàn)的基本運(yùn)算有加、減、乘、除、平方等，對非負(fù)數(shù)還可以進(jìn)行開方運(yùn)算。實(shí)數(shù)加、減、乘、除（除數(shù)不為零）、平方后結(jié)果還是實(shí)數(shù)。任何實(shí)數(shù)都可以開奇次方，結(jié)果仍是實(shí)數(shù)；只有非負(fù)實(shí)數(shù)才能開偶次方，其結(jié)果還是實(shí)數(shù)。

      作為度量空間或一致空間，實(shí)數(shù)集合是一個(gè)完備空間，它有以下性質(zhì)：

       所有實(shí)數(shù)的柯西序列都有一個(gè)實(shí)數(shù)極限。

      有理數(shù)集合就不是完備空間。例如，(1，1.4，1.41，1.414，1.4142，1.41421，...)是有理數(shù)的柯西序列，但沒有有理數(shù)極限。實(shí)際上，它有個(gè)實(shí)數(shù)極限。實(shí)數(shù)是有理數(shù)的完備化：這亦是構(gòu)造實(shí)數(shù)集合的一種方法。

      極限的存在是微積分的基礎(chǔ)。實(shí)數(shù)的完備性等價(jià)于歐幾里得幾何的直線沒有“空隙”。

      實(shí)數(shù)集合通常被描述為“完備的有序域”，這可以有幾種解釋。

      首先，有序域可以是完備格。然而，很容易發(fā)現(xiàn)沒有有序域會(huì)是完備格。這是由于有序域沒有最大元素（對任意元素z，z+ 1將更大）。所以，這里的“完備”不是完備格的意思。

      另外，有序域滿足戴德金完備性，這在上述公理中已經(jīng)定義。上述的唯一性也說明了這里的“完備”是指戴德金完備性的意思。這個(gè)完備性的意思非常接近采用戴德金分割來構(gòu)造實(shí)數(shù)的方法，即從（有理數(shù)）有序域出發(fā)，通過標(biāo)準(zhǔn)的方法建立戴德金完備性。

      這兩個(gè)完備性的概念都忽略了域的結(jié)構(gòu)。然而，有序群（域是種特殊的群）可以定義一致空間，而一致空間又有完備空間的概念。上述完備性中所述的只是一個(gè)特例。（這里采用一致空間中的完備性概念，而不是相關(guān)的人們熟知的度量空間的完備性，這是由于度量空間的定義依賴于實(shí)數(shù)的性質(zhì)。）  當(dāng)然，R并不是唯一的一致完備的有序域，但它是唯一的一致完備的阿基米德域。實(shí)際上，“完備的阿基米德域”比“完備的有序域”更常見。可以證明，任意一致完備的阿基米德域必然是戴德金完備的（當(dāng)然反之亦然）。這個(gè)完備性的意思非常接近采用柯西序列來構(gòu)造實(shí)數(shù)的方法，即從（有理數(shù)）阿基米德域出發(fā)，通過標(biāo)準(zhǔn)的方法建立一致完備性。

      “完備的阿基米德域”最早是由希爾伯特提出來的，他還想表達(dá)一些不同于上述的意思。他認(rèn)為，實(shí)數(shù)構(gòu)成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是R的子域。這樣R是“完備的”是指，在其中加入任何元素都將使它不再是阿基米德域。這個(gè)完備性的意思非常接近用超實(shí)數(shù)來構(gòu)造實(shí)數(shù)的方法，即從某個(gè)包含所有（超實(shí)數(shù)）有序域的純類出發(fā)，從其子域中找出最大的阿基米德域。

      實(shí)數(shù)集是不可數(shù)的，也就是說，實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)嚴(yán)格多于自然數(shù)的個(gè)數(shù)（盡管兩者都是無窮大）。這一點(diǎn)，可以通過康托爾對角線方法證明。實(shí)際上，實(shí)數(shù)集的勢為2ω，即自然數(shù)集的冪集的勢。由于實(shí)數(shù)集中只有可數(shù)集個(gè)數(shù)的元素可能是代數(shù)數(shù)，絕大多數(shù)實(shí)數(shù)是超越數(shù)。實(shí)數(shù)集的子集中，不存在其勢嚴(yán)格大于自然數(shù)集的勢且嚴(yán)格小于實(shí)數(shù)集的勢的集合，這就是連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。該假設(shè)不能被證明是否正確，這是因?yàn)樗图险摰腪FS公理系統(tǒng)相互獨(dú)立。

      所有非負(fù)實(shí)數(shù)的平方根屬于R，但這對負(fù)數(shù)不成立。這表明R上的序是由其代數(shù)結(jié)構(gòu)確定的。而且，所有奇數(shù)次多項(xiàng)式至少有一個(gè)根屬于R。這兩個(gè)性質(zhì)使R成為實(shí)封閉域的最主要的實(shí)例，證明這一點(diǎn)就是對代數(shù)基本定理的證明的前半部分。

      實(shí)數(shù)集擁有一個(gè)規(guī)范的測度，即勒貝格測度。

      實(shí)數(shù)集的上確界公理用到了實(shí)數(shù)集的子集，這是一種二階邏輯的陳述。不可能只采用一階邏輯來刻畫實(shí)數(shù)集：1. L?wenheim-Skolem定理說明，存在一個(gè)實(shí)數(shù)集的可數(shù)稠密子集，它在一階邏輯中正好滿足和實(shí)數(shù)集自身完全相同的命題；2. 超實(shí)數(shù)的集合遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于R，但也同樣滿足和R一樣的一階邏輯命題。滿足和R一樣的一階邏輯命題的有序域稱為R的非標(biāo)準(zhǔn)模型。這就是非標(biāo)準(zhǔn)分析的研究內(nèi)容，在非標(biāo)準(zhǔn)模型中證明一階邏輯命題（可能比在R中證明要簡單一些），從而確定這些命題在R中也成立。

      實(shí)數(shù)集構(gòu)成一個(gè)度量空間：x和y間的距離定為絕對值|x- y|。作為一個(gè)全序集，它也具有序拓?fù)?。這里，從度量和序關(guān)系得到的拓?fù)湎嗤?shí)數(shù)集又是1 維的可縮空間（所以也是連通空間）、局部緊致空間、可分空間、貝利空間。但實(shí)數(shù)集不是緊致空間。這些可以通過特定的性質(zhì)來確定，例如，無限連續(xù)可分的序拓?fù)浔仨毢蛯?shí)數(shù)集同胚。

      實(shí)數(shù)集可以在幾種不同的方面進(jìn)行擴(kuò)展和一般化：

      最自然的擴(kuò)展可能就是復(fù)數(shù)了。復(fù)數(shù)集包含了所有多項(xiàng)式的根。但是，復(fù)數(shù)集不是一個(gè)有序域。

      實(shí)數(shù)集擴(kuò)展的有序域是超實(shí)數(shù)的集合，包含無窮小和無窮大。它不是一個(gè)阿基米德域。

      有時(shí)候，形式元素 +∞和 -∞加入實(shí)數(shù)集，構(gòu)成擴(kuò)展的實(shí)數(shù)軸。它是一個(gè)緊致空間，而不是一個(gè)域，但它保留了許多實(shí)數(shù)的性質(zhì)。

      希爾伯特空間的自伴隨算子在許多方面一般化實(shí)數(shù)集：它們可以是有序的（盡管不一定全序）、完備的；它們所有的特征值都是實(shí)數(shù)；它們構(gòu)成一個(gè)實(shí)結(jié)合代數(shù)。

      實(shí)數(shù)公理是定義實(shí)數(shù)的一種途徑。按照它，所謂實(shí)數(shù)系就是定義了兩種二元運(yùn)算（加法與乘法）和一種次序關(guān)系（>）的集合，并且這些運(yùn)算和次序滿足規(guī)定的公理。由這些公理可以推出實(shí)數(shù)的一切性質(zhì)。

      實(shí)數(shù)公理是在集合論發(fā)展的基礎(chǔ)上，由希爾伯特于1899年首次提出的。后來他所提的公理系統(tǒng)在相容性與獨(dú)立性方面得到了進(jìn)一步改進(jìn)，逐步演變?yōu)楝F(xiàn)在的公理系統(tǒng)。實(shí)數(shù)公理來源于實(shí)數(shù)理論的研究，實(shí)數(shù)理論包括對實(shí)數(shù)的結(jié)構(gòu)，運(yùn)算法則和拓?fù)湫再|(zhì)等方面問題的研究。  　　

      實(shí)數(shù)集有多重結(jié)構(gòu)，例如:  　　

      代數(shù)結(jié)構(gòu)：從代數(shù)上看實(shí)數(shù)集是一個(gè)域。  　　

      序結(jié)構(gòu)：實(shí)數(shù)集是一個(gè)有序集。  　　

      拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)：實(shí)數(shù)集是一個(gè)拓?fù)淇臻g，并且有諸如完備性，可分性，和列緊性等一些非常好的性質(zhì)。  　　

      實(shí)數(shù)理論包含了深刻而豐富的信息，實(shí)數(shù)理論是極限論的基礎(chǔ)，也是近代分析數(shù)學(xué)的最重要基礎(chǔ)之一。

      設(shè)R是一個(gè)集合，若它滿足下列三組公理，則稱為實(shí)數(shù)系，它的元素稱為實(shí)數(shù)：　　

      (I) 域公理　　

      對任意a，b∈R，有R中惟一的元素a+b與惟一的元素a·b分別與之對應(yīng)，依次稱為a，b的和與積，滿足：  　　

      1.（交換律） 對任意a，b∈R，有  　　a+b=b+a，a·b=b·a。  　　

      2.（結(jié)合律） 對任意a，b，c∈R，有  　　a+(b+c)=(a+b)+c，a·(b·c)=(a·b)·c。  　　

      3.（分配律） 對任意a，b，c∈R，有  　　a+(b·c)=a·c+b·c。  　　

      4.（單位元）  存在R中兩個(gè)不同的元素，記為0,1分別稱為加法單位元與乘法單位元，使對所有的a∈R，有  　　a+0=a，a·1=a。  　　

      5.（逆元）  對每個(gè)a∈R，存在R中惟一的元素，記為-a，稱為加法逆元；對每個(gè)a∈R\{0}，存在R中惟一的元素，記為a^(-1)，稱為乘法逆元，使  　　a+(-a)=0。a·a^(-1)=1。  　　

      (II) 序公理　　在任意兩個(gè)元素a，b∈R之間存在一種關(guān)系，記為“>”，使對任意a，b，c∈R，滿足：  　　

      1.（三歧性） a>b，b>a，a=b三種關(guān)系中必有一個(gè)且僅有一個(gè)成立。  　　

      2.（傳遞性） 若a>b且b>c則a>c。  　　

      3.（與運(yùn)算的相容性）  若a>b，則a+c>b+c；若a>b，c>0則ac>bc。  　　

      (III) (1) 阿基米德公理　　阿基米德公理：對任意a，b∈R，a>0 存在正整數(shù)n，使na>b。  　　

      (III) (2)完備性公理　　R中的任何基本列都在R中收斂。  　　

      稱滿足公理組I的集為域；滿足公理組I與II的集為有序域；滿足公理組I，II與(III)(1)的集為阿基米德有序域；滿足公理組I～III的集為完備阿基米德有序域或完備有序域。這樣，實(shí)數(shù)系就是完備阿基米德有序域。所有有理數(shù)的集合Q就是阿基米德有序域，但它不滿足完備性公理。根據(jù)域公理，可以定義實(shí)數(shù)的減法和除法，并證明四則運(yùn)算的所有性質(zhì)。序公理的1與2表明關(guān)系“>”是R的全序。 　　

      用域公理和序公理可以定義正數(shù)、負(fù)數(shù)、不等式、絕對值，并證明它們具有通常的運(yùn)算性質(zhì)。加上阿基米德公理與完備性公理，可以證明實(shí)數(shù)的其他性質(zhì)以及冪、方根、對數(shù)等的存在性。實(shí)數(shù)公理有多種不同的提法，常見的另一種提法是把公理組III換成：   　　

      (III)’連續(xù)性公理　　若A，B是R的非空子集，且A∪B=R，又當(dāng)x∈A，y∈B時(shí)，x<y，則A有最大元或B有最小元。  　　

      這里把戴德金定理用作連續(xù)性公理。另一個(gè)常用作連續(xù)性公理的確界原理。公理組I—III與公理組I+II+(III)’是等價(jià)的，（注意不是III<=>(III)’）。完備性公理可以換成閉區(qū)間套定理的形式。類似地，單調(diào)收斂定理，聚點(diǎn)原理等也可用作連續(xù)性公理。公理組II也有其他提法。用公理定義了實(shí)數(shù)系R后，可以繼續(xù)定義R的特殊元素正整數(shù)、整數(shù)等。例如，由數(shù)1生成的子加群Z={0,±1,±2,…}的元素稱為整數(shù)；由數(shù)1生成的子域Q={p/q|p,q∈Z,q≠0}的元素稱為有理數(shù)。　　

      滿足這些公理的任何集合R，都可被認(rèn)為是實(shí)數(shù)集的具體實(shí)現(xiàn)，或稱為實(shí)數(shù)模型。　　

      從另外一個(gè)角度來想，希爾伯特實(shí)數(shù)公理是自上而下建立數(shù)系的，用公理規(guī)定實(shí)數(shù)，然后再定義整數(shù)、正整數(shù)直至自然數(shù)。那么反過來，實(shí)數(shù)的這些公理能不能從其他的假設(shè)中推出來，事實(shí)上，這就是實(shí)數(shù)的構(gòu)造理論的內(nèi)容，在菲赫金哥爾茨的《微積分學(xué)教程》的緒論中，就展示了用戴德金分割的方法從有理數(shù)定義無理數(shù)的過程，從而建立了實(shí)數(shù)，而有理數(shù)是依賴于先建立整數(shù)的，整數(shù)又是依賴于先建立自然數(shù)的，當(dāng)集合論發(fā)展起來之后，自然數(shù)又依靠集合來定義（即皮亞諾公理），集合是最原始的概念，無法再定義的概念。從此，整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)就建立在了集合論之上，數(shù)學(xué)再也不能排除掉集合這一現(xiàn)代概念，當(dāng)英國數(shù)學(xué)家羅素發(fā)現(xiàn)了集合中的羅素悖論之后，引發(fā)了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，促使集合論又不得不加以改進(jìn)，致使樸素集合論發(fā)展為近代集合論，現(xiàn)代的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)終于建立在了公理化集合論的基礎(chǔ)之上（ZFC公理系統(tǒng)）。