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你喜歡數(shù)學(xué)嗎？ 今天音樂老師要客串一下數(shù)學(xué)老師，和大家講講關(guān)于音樂與數(shù)學(xué)直接的聯(lián)系！沒錯(cuò)！這將是一節(jié)你從未聽過的數(shù)學(xué)課。 “do, re, mi……”隨著這幾個(gè)簡單的音節(jié)，我們開始了人生的第一堂音樂課，數(shù)字簡譜以1、2、3、4、5、6、7代表音階中的7個(gè)基本音階，讀音為do、re、mi、fa、sol、la、si，休止以0表示。
音樂中的數(shù)學(xué)
孩子們可以看得懂的《音樂中的數(shù)學(xué)》 提到數(shù)學(xué)與音樂的關(guān)系，我們所能想到的第一個(gè)有關(guān)音樂與數(shù)學(xué)的結(jié)合，也許就是這7個(gè)基本音階了。但你可曾想過，這些音階是按照什么規(guī)律排列的呢？讓我們回到2500年前，追隨大名鼎鼎的古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的腳步，看看他是怎么解答的吧。
畢達(dá)哥拉斯是古希臘著名的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家，他認(rèn)為“萬物皆數(shù)”“數(shù)是萬物的本質(zhì)”，是“存在由之構(gòu)成的原則”，而整個(gè)宇宙是數(shù)及其關(guān)系的和諧體系。 眾所周知，畢達(dá)哥拉斯開創(chuàng)了自己的數(shù)學(xué)學(xué)派，該學(xué)派信奉數(shù)是萬物的起源，因此宇宙和諧的基礎(chǔ)應(yīng)當(dāng)是完美的數(shù)的比例，而音樂之所以給人以美的感受，很大程度上是因它有著一種和諧。在這種意識(shí)的啟發(fā)下，畢達(dá)哥拉斯用不同的樂器做了許多的實(shí)驗(yàn)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)聲音與發(fā)聲體體積有著一定的比例關(guān)系。而后，他又在琴弦上做了試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)只要按比例劃分一根振動(dòng)著的弦，就可以產(chǎn)生悅耳的音程，而它們彼此間是存在著比例關(guān)系的。 畢達(dá)哥拉斯又進(jìn)一步進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。經(jīng)過更多的實(shí)驗(yàn)和推算，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)， 當(dāng)弦長比分別為2∶1、3∶2、4∶3時(shí)，發(fā)出的音律最為和諧。
這就是我們后來所使用的“五度相生律” 美的東西，總是簡單而和諧。 依據(jù)五度相生律產(chǎn)生的基礎(chǔ)音階構(gòu)成的旋律，按照任意的方式組合，都有各自的美感，而將全部半音階推算出來后，旋律的緊張度和動(dòng)力性會(huì)得到增強(qiáng)，更能產(chǎn)生旋律之間動(dòng)態(tài)的美感和張力。 正如萊布尼茨的名言所說：“音樂是數(shù)學(xué)在靈魂中無意識(shí)的運(yùn)算?！币魳氛缬星榫w的數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)則像最純粹的音樂，樂音激蕩，而數(shù)字翩躚，音樂與數(shù)學(xué)恰似人類心智開出的兩朵玫瑰。就讓我們沉醉其中，縱情感受它們的魅力吧！ 達(dá)·芬奇，出生于意大利的文藝復(fù)興時(shí)期，他涉及的領(lǐng)域：包括素描、繪畫、雕塑、建筑、科學(xué)、音樂、數(shù)學(xué)、工程、文學(xué)、解剖學(xué)、地質(zhì)學(xué)、天文學(xué)、植物學(xué)、古生物學(xué)和制圖學(xué)。他被人們稱為古生物學(xué)、植物學(xué)和建筑學(xué)之父，被廣泛認(rèn)為是世界有史以來最偉大的畫家之一。 達(dá)·芬奇輝煌的一生中有許多作品，涉足領(lǐng)域也是非常多，尤其為人稱道的就是他在繪畫領(lǐng)域的造詣。 無論是《維特魯威人》還是《蒙娜麗莎的微笑》，后世對(duì)達(dá)·芬奇的都進(jìn)行了詳細(xì)的研究，發(fā)現(xiàn)作品中有許多數(shù)學(xué)規(guī)律，讓人感嘆數(shù)學(xué)的邏輯性與藝術(shù)直接的完美結(jié)合?？墒悄阒绬?，達(dá)·芬奇除了在數(shù)學(xué)、繪畫等方面有過人的天賦和造詣，他在米蘭獲得的第一份正式工作是“宮廷樂師”，他曾為皇室創(chuàng)編、演奏樂曲，同時(shí)也做一些關(guān)于樂器改造的工作。
千百年來，研究音樂和數(shù)學(xué)的關(guān)系在西方一直是一個(gè)熱門的課題，從古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派到現(xiàn)代的宇宙學(xué)家和計(jì)算機(jī)科學(xué)家，都或多或少受到“整個(gè)宇宙即是和聲和數(shù)”的觀念的影響，開普勒、伽利略、歐拉、傅立葉、哈代等人都潛心研究過音樂與數(shù)學(xué)的關(guān)系。數(shù)學(xué)幾何與哲學(xué)相契攜行，滲進(jìn)西方人的全部精神生活，透入到一切藝術(shù)領(lǐng)域而成為西方藝術(shù)的一大特色。圣奧古斯汀更留下“數(shù)學(xué)還可以把世界轉(zhuǎn)化為和我們心靈相通的音樂”的名言。現(xiàn)代作曲家巴托克、勛伯格、凱奇等人都對(duì)音樂與數(shù)學(xué)的結(jié)合進(jìn)行大膽的實(shí)驗(yàn)。希臘作曲家克賽納基斯（1933~）創(chuàng)立“算法音樂”，以數(shù)學(xué)方法代替音樂思維，創(chuàng)作過程也即演算過程，作品名稱類乎數(shù)學(xué)公式，如《 S+/10-1.080262 》為10件樂器而作，是1962年2月8日算出來的。馬卡黑爾發(fā)展了施托克豪森的“圖表音樂”（讀和看的音樂）的思想，以幾何圖形的輪轉(zhuǎn)方式作出“幾何音樂”我們這個(gè)世界可以由音樂的音符組成也可以由數(shù)學(xué)公式組成?！?/span>
數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式的數(shù)量關(guān)系的一門科學(xué)，它早已從一門計(jì)數(shù)的學(xué)問變成一門形式符號(hào)體系的學(xué)問。符號(hào)的使用使數(shù)學(xué)具有高度的抽象。而音樂則是研究現(xiàn)實(shí)世界音響形式及對(duì)其控制的藝術(shù)。它同樣使用符號(hào)體系，是所有藝術(shù)中最抽象的藝術(shù)。德國著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家萊布尼茨曾說過：“音樂，就它的基礎(chǔ)來說，是數(shù)學(xué)的；就它的出現(xiàn)來說，是直覺的。”而愛因斯坦說得更為風(fēng)趣：“我們這個(gè)世界可以由音樂的音符組成也可以由數(shù)學(xué)公式組成?！?/span>
音樂中的1、2、3、4、5、6、7分別代表不同的7個(gè)音符，不僅如此，每個(gè)數(shù)字背后都與音樂有著千絲萬縷的聯(lián)系。  古希臘數(shù)學(xué)家尼柯瑪赫早就提出“音樂是對(duì)立因素的和諧的統(tǒng)一，把雜多導(dǎo)致統(tǒng)一，把不協(xié)調(diào)導(dǎo)致協(xié)調(diào)?！焙喲灾?，便是“一”變“多”，“多”變“一”的原理。音樂上許多發(fā)展樂思的手法，如重復(fù)、變奏、衍生、展開、對(duì)比等等，有時(shí)強(qiáng)調(diào)統(tǒng)一，有時(shí)強(qiáng)調(diào)變化，綜合起來，就是在統(tǒng)一中求變化，在變化中求統(tǒng)一。單音是音樂中最小的“細(xì)胞”，一個(gè)個(gè)單音按水平方向連結(jié)成為旋律、節(jié)奏，按垂直方向縱合成為和弦，和聲。樂段（一段體）是表達(dá)完整樂思的最小結(jié)構(gòu)單位。
巴洛克、古典、浪漫派音樂使用大小調(diào)調(diào)式體系，形成音階與和聲學(xué)的二元論（dualistic theory）。
音符直接也有“二分”關(guān)系，所有相鄰的兩個(gè)音符直接都是二倍關(guān)系，比如全音符是二分音符時(shí)值的二倍，二分音樂是四分音符時(shí)值的二倍，具體看下圖，音符的家族合影吧。
三個(gè)音按三度音程疊置成為各種和弦。三和弦是最常用的和聲建筑材料。愛因斯坦認(rèn)為不管是音樂家還是科學(xué)家都有一個(gè)強(qiáng)烈的愿望，“總想以最適合的方式來畫出一幅簡化的和易于領(lǐng)悟的世界圖像?！?/span>”數(shù)字“2”與“3”在音樂中概括了最基本的節(jié)拍類型二拍子與三拍子以及曲式類型二段式三段式；T2=D3是開普勒行星運(yùn)動(dòng)第三定律的數(shù)學(xué)公式，表示行星公轉(zhuǎn)周期（T）的二次方與它同太陽距離（D）的三次方相等。開普勒從大量十分零亂的觀測資料中發(fā)現(xiàn)了這個(gè)自然規(guī)律，它是那樣簡潔、優(yōu)美，被人稱為奇妙的“2”與“3”。T2=D3令人感到一種多么簡潔的美感！ 三分損益法，比畢達(dá)哥拉斯早100多年，中國的管仲也提出了自己的音律系統(tǒng)，稱為三分損益法。我們以笛子為例。在吹笛子時(shí)，空氣柱振動(dòng)，產(chǎn)生聲音，聲音的頻率與空氣柱的長短有關(guān)：空氣柱越短，振動(dòng)頻率越高，音調(diào)也越高。比如我們?cè)谝粋€(gè)瓶子里裝不同高度的水，用嘴吹瓶口，就會(huì)發(fā)現(xiàn)水越多、空氣柱越短，頻率越高。
人聲天然地劃分為四個(gè)聲部，任何復(fù)雜的多聲部音樂作品都可以規(guī)范為四部和聲。我們平時(shí)所彈奏的鋼琴作品的曲式結(jié)構(gòu)，大多數(shù)都是“古典四方體”方整結(jié)構(gòu)，即4+4+4+4…… ，4小節(jié)為一樂句，8小節(jié)為一樂段。
除此之外，我們將時(shí)值為4拍的全音符，作為音符家族的基數(shù)。
五度相生律（畢達(dá)哥拉斯律）及五度循環(huán)揭示了樂音組織的奧秘，而和聲五度關(guān)系法則是構(gòu)筑和聲大廈的基石。
六和弦、六聲音階、一個(gè)八度之內(nèi)有六個(gè)全音，常用的調(diào)是主調(diào)及其五個(gè)近關(guān)系副調(diào)。
常用的七聲音階由七個(gè)音級(jí)組成，巴洛克時(shí)期以前采用中古教會(huì)七種調(diào)式，19世紀(jì)民族樂派之后中古教會(huì)七聲調(diào)式部分地得到復(fù)興。太陽光譜由紅、橙、黃、綠、青、藍(lán)、紫七色組成，以牛頓為代表的科學(xué)家，曾對(duì)“七音”與“七色”之間奧妙的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行過有趣的探索。人體生理結(jié)構(gòu)分為七大系統(tǒng)。舊約圣經(jīng)中上帝創(chuàng)造世界用了七天，因此一個(gè)星期有七天。就連神話中的牛郎織女也選“七夕”就是農(nóng)歷七月初七晚上來相會(huì)。化學(xué)元素是物質(zhì)世界的基礎(chǔ)，門捷列夫發(fā)現(xiàn)的“元素周期表”的結(jié)構(gòu)圖中有七個(gè)橫行，七個(gè)周期，還有七個(gè)主族，七個(gè)副族。任何空間物體、圖形都可以簡化、抽象為點(diǎn) — 線 — 面 — 體幾何圖形，顯示出數(shù)理統(tǒng)一與和諧的美。同樣任何鋼琴作品也可據(jù)此進(jìn)行簡化和抽象。
例如：橫向時(shí)間系列分為樂句 — 樂段 — 樂章 — 套曲；縱向空間系列分為音級(jí) — 音程 — 和弦 — 和聲；鋼琴織體層次分為單音一單聲部一聲部層（或伴奏層）織體類型。
各種數(shù)列廣泛地應(yīng)用于音樂之中，如等比數(shù)列1、2、4、8、16、32用于音符時(shí)值分類及音樂曲式結(jié)構(gòu)中；斐波拉契數(shù)列用于黃金分割及樂曲高潮設(shè)計(jì)中。
斐波拉契是13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家，他于1228年提出一個(gè)兔子繁殖數(shù)問題：“如果有一對(duì)小兔，兩個(gè)月后就能生，每月生一對(duì)，生下來的小兔也是如此，如果都不死，一年以后有多少對(duì)？”打從那以后，人們?cè)絹碓阶⒁膺@個(gè)數(shù)學(xué)題的奇妙答案：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……這便是奇妙的斐波拉契數(shù)列。這個(gè)整數(shù)列有三個(gè)特點(diǎn)：（1）任何相鄰兩個(gè)數(shù)，其第一個(gè)數(shù)與第二個(gè)數(shù)的比值約等于0.618，相鄰兩個(gè)數(shù)的位置越靠后，比值越接近，稱為黃金比率。 （2）任何相鄰三個(gè)數(shù)，其中前兩個(gè)數(shù)之和等于第三個(gè)數(shù)，如1+2=3，2+3=5，3+5=8，依此類推。 （3）任何相鄰三個(gè)數(shù)，其中第一個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)的乘積與第二個(gè)數(shù)的平方相差1。
斐波拉契在音樂中得到普遍的應(yīng)用，如常見的曲式類型與斐波拉契數(shù)列頭幾個(gè)數(shù)字相符，它們是簡單的一段式、二段式、三段式和五段回旋曲式。大型奏鳴曲式也是三部性結(jié)構(gòu)，如再增加前奏及尾聲則又從三發(fā)展到五部結(jié)構(gòu)。黃金分割比例與音樂中高潮的位置有密切關(guān)系。我們分析許多著名的音樂作品，發(fā)覺其中高潮的出現(xiàn)多和黃金分割點(diǎn)相接近，位于結(jié)構(gòu)中點(diǎn)偏后的位置：小型曲式中8小節(jié)一段式，高潮點(diǎn)約在第5小節(jié)左右（見本教程曲44，第一個(gè)8小節(jié)樂段）；16小節(jié)二段式，高潮點(diǎn)約在第10小節(jié)左右；24小節(jié)帶再現(xiàn)三段式，高潮點(diǎn)在第15小節(jié)左右。 貝多芬《悲愴奏鳴曲》Op.13第二樂章是如歌的慢板，肖邦的《降D大調(diào)夜曲》是三部性曲式，拉赫曼尼諾夫的《第二鋼琴協(xié)奏曲》第一樂章是奏鳴曲式，這是一首宏偉的史詩，都是完全符合這種規(guī)律。奇奇妙妙的音樂世界里，有很多數(shù)字和數(shù)理邏輯的聯(lián)系，看看下面有哪些是你熟悉的，又有哪些是和數(shù)學(xué)相關(guān)的呢？音符在五線譜和簡譜的書寫方式對(duì)應(yīng)中，我們用數(shù)字表示音符的音高，用短橫線表示音符的長短。來看看，小蝌蚪之間的倍數(shù)關(guān)系！記譜法中的附點(diǎn)也美妙的詮釋了分?jǐn)?shù)的概念。音高與頻率之間的關(guān)系，也有著神秘的數(shù)理關(guān)系，一起研究一下把。數(shù)數(shù)看，中國古代的樂器編鐘，一共有幾組，每組又有幾個(gè)呢？古琴的徽位的數(shù)量及位置排列也符合一定的數(shù)理規(guī)律。音樂是藝術(shù)，更是一門科學(xué)；數(shù)學(xué)更是一門充滿藝術(shù)感的科學(xué)。相信老師，用數(shù)學(xué)的邏輯學(xué)習(xí)音樂，你會(huì)看到音樂不一樣的一面。如果你在學(xué)習(xí)中，探索到更多音樂與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，記得分享給我們。
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