【原】用最簡(jiǎn)單的方式解釋黎曼猜想（四），核心篇——非平凡零點(diǎn)與復(fù)變函數(shù)

老胡說(shuō)科學(xué) 2021-12-25

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在上一篇文章，我們已經(jīng)討論了黎曼zeta函數(shù)的一些零點(diǎn)，每個(gè)負(fù)偶數(shù)都是zeta函數(shù)的零點(diǎn)：ζ(?2)= 0，ζ(?4)= 0，ζ(?6)= 0，以此類推。這給我們提供了一種理解黎曼猜想的方法，再次回顧下黎曼猜想的內(nèi)容：

黎曼zeta函數(shù)的非平凡零點(diǎn)的實(shí)部都是1/2。

但負(fù)偶數(shù)只是zeta函數(shù)的平凡零點(diǎn)，我們不禁要問(wèn)，那些“非平凡零點(diǎn)”在哪里？為了回答這個(gè)問(wèn)題，我們必須走進(jìn)復(fù)數(shù)世界。

數(shù)字系統(tǒng)，維基百科

一個(gè)復(fù)數(shù)就是復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)，為了說(shuō)明復(fù)平面，我對(duì)復(fù)數(shù)做一點(diǎn)分析，首先考慮我們之前討論過(guò)的無(wú)窮級(jí)數(shù)：

x在-1到1之間

這適用于復(fù)數(shù)嗎？是的（在某些條件下）。例如，假設(shè)x是（1/2）i，那么級(jí)數(shù)收斂。事實(shí)上：

左邊等于0.8+0.4i，右邊可以利用i^2=-1來(lái)化簡(jiǎn)，得到：

把右邊表達(dá)式畫在復(fù)平面上：

從實(shí)軸上的1開始，加上1/2個(gè)虛單位（向上移動(dòng)0.5），再減去1/4（向左移動(dòng)1/4）……最后得到一個(gè)螺旋圖，落在復(fù)數(shù)點(diǎn)0.8+0.4i處。

回到非平凡零點(diǎn)，我要告訴你的是，黎曼zeta函數(shù)的非平凡零點(diǎn)都是復(fù)數(shù)！在1900年，關(guān)于非平凡零的位置，在數(shù)學(xué)上已經(jīng)確定了如下事情：

它們有無(wú)窮多個(gè)，實(shí)部在0到1之間。

陰影部分被稱為臨界帶，黎曼給出了更強(qiáng)的假設(shè)，就是黎曼猜想——非平凡零點(diǎn)實(shí)部都落在1/2上（臨界線上）。

零以共軛對(duì)的形式出現(xiàn)。也就是說(shuō)，如果a + bi是一個(gè)零點(diǎn)，那么a - bi也是一個(gè)零點(diǎn)。
零點(diǎn)的實(shí)部關(guān)于臨界線對(duì)稱。

把黎曼zeta函數(shù)定義域推廣到復(fù)數(shù)范圍?

我們知道，復(fù)數(shù)是普通實(shí)數(shù)的一個(gè)非常簡(jiǎn)單的擴(kuò)展，遵循所有的算術(shù)規(guī)則，只是增加了i^2=-1。自然而然地，我們可以用復(fù)數(shù)替代實(shí)數(shù)，把函數(shù)的定義域擴(kuò)展到整個(gè)復(fù)數(shù)范圍。如平方函數(shù)很容易擴(kuò)展：

指數(shù)函數(shù)不那么容易。

指數(shù)函數(shù)的擴(kuò)展需要運(yùn)用歐拉恒等式：

具體如何定義e的復(fù)數(shù)次冪呢？下面等式顯示了e^z的實(shí)際定義（對(duì)于任意數(shù)z，實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)）：

如果z=πi，那么z^2=-π^2，z^3=-π^3i，z^4=π^4，z^5=π^5i，等等。把這些帶入上式得到：

右邊收斂到-1。

同樣，對(duì)數(shù)函數(shù)也可以擴(kuò)展到復(fù)數(shù)。它只是指數(shù)函數(shù)的逆函數(shù)。

那么，我們可以擴(kuò)展黎曼zeta函數(shù)的定義域到復(fù)數(shù)范圍嗎？

當(dāng)然可以。我告訴你，對(duì)于復(fù)數(shù)，你可以做任何事情。

由于zeta函數(shù)公式仍然是一個(gè)無(wú)限級(jí)數(shù)求和，因此仍然存在收斂性問(wèn)題。對(duì)于任何實(shí)部大于1的復(fù)數(shù)，和是收斂的，數(shù)學(xué)上稱為：

在半平面上Re(s) > 1

其中Re（s）表示s的實(shí)部。

然而，就像對(duì)于實(shí)變量的zeta函數(shù)一樣，數(shù)學(xué)技巧可以將zeta函數(shù)的定義域擴(kuò)展到不收斂的區(qū)域。應(yīng)用這些技巧之后，就得到了完整的zeta函數(shù)，它的定義域是所有的復(fù)數(shù)，只有一個(gè)例外，在s = 1處。

如果有一些視覺輔助工具，復(fù)函數(shù)會(huì)更容易掌握。那么，如何將復(fù)函數(shù)可視化呢？我們來(lái)看看最簡(jiǎn)單的非平凡復(fù)函數(shù)，平方函數(shù)。如何畫出它的函數(shù)圖？如果自變量是實(shí)數(shù)，那么函數(shù)圖很容易畫出來(lái)：

但這不能用于復(fù)函數(shù)，復(fù)函數(shù)變量需要用二維平面來(lái)表示。函數(shù)值需要另一個(gè)二維平面。為了得到一個(gè)圖，需要四維空間來(lái)畫它。這顯然是不現(xiàn)實(shí)的。

但我們可以換個(gè)方式。記住函數(shù)的基本概念，它將一個(gè)數(shù)字（參數(shù)）轉(zhuǎn)換為另一個(gè)數(shù)字（函數(shù)值）。復(fù)數(shù)是復(fù)平面上的一點(diǎn)，函數(shù)值是另一個(gè)點(diǎn)。一個(gè)復(fù)函數(shù)把定義域內(nèi)的所有點(diǎn)都“映射”到其他點(diǎn)上。你可以選擇一些點(diǎn)，然后看看它們的走向。

例如，復(fù)平面上一些構(gòu)成正方形邊的數(shù)字a、b、c、d，它們的值分別是?0.2 + 1.2i， 0.8 + 1.2i，0.8 + 2.2i，和 ?0.2 + 2.2i。把這些數(shù)代數(shù)平方函數(shù)會(huì)怎樣？

?0.2 + 1.2i的平方是?1.4 ? 0.48i，也就是a的函數(shù)值；將b、c和d平方可以得到其他角的值——我已經(jīng)將它們標(biāo)記為A、B、C和D。如果你對(duì)沿正方形邊緣的所有點(diǎn)重復(fù)這個(gè)步驟，以及組成網(wǎng)格內(nèi)部的所有點(diǎn)，你就會(huì)得到如上圖所示的扭曲的正方形。

把復(fù)平面想象成一塊可以無(wú)限拉伸的橡膠片，然后問(wèn)函數(shù)是如何作用這個(gè)橡膠片的，這對(duì)理解復(fù)函數(shù)很有幫助。從上圖可以看出，平方函數(shù)將橡膠片圍繞（0,0）點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)并拉伸了。

黎曼有非常強(qiáng)大的視覺想象力，構(gòu)想出了這個(gè)“東西”，取整個(gè)復(fù)平面。沿負(fù)實(shí)軸切割，到原點(diǎn)為止。

黎曼看來(lái)有著非常強(qiáng)的直觀想象力，他做出了下面的構(gòu)想。取整個(gè)復(fù)平面。沿負(fù)實(shí)（西）軸切割，到原點(diǎn)為止?，F(xiàn)在抓住切口的上半部，以原點(diǎn)為中心，把它按逆時(shí)針?lè)较蚶?。拉著它恰好轉(zhuǎn)過(guò) 360 度。此時(shí)它在被拉伸了的橡膠片的上方，而切口的另一側(cè)在這張膜的下面。讓它穿過(guò)橡膠片（你必須想象，復(fù)平面不僅可以無(wú)限延伸，而且是用一種能穿過(guò)其自身的神秘物質(zhì)制造的），并且把切口重新彌合。你腦海中的圖景現(xiàn)在看起來(lái)有點(diǎn)像：

這就是平方函數(shù)作用于復(fù)平面的結(jié)果。

這不是一個(gè)空想的或無(wú)關(guān)緊要的操作。由此出發(fā)，黎曼發(fā)展出了一個(gè)完整的理論，稱為黎曼曲面理論。它包含了一些強(qiáng)有力的結(jié)論，并且讓人們深刻地了解了復(fù)變函數(shù)的特性。它還把函數(shù)論與代數(shù)學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)聯(lián)系起來(lái)，這是 20世紀(jì)數(shù)學(xué)的兩個(gè)關(guān)鍵性發(fā)展領(lǐng)域。事實(shí)上，它是黎曼大膽無(wú)畏而不斷創(chuàng)新的想象力的一個(gè)典型產(chǎn)物—?dú)v史上最偉大的頭腦之一的一個(gè)成果。

理解復(fù)變函數(shù)?

自變量螞蟻

現(xiàn)在，把復(fù)變函數(shù)的自變量看作一只“無(wú)窮小”的螞蟻。如上圖所示，這只小螞蟻用它前面的一只“手”抓著一個(gè)“小儀器”，這個(gè)小儀器有三個(gè)顯示屏：

因此，這只小螞蟻始終精確地知道它在哪里，同時(shí)對(duì)于任何給定的函數(shù)，它知道它所站的那個(gè)點(diǎn)會(huì)被函數(shù)映射到哪里。

現(xiàn)在我們讓這個(gè)小儀器顯示zeta函數(shù)，讓這只自變量螞蟻在復(fù)平面上自由漫步。當(dāng)“函數(shù)值”顯示零的時(shí)候，它就正好站在zeta函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)（“自變量”）上。這只小螞蟻可以在它所到之處做上記號(hào)。于是我們就能知道zeta函數(shù)的那些零點(diǎn)在哪里了。

實(shí)際上，我將要讓這只自變量螞蟻所做的工作，比上面所說(shuō)的略多一點(diǎn)。我要讓它給所有那些得出純實(shí)數(shù)或純虛數(shù)函數(shù)值的自變量作上記號(hào)。一個(gè)自變量，如果它的函數(shù)值是2或-2或2i或-2i，就要做上記號(hào)；如果它的函數(shù)值是3-7i，就不做記號(hào)。換一種方式說(shuō)，被ζ 函數(shù)映射到實(shí)軸或虛軸的所有那些點(diǎn)都要做上記號(hào)。當(dāng)然，因?yàn)閷?shí)軸和虛軸在原點(diǎn)相交，得出這兩條軸交點(diǎn)的自變量，就將是函數(shù)的零點(diǎn)。用這個(gè)方法，我可以得到ζ函數(shù)的某種圖像。

自變量平面，顯示了被zeta函數(shù)“映射”到實(shí)軸和虛軸上的點(diǎn)。

上圖顯示了這只小螞蟻探索旅行的結(jié)果。其中的直線顯示了實(shí)軸、虛軸及臨界帶。而所有的曲線都是由那些能被映射到實(shí)軸或虛軸上的點(diǎn)組成的。

試圖想象出zea函數(shù)對(duì)復(fù)平面的作用結(jié)果是一項(xiàng)非常費(fèi)力的智力操練。上面分析了，平方函數(shù)將這張平面在它自身上方拉伸了一圈，形成了雙層膜曲面，而zeta 函數(shù)則無(wú)窮多次地做了同樣的事情，產(chǎn)生了一個(gè)有無(wú)窮多層膜的曲面。如果你發(fā)現(xiàn)這很難被形象化，不要覺得很沮喪。你需要經(jīng)過(guò)幾年的長(zhǎng)期實(shí)踐才能獲得對(duì)這些函數(shù)的一個(gè)直觀感受。就像我說(shuō)過(guò)的，我這里要用一種比較簡(jiǎn)單的方法。

現(xiàn)在我要讓它沿著一些那樣的曲線漫步。假設(shè)它從所站的點(diǎn)-2處開始起步。因?yàn)檫@是zeta函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)（平凡零點(diǎn)），函數(shù)值"顯示屏的讀數(shù)是0?，F(xiàn)在他沿著實(shí)軸開始向西走。函數(shù)值從零開始緩慢爬升。

它向西剛走過(guò)點(diǎn)- 2.717262829 時(shí)，函數(shù)值到達(dá)數(shù)0.009159890。然后它開始向著零跌落。函數(shù)值將一直下降，在自變量為-4時(shí)到達(dá)零。

另一種表現(xiàn)一個(gè)函數(shù)的方式是采用函數(shù)值平面的"來(lái)源"圖。前面討論的是被映射到令人關(guān)注的值（在那些例子中是純實(shí)數(shù)和純虛數(shù)）的自變量，與此不同的是，我可以給出一張函數(shù)值平面的圖，顯示來(lái)源于令人關(guān)注的自變量的那些函數(shù)值點(diǎn)。

讓我們想象那個(gè)自變量螞蟻有一個(gè)生活在函數(shù)值平面上的孿生兄弟。這個(gè)兄弟當(dāng)然就是函數(shù)值螞蟻。讓我們進(jìn)一步假設(shè)，這兩兄弟保持著即時(shí)的無(wú)線電聯(lián)系；而且它們用這個(gè)方法使它們的運(yùn)動(dòng)保持同步，以保證在任何瞬間，無(wú)論自變量螞蟻正站在哪個(gè)自變量上，函數(shù)值螞蟻就正站在函數(shù)值平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)值上。例如，如果自變量螞蟻正拿著它那設(shè)定在zeta函數(shù)上的小儀器在1/2+14.134725i上，那么函數(shù)值螞蟻就站在它的平面即函數(shù)值平面的0上。

現(xiàn)在假設(shè)，自變量螞蟻不再沿著自變量平面上那些奇特的環(huán)線和螺旋線走（它們使得函數(shù)值螞蟻只能乏味地在實(shí)軸和虛軸上來(lái)回行走），而是從自變量1/2出發(fā)，沿著臨界線向正北方筆直走上去。那么函數(shù)值螞蟻將沿著什么路線前進(jìn)呢？

函數(shù)值平面，一張非常經(jīng)典的圖，顯示來(lái)自臨界線上的那些點(diǎn)的函數(shù)值。

它的出發(fā)點(diǎn)是zeta（1/2），值是-1.4603545088095……。然后它在原點(diǎn)下方按逆時(shí)針?lè)较蜃叱鲆粭l類似半圓的弧線，接著在1附近拐彎并按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)圈。它向原點(diǎn)走去并經(jīng)過(guò)了它（那是第一個(gè)零點(diǎn)——自變量螞蟻正好經(jīng)過(guò)1/2+14.14.134725i）。然后它繼續(xù)按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)圈，并不時(shí)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)——每當(dāng)它那位在自變量平面上的孿生兄弟踏上了zeta函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)。當(dāng)自變量螞蟻到達(dá)1/2+35i時(shí)，我停止了函數(shù)值螞蟻的漫步。到這時(shí)為止，這條曲線五次經(jīng)過(guò)了零點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于圖上的五個(gè)非平凡零點(diǎn)。注意，臨界線上的那些點(diǎn)有一種強(qiáng)烈的傾向，它們要映射到帶有正實(shí)部的點(diǎn)上去。

再說(shuō)一遍，函數(shù)值平面不像自變量平面那樣是“映射”圖；它是"來(lái)源"圖，顯示了zeta函數(shù)作用于臨界線的結(jié)果。函數(shù)值平面圖中的這條不斷轉(zhuǎn)著圈子的曲線就是zeta（臨界線），即來(lái)源于臨界線上點(diǎn)的所有函數(shù)值點(diǎn)的集合。

一般而言，自變量平面的"映射"圖對(duì)于理解一個(gè)函數(shù)的廣泛性質(zhì)（即它的零點(diǎn)在哪里）來(lái)說(shuō)是更好的工具。而函數(shù)值平面的"來(lái)源"圖對(duì)于研究這個(gè)函數(shù)的特定方面或奇妙特性來(lái)說(shuō)會(huì)更有用。"

黎曼猜想宣稱，zeta函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都位于臨界線上——實(shí)部是1/2的復(fù)數(shù)所構(gòu)成的直線。目前知道的所有非平凡零點(diǎn)確實(shí)都位于那條直線上。當(dāng)然，那并不能證明什么。zeta函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)非平凡零點(diǎn)，沒(méi)有一張圖可以把它們?nèi)急硎境鰜?lái)。我們?cè)鯓硬拍苤赖谝蝗f(wàn)億個(gè)，或者第一億億億個(gè)，或者第一億億億億億億億億億個(gè)是位于臨界線上的呢？我們不知道，通過(guò)畫圖無(wú)論如何也無(wú)法知道。它與素?cái)?shù)到底又有什么關(guān)系呢……

用最簡(jiǎn)單的方式解釋黎曼猜想（一），理解素?cái)?shù)定理

用最簡(jiǎn)單的方式解釋黎曼猜想（二），黎曼ζ函數(shù)，素?cái)?shù)之門的金鑰匙

用最簡(jiǎn)單的方式解釋黎曼猜想（三），黎曼ζ函數(shù)的解析延拓與零點(diǎn)