兩棲怪物

歷史證明，人類要接受一種新數(shù)，往往是非常困難的，甚至還曾經(jīng)為此弄出過人命。第一個發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的古希臘人希帕斯就被畢達(dá)哥拉斯的忠實(shí)信徒們拋進(jìn)大海喂了鯊魚。負(fù)數(shù)雖然沒有弄出人命，但是在好幾個世紀(jì)中把歐洲的數(shù)學(xué)家們搞得暈頭轉(zhuǎn)向。大名鼎鼎的英國數(shù)學(xué)家、牛津大學(xué)教授瓦里斯為負(fù)數(shù)鬧了一個大笑話，他說：“負(fù)數(shù)比無窮大還要大”，連后來的大數(shù)學(xué)家歐拉，對此也深信不疑呢！直至十九世紀(jì)，有些數(shù)學(xué)家如德·摩根、馬塞勒還說負(fù)數(shù)“十分荒唐”，主張把它“從代數(shù)里驅(qū)逐出去”！

圖1 古希臘學(xué)派

正當(dāng)歐洲數(shù)學(xué)家們被無理數(shù)和負(fù)數(shù)弄得暈頭轉(zhuǎn)向還沒有完全清醒過來的時候，他們又遇

最早遇到這種數(shù)的人，是法國的舒開（1484年）。但第一個認(rèn)真討論這種數(shù)的，是文藝復(fù)興時期意大利有名的“怪杰”、三次方程解法獲得者之一的卡丹。卡丹在1545年提出一個

圖2 復(fù)數(shù)的框圖

幾乎過了100年，1637年，解析幾何的創(chuàng)始人笛卡兒才給這種“虛幻之?dāng)?shù)”取了一個名字叫“虛數(shù)”（和“實(shí)數(shù)”相對）。又過了140年，大數(shù)學(xué)家歐拉還是說這種數(shù)只是存在

牛津大學(xué)教授瓦里斯富有想象力，給虛數(shù)找到了一個巧妙的“解釋”：假設(shè)某人欠地10

最有名的是萊布尼茲評論虛數(shù)時那一段頗帶幾分神秘色彩的話：“圣靈在分析的奇觀中找到了超凡的顯示，這就是那個理想世界的端兆，那個介于存在與不存在之間的兩棲怪物，那個我們稱之為虛的-1的平方根。”看，虛數(shù)竟成了上不沾天、下不沾地的“兩棲怪物”！

虛數(shù)開始出現(xiàn)以后，經(jīng)過了兩個多世紀(jì)，還得不到人們的正式承認(rèn)。為什么？

“眼見為實(shí)”

大家知道，把一個實(shí)數(shù)和一個純虛數(shù)相加，得到形如a+bi這種數(shù)，叫做復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)這個名詞是德國大數(shù)學(xué)家高斯給出的。高斯一邊感到這種數(shù)有點(diǎn)虛無縹緲，但一邊又覺得它很有可愛之處。你看，如果不承認(rèn)這種數(shù)，代數(shù)方程有的無解，有的一個解，有的兩個解……五花八門，毫無規(guī)律；如果承認(rèn)了它，代數(shù)方程都有解，而且n次方程不多不少恰好有n個解！此外，對復(fù)數(shù)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，其結(jié)果還是復(fù)數(shù)（實(shí)數(shù)和純虛數(shù)只是復(fù)數(shù)的特例），這樣形成了一個完整的數(shù)域。

復(fù)數(shù)既然有這么多的“好處”，為什么數(shù)學(xué)家對它總是疑慮叢生、遲遲不愿接受呢？直至十九世紀(jì)中期，劍橋大學(xué)的教授們?nèi)匀槐е皡拹骸钡男那?，對它進(jìn)行抵制。簡單點(diǎn)說，就是因?yàn)檫@種數(shù)“看不見”，同時也“用不上”，缺乏實(shí)踐的基礎(chǔ)。

圖3 復(fù)數(shù)集

為此立了一功的，是挪威測量學(xué)家末塞爾，他找到了復(fù)數(shù)的幾何表示法。大家知道，所有實(shí)數(shù)都可以用直線上的點(diǎn)來表示，正數(shù)用0右邊的點(diǎn)來表示，負(fù)數(shù)用0左邊的點(diǎn)表示；

于承認(rèn)了負(fù)數(shù)和無理數(shù)。末塞爾發(fā)現(xiàn)，所有復(fù)數(shù)a+bi都可以用平面上的點(diǎn)來表示，而且復(fù)數(shù)a+bi與平面上的點(diǎn)一一對應(yīng)（圖3）。這樣一來，復(fù)數(shù)就找到了一個“立足之地”，而且開始在地圖測繪學(xué)上找到了它的應(yīng)用。

圖4 復(fù)數(shù)表示法

復(fù)數(shù)在幾何上找到了“立足之地”以后，人們對它就另眼相看了。從十八世紀(jì)末起，以歐拉為首的一些數(shù)學(xué)家，開始發(fā)展一門新的數(shù)學(xué)分支，叫做復(fù)變函數(shù)論。大家都學(xué)過函數(shù)，但在中學(xué)里，函數(shù)自變量的取值范圍僅限于實(shí)數(shù)。如果把函數(shù)自變量z的取值范圍擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，那么這種函數(shù)就叫做復(fù)變函數(shù)。即復(fù)變函數(shù)W=f(z)，其中z，W都是復(fù)數(shù)。

因?yàn)橐粋€復(fù)數(shù)可以表示為平面上的一個點(diǎn)，那么自變量z的取值范圍就是平面上的一個點(diǎn)的集合，相應(yīng)的函數(shù)W的取值范圍卻是另一平面上的一個點(diǎn)的集合。從幾何角度來看，所謂復(fù)變函數(shù)，就是把甲平面上的一個圖形A（點(diǎn)的集合）變換成乙平面上的一個圖形B（也是點(diǎn)的集合）。研究復(fù)變函數(shù)性質(zhì)的一門學(xué)科，就是復(fù)變函數(shù)論。十九世紀(jì)以后，由于法國數(shù)學(xué)家柯西、德國數(shù)學(xué)家黎曼、魏爾斯特拉斯的巨大貢獻(xiàn)，復(fù)變函數(shù)論取得了飛躍的發(fā)展，并且在空氣動力學(xué)、流體力學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)、理論物理學(xué)等方面有了廣泛的應(yīng)用。把這種“虛幻之?dāng)?shù)”第一次應(yīng)用到工程部門取得重大成就的，是俄羅斯“航空之父”儒可夫斯基，下面就講一講他的一些有趣的故事。

“航空之父”

尼古拉·葉哥洛維奇·儒可夫斯基1847年1月17日生于俄國弗拉基米爾省，21歲畢業(yè)于莫斯科大學(xué)的應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)。他是一個多面手，特別在航空方面很有造詣，后來就專心從事飛行的研究。

1890年，儒可夫斯基在俄國自然科學(xué)家會議上作了《關(guān)于飛行的理論》的演說。第二年完成了有名的關(guān)于飛行的著作《論鳥之飛翔》。他通過長期的觀察和研究，發(fā)現(xiàn)了鳥類飛行的許多奧秘，作出了一個大膽的預(yù)言：飛機(jī)可以在空中“翻筋斗”，即在鉛直的平面內(nèi)打圈。當(dāng)時不少人對他的預(yù)言將信將疑，也沒有哪一個飛行員敢于冒險去嘗試。十多年以后，陸軍中尉聶斯切洛夫?qū)崿F(xiàn)了世界上第一次飛機(jī)在空中“翻筋斗”，以后，這種特技飛行就稱為“聶斯切洛夫筋斗”。儒可夫斯基的預(yù)言實(shí)現(xiàn)了，他的預(yù)言就是根據(jù)復(fù)變函數(shù)的理論計(jì)算出來的。

圖5 儒可夫斯基

儒可夫斯基生長的時代，飛機(jī)剛剛飛上了天。飛機(jī)為什么能飛上天，它應(yīng)該怎樣設(shè)計(jì)，怎樣改進(jìn)，這一切一切全憑實(shí)驗(yàn)來摸索，找不到可靠的理論根據(jù)，特別是無法運(yùn)用數(shù)學(xué)這個有力工具。由于盲目的實(shí)踐，所以成功的機(jī)會少，失敗的時候多。一般的科學(xué)家都認(rèn)為，飛行這門學(xué)問只能以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)。莫斯科航空學(xué)校校長勃勞茨就曾經(jīng)說過：“要想依靠數(shù)學(xué)來建立航空學(xué)的某些定律，是再危險不過的事了。”

儒可夫斯基不相信這一套。他研究了圍繞和流過障礙物的不斷運(yùn)動著的氣流分子（圖6），于1906年（就是萊特克弟的飛機(jī)飛上天空后的第三年）發(fā)表了論文《論連接渦流》，成功地解決了空氣動力學(xué)的主要問題，創(chuàng)立了以空氣動力學(xué)為基礎(chǔ)的機(jī)翼升力原理，并找到了計(jì)算飛機(jī)翼型的方法。這一切的成就，都依賴于那個前人感到不可捉摸的“虛幻之?dāng)?shù)”，以及由它引申出來的復(fù)變函數(shù)論。

圖6 不同模型下的氣流分子

儒可夫斯基翼型，依賴于有名的儒可夫斯基變換，這是一個分式線性的復(fù)變函數(shù)

其中z為自變量，W為函數(shù)，a是一個常數(shù)。前面說過，當(dāng)自變量z的取值范圍是平面上一個點(diǎn)集時，函數(shù)W的取值范圍是另一平面上的一個點(diǎn)集。復(fù)變函數(shù)把z平面上一個圖形A變換成W平面上的一個圖形B（這種變換又稱為轉(zhuǎn)繪”）。上述儒可夫斯基變換，能把z平面上以P（P不在坐標(biāo)軸上）為圓心的圓，變成W平面上飛機(jī)翼型的截面圖。這個翼型就是有名的儒可夫斯基翼型（圖7）。

圖7 儒可夫斯基翼型

實(shí)際上，儒可夫斯基從理論上提出的這個翼型，要想完全照樣制作是困難的。實(shí)際使用的翼型是根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果描出的經(jīng)驗(yàn)曲線制作的。但是，由于這種理論上的翼型能夠用解析式完美地表達(dá)出來，對具有這種假想翼型的飛機(jī)性能就可以作充分的計(jì)算或估計(jì)，然后把計(jì)算的結(jié)果和實(shí)際的翼型作比較，就可以為設(shè)計(jì)各種優(yōu)良翼型提供資料?？傊辛死碚撘硇停涂梢灾笇?dǎo)我們的實(shí)踐，避免實(shí)踐上的盲目性。所以儒可夫斯基翼型在航空工程學(xué)上有著重大的意義，而為從事這項(xiàng)工作的人們所熟悉。1916年儒可夫斯基的重要著作《航空理論基礎(chǔ)》譯成法文，成了航空工程師和飛機(jī)設(shè)計(jì)家的必備手冊。

儒可夫斯基70歲時，趕上了俄國十月革命。革命后，由于對航空事業(yè)作出的巨大貢獻(xiàn)，他擔(dān)任了當(dāng)時世界上最大的航空科學(xué)研究院（后來就以他的名字命名）的領(lǐng)導(dǎo)工作。

1921年在紀(jì)念他工作50周年的時候，列寧發(fā)布了一道命令，尊稱他為“俄羅斯航空之父”。晚年，他的手癱瘓了，還孜孜不倦地為祖國培育新一代的航空人才。在他1921年3月17日逝世前不久，還在計(jì)劃給航空小組的學(xué)生講授“陀螺儀”的專門課程呢！