趙君卿序夫高而大者莫大于天，厚而廣者莫廣于地。休恢洪而廓落，形修廣而幽清。可以玄象課其進(jìn)退，然而宏遠(yuǎn)不可指掌也；可以晷儀驗(yàn)其長短，然其巨闊不可度量也。雖窮神知化不能極其妙，探賾索隱不能盡其微。是以詭異之說出，則兩端之理生，遂有渾天、蓋天（1）兼而并之，故能彌綸天地之道，有以見天地之賾。則渾天有《靈憲》（2）之文，蓋天有《周髀》之法。累代存之，官司是掌。所以欽若昊天，恭授民時(shí)。（3）爽以暗蔽，才學(xué)淺昧。鄰高山之仰止，慕景行之軌轍。負(fù)薪余日，聊觀《周髀》，其旨約而遠(yuǎn)，其言曲而中。將恐廢替，濡滯不通，使談天者無所取則。輒依經(jīng)為圖，誠冀頹毀重仞之墻，披露堂室之奧，庶博物君子，時(shí)迥思焉。 卷上（1）昔者周公問于商高（4）曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請問古者包犧立周天歷度（5），夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請問數(shù)安從出？”商高曰：“數(shù)之法出于圓方。圓出于方，方出于矩（6），矩出于九九八十一（7）。故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方其外，半之一矩。環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩（8）。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也（9）?！? 勾股圓方圖（10） 周公曰：“大哉言數(shù)！請問用矩之道？”商高曰：“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠(yuǎn)，環(huán)矩以為圓，合矩以為方。（11）方屬地，圓屬天，天圓地方。（12）方數(shù)為典，以方出圓。（13）笠以寫天，天青黑，地黃赤。天數(shù)之為笠也，青黑為表，丹黃為里，以象天地之位。（14）是故知地者智，知天者圣。智出于勾，勾出于矩。夫矩之于數(shù)，其裁制萬物（15），唯所為耳?！敝芄唬骸吧圃眨 ? （2）昔者榮方問于陳子曰：“今者竊聞夫子之道，知日之高大，光之所照，一日所行，遠(yuǎn)近之?dāng)?shù)，人所望見，四極之窮，列星之宿，天地之廣袤，夫子之道皆能知之，其信有之乎？”陳子曰：“然?！睒s方曰：“方雖不省，愿夫子幸而說之——今若方者可教此道邪？”陳子曰：“然。此皆算術(shù)之所及。子之于算，足以知此矣。若誠累思之。” 于是榮方歸而思之，數(shù)日不能得。復(fù)見陳子曰：“方思之不能得，敢請問之?！标愖釉唬骸八贾词?。此亦望遠(yuǎn)起高之術(shù)，而子不能得，則子之于數(shù)，未能通類，是智有所不及，而神有所窮。夫道術(shù)，言約而用博者，智類之明。問一類而以萬事達(dá)者，謂之知道。今子所學(xué)，算數(shù)之術(shù)，是用智矣，而尚有所難，是子之智類單。夫道術(shù)所以難通者，既學(xué)矣，患其不博；既博矣，患其不習(xí)；既習(xí)矣，患其不能知。故同術(shù)相學(xué)，同事相觀，此列士之愚智，賢不肖之所分。是故能類以合類，此賢者業(yè)精習(xí)知之質(zhì)也。夫?qū)W同業(yè)而不能入神者，此不肖無智而業(yè)不能精習(xí)，是故算不能精習(xí)。吾豈以道隱子哉？固復(fù)熟思之！” 榮方復(fù)歸思之，數(shù)日不能得。復(fù)見陳子曰：“方思之以精熟矣，智有所不及，而神有所窮，知不能得，愿終請說?！标愖釉唬骸皬?fù)坐，吾語汝?！庇谑菢s方復(fù)坐而請。陳子說之曰：（16） （3）夏至南萬六千里，冬至南十三萬五千里，日中立竿無影。此一者天道之?dāng)?shù)。周髀（17）長八尺，夏至之日晷（18）一尺六寸。髀者，股也，正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸；正北千里，勾一尺七寸。日益南，晷益長（19）。 候勾六尺（20），即取竹，空徑一寸，長八尺，捕影而視之，空正掩日，而日應(yīng)空。由此觀之，率八十寸而得徑一寸。（21） 從髀至日下六萬里而髀無影。從此以上至日則八萬里。若求邪（22）至日者，以日下為勾，日高為股，勾、股各自乘，并而開方除之，得邪至日，從髀所旁（23）至日所十萬里。以率率之，八十里得徑一里，十萬里得徑千二百五十里。故曰，日徑千二百五十里。 日高圖（24） （4）法曰：周髀長八尺，勾之損益寸千里。故曰極者，天廣袤也，今立表高八尺，以望極，其勾一丈三寸，由此觀之，則從周北十萬三千里而至極下。（25） 榮方曰：“周髀者何？” 陳子曰：古時(shí)天子治周，此數(shù)望之從周，故曰周髀。髀者，表也。 日夏至南萬六千里，日冬至南十三萬五千里，日中無影。（26）以此觀之，從極南至夏至之日中十一萬九千里。北至其夜半亦然。凡徑二十三萬八千里，此夏至日道之徑也，其周七十一萬四千里（27）。從夏至之日中至冬至之日中，十一萬九千里，北至極下亦然。則從極南至冬至之日中二十三萬八千里，從極北至其夜半亦然。凡徑四十七萬六千里，此冬至日道徑也，其周百四十二萬八千里。從春秋分之日中北至極下十七萬八千五百里，從極下北至其夜半亦然，凡徑三十五萬七千里，周一百七萬一千里。故曰，月之道常緣宿，日道亦與宿正。（28）南至夏至之日中，北至冬至之夜半；南至冬至之日中，北至夏至之夜半，亦徑三十五萬七千里，周一百七萬一千里。（29） 春分之日夜分以至秋分之日夜分，極下常有日光；秋分之日夜分以至春分之日夜分，極下常無日光。（30）故春秋分之日夜分之時(shí)，日光所照適至極，陰陽之分等也。冬至夏至者，日道發(fā)斂之所至，晝夜長短之所極。春秋分者，陰陽之修，晝夜之象——晝者陽，夜者陰；春分以至秋分，晝之象，秋分以至春分，夜之象。故春秋分之日中光之所照北至極下，夜半日光之所照亦南至極，此日夜分之時(shí)也。故曰，日照四旁各十六萬七千里。（31） 人所望見，遠(yuǎn)近宜如日光所照。從周所望見北過極六萬四千里，南過冬至之日中三萬二千里。夏至之日中，光南過冬至之日中四萬八千里，南過人所望見萬六千里，北過周十五萬一千里，北過極四萬八千里。冬至之夜半日光南不至人目所見七千里，不至極下七萬一千里。夏至之日中與夜半日光九萬六千里過極相接，冬至之日中與夜半日光不相及十四萬二千里，不至極下七萬一千里。（32） 夏至之日正東西望，直周東西日下至周五萬九千五百九十八里半。（33）冬至之日正東西方不見日，（34）以算求之，日下至周二十一萬四千五百五十七里半。凡此數(shù)者，日道之發(fā)斂。（35）冬至、夏至，觀律之?dāng)?shù)，聽鐘之音。冬至?xí)儯闹烈?，差?shù)所及，日光所遝觀之，四極徑八十一萬里，周二百四十三萬里。（36） 從周南至日照處三十萬二千里，周北至日照處五十萬八千里，東西各三十九萬一千六百八十三里半。周在天中南十萬三千里，故東西短中徑二萬六千六百三十二里有奇。（37） （5）此方圓之法。萬物周事而圓方用焉，大匠造制而規(guī)矩設(shè)焉?；驓Х蕉鵀閳A，或破圓而為方。方中為圓者謂之圓方，圓中為方者謂之方圓也。（38） （6）七衡圖（39） 凡為此圖，以丈為尺，以尺為寸，以寸為分，分一千里。凡用繒方八尺一寸。今用繒方四尺五分，分為二千里。 呂氏曰：凡四海之內(nèi)，東西二萬八千里，南北二萬六千里。（40） 凡為日月運(yùn)行之圓周，七衡周而六間，以當(dāng)六月節(jié)。（41）六月為百八十二日八分日之五。（42）故日夏至在東井極內(nèi)衡，日冬至在牽牛極外衡也。衡復(fù)更終冬至。故曰，一歲三百六十五日四分日之一，歲一內(nèi)極，一外極。三十日十六分日之七，月一外極，一內(nèi)極。（43）是故一衡之間萬九千八百三十三里三分里之一，即為百步。（44）欲知次衡徑，倍而增內(nèi)衡之徑；二之以增內(nèi)衡徑，得三衡徑。次衡放（45）此。 內(nèi)一衡徑二十三萬八千里，周七十一萬四千里。分為三百六十五度四分度之一，度得一千九百五十四里二百四十七步千四百六十一分步之九百三十三。 次二衡徑二十七萬七千六百六十六里二百步，周八十三萬三千里。分里為度，度得二千二百八十里百八十八步千四百六十一分步之千三百三十二。 次三衡徑三十一萬七千三百三十三里一百步，周九十五萬二千里。分為度，度得二千六百六里百三十步千四百六十一分步之二百七十。 次四衡徑三十五萬七千里，周一百七萬一千里。分為度，度得二千九百三十二里七十一步千四百六十一分步之六百六十九。 次五衡徑三十九萬六千六百六十六里二百步，周一百一十九萬里。分為度，度得三千二百五十八里十二步千四百六十一分步之千六十八。 次六衡徑四十三萬六千三百三十三里一百步，周一百三十萬九千里。分為度，度得三千五百八十三里二百五十四步千四百六十一分步之六。 次七衡徑四十七萬六千里，周百四十二萬八千里。分為度，度得三千九百九里一百九十五步千四百六十一分步之四百五。 其次，日冬至所照過北衡十六萬七千里，為徑八十一萬里，周二百四十三萬里。分為三百六十五度四分度之一，度得六千六百五十二里二百九十三步千四百六十一分步之三百二十七。 過此而往者，未之或知。或知者，或疑其可知，或疑其難知。（46）此言上圣不學(xué)而知之。 故冬至日晷丈三尺五寸，夏至日晷尺六寸。冬至日晷長，夏至日晷短，日晷損益，寸差千里。故冬至、夏至之日南北游十一萬九千里，四極徑八十一萬里，周二百四十三萬里。分為度，度得六千六百五十二里二百九十三步千四百六十一分步之三百二十七，此度之相去也。其南北游，日六百五十一里一百八十二步一千四百六十一分步之七百九十八。（47）術(shù)曰：置十一萬九千里為實(shí)，以半歲一百八十二日八分日之五為法，得九十五萬二千為實(shí)，所得一千四百六十一為法，除之，實(shí)如法得一里；不滿法者，三之，如法得百步；不滿法者，十之，如法得十步；不滿法者，十之，如法得一步；不滿法者，以法命之。（48） 注釋（1）古代中國占統(tǒng)治地位的宇宙學(xué)說稱為“渾天說”，它同時(shí)又是一種行之有效的數(shù)理天文學(xué)體系。其綱領(lǐng)見于《開元占經(jīng)》卷一引《張衡渾儀注》：“渾天如雞子。天體圓如彈丸，地如雞子中黃，孤居于天內(nèi)，天大而地小。天表里有水，天之包地猶殼之裹黃。天地各乘氣而立，載水而浮。周天三百六十五度又四分度之一，……其兩端謂之南北極。北極乃天之中也，在正北，出地上三十六度。……天轉(zhuǎn)如車轂之運(yùn)也，周旋無端，其形渾渾，故曰渾天?！庇謸P(yáng)雄《法言·重黎》說：“或問渾天，曰：落下閎營之，鮮于妄人度之，耿中丞象之?！边@是現(xiàn)今所知古籍中最早出現(xiàn)“渾天”名稱者。渾天說之所以在古代中國取得統(tǒng)治地位，除了較符合視覺直觀之外，主要是因?yàn)樗軌蜻M(jìn)行有效的數(shù)理天文學(xué)計(jì)算并與實(shí)際觀測吻合，這一點(diǎn)是古代中國任何其他宇宙學(xué)說無法望其項(xiàng)背的?！吧w天說”則就是《周髀算經(jīng)》下文中詳述的學(xué)說。 （2）東漢張衡作，原文保存在《后漢書》卷二十天文志上劉昭注文中。這很可能只是一部已佚著作的開頭部分。 （3）《尚書·堯典》：“歷象日月星辰，敬授人時(shí)?！苯袢硕鄬⒋死斫鉃椤鞍才呸r(nóng)事”，其實(shí)是完全錯(cuò)誤的。這句話的原意是指安排重大政治事務(wù)日程表，參見江曉原：《天學(xué)真原》，遼寧教育出版社（1991），145—151頁。 （4）周公、商高，以及下文的榮方、陳子，皆假托的古代傳說中人物，未必真有其人其事。這是戰(zhàn)國秦漢間著作的常用手法。 （5）《易·系辭下》：“古者包犧氏之王天下也，仰則觀象于天，俯則觀法于地?！贝藶楣糯餍械膫髡f。包犧又常寫作伏羲、庖犧，為傳說中三皇之一，相傳八卦也是他所創(chuàng)立。 （6）矩，見圖1，直到今天，中國的木工仍廣泛使用這一古老工具。在古代藝術(shù)形象中，伏羲手中常持此物，比如山東嘉祥東漢武梁祠畫像石、新疆吐魯番阿斯塔那唐墓等處的伏羲女媧交尾圖中，都是如此。矩的兩條直角邊，短的稱為勾，長的稱為股。  圖1 矩 （7）意指矩中蘊(yùn)含著乘法之理。故趙爽注稱：“九九者，乘除之原也?！庇删氐膬蓷l直角邊所構(gòu)成的矩形面積，即此兩邊之長相乘而得的積。 （8）此處所謂“積矩”，指勾、股平方之和（32＋42＝25）。“兩矩共長”不能理解為兩直角三角形周長之和。 （9）夸張的說法。意指禹憑借勾股之術(shù)設(shè)計(jì)、指導(dǎo)治水工程，而使天下大治。故趙爽注稱：“禹治洪水，決流江河，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災(zāi)，釋昏墊之厄，使東注于海而無浸逆，乃勾股之所由生也?！比绾吻擅罾镁剡@一工具以勾股術(shù)進(jìn)行工程測算，下文商高陳述“用矩之道”時(shí)即論及。 （10）此五字是否為《周髀算經(jīng)》原文，現(xiàn)已不可確知——傳世各種版本中的圖很可能都是趙爽作注時(shí)所增繪。錢寶琮又據(jù)趙注重繪，有八幅之多。但實(shí)際上只需用第一幅即可清楚說明趙爽在其注文中對勾股定理所作的證明。如圖2，設(shè)勾、股、弦之長依次為a、b、c，則整個(gè)大正方形面積為c2，中間小正方形面積為（b－a）2，四個(gè)直角三角形面積之和為2ab，于是有：c2＝（b－a）2＋2ab＝a2＋b2。 對于此事，趙爽、甄鸞、李淳風(fēng)等人作了大量附注和討論，繁瑣枝蔓，意義不大。但此處必須強(qiáng)調(diào)指出的是，上述趙爽的證明對任何比例的直角三角形都普遍適用，而《周髀算經(jīng)》原書中則始終只停留在勾三、股四、弦五這一特例的表述上。  圖2 趙爽對勾股定理的普適證明（引自錢寶琮校點(diǎn)《算經(jīng)十書》頁一五） （11）“平矩以正繩”指利用矩的直角邊以確定水平與垂直?！百染亍薄ⅰ案簿亍?、“臥矩”三句指利用相似三角形原理借助于矩以測高、測深及測遠(yuǎn)。“環(huán)矩”句指利用矩作為圓規(guī)以作圓?！昂暇亍本渲竷删叵嗪峡蓸?gòu)成方形。關(guān)于這些用矩之道的圖解，可參看陳遵媯《中國天文學(xué)史》第一冊，118—119頁。 （12）此處所說的“方”、“圓”，皆為古人抽象的哲學(xué)概念，不宜理解為天地的實(shí)際形狀。故趙爽注云：“天動(dòng)為圓，其數(shù)奇；地靜為方，其數(shù)偶，此配陰陽之義，非實(shí)天地之體也?！? （13）前人對這兩句話頗多引用和討論，但多流于概念之間的比附轉(zhuǎn)換。其實(shí)返璞歸真，則仍不出將矩作圓規(guī)可以畫出圓這一簡單事實(shí)而已。 （14）如將這幾句話中的“天”都作相同理解，就很難講通。但古人有時(shí)亦用“天”泛指整個(gè)宇宙，若將“笠以寫天”和“天數(shù)之為笠也”兩句中的“天”作“宇宙”解，文意即可通暢。 （15）這里“裁制”宜作“描述、掌握并加以改造”講。 （16）從形式上說，自此以下的所有論述皆為陳子所作。為便于據(jù)文義進(jìn)行分段以清眉目，不再標(biāo)點(diǎn)作直接引語形式。 （17）周髀，為垂直立于地上的竿狀物，亦稱為表。其得名之故以及各種用途可見下文。 （18）晷，指八尺之表在日光下投于地面的影長。趙爽注：“晷，影也?！? （19）欲理解上面這段論述，可借助于圖3及下文的圖6。由圖3可知，在天地為平行平面的假設(shè)下，并取天高H＝80000里、表高h(yuǎn)＝8尺這組參數(shù)時(shí)，“日影千里差一寸”的結(jié)論確實(shí)可以得到證明?！罢锨Ю铩眱删?，是指同一天（故日位置固定不動(dòng)）在不同地點(diǎn)（自周地向南千里和向北千里）測日影的情形?！叭找婺?，晷益長”則是指同在周地而不同季節(jié)（故日南北遠(yuǎn)近不同）測日影的情形。  S：太陽 B：表（周髀） H：天地距離＝80000里 h：表高＝8尺 l：晷影之長 L：測晷影處至日下無影處之距離 圖3 日影千里差一寸示意圖 由圖中相似三角形可知： （20）若已掌握普適的勾股定理，則日影（勾）為任何長度時(shí)皆可施行下文的計(jì)算；而此處非要“候勾六尺”不可，足見仍只掌握了勾三、股四、弦五的特例，故需湊成其倍數(shù)以便套用。 （21）參見圖4。由圖中相似三角形可知，太陽至觀測者距離與太陽直徑之比等于竹筒長度與竹筒孔徑之比，即：  ds：太陽直徑 Rs：太陽至觀測者距離 d：竹孔直徑 t：竹筒長度 圖4 日遠(yuǎn)近與日徑比例之圖（引自程貞一、席澤宗《陳子模型和早期對于太陽的測量》）  下文由此求得ds之值。 （22）邪，此處音、義俱同“斜”。 （23）旁，趙爽注：“旁，此古邪字?！睋?jù)前一“邪”字的用法，完全可通。錢寶琮據(jù)顧觀光之說，謂“旁”及“邪”俱當(dāng)作“袤”，似乎反而使問題復(fù)雜化了。 （24）日高圖原為趙爽作注時(shí)補(bǔ)繪，錢寶琮謂傳世各本皆誤，又據(jù)趙注重繪。今重新繪制為圖5。由圖5可知，在天地為平行平面的基本假設(shè)之下，在同一時(shí)刻于相距為L的兩地用同高之表測得日影之長，確實(shí)可以推算出日高及日遠(yuǎn)之值：由圖中相似三角形可有：  G1、G2：表1與表2晷影之長 H：日高（天高） B1、B2：表1與表2 h：表高 S：日所在 L：兩表間距離 圖5 雙表同測日高日遠(yuǎn)圖 由于L之值為已知，且恰為L2與L1之差，于是可由上兩式解出H，即日高之值： H＝H′＋h＝Lh/（G2－G1）＋h 式中：G1、G2為兩地測得的晷影之長。由此當(dāng)然還可以解出兩表處至日下的距離L1與L2。這種測算方案在古代中國至遲可追溯到公元3世紀(jì)的劉徽，比如《海島算經(jīng)》（即劉徽附于《九章算術(shù)》之后的《重差》卷）第一題：“今有望海島，立兩表齊高三丈，……問島高及去表各幾何？”即與此性質(zhì)完全相同。需要注意的是，《周髀算經(jīng)》原文中并未明確陳述這一測算方案。不過，在圖5中可見，天高（即日高）八萬里之值與前述“日影千里差一寸”（即在圖5中令L＝1000里、G2－G1＝1寸）之說確實(shí)完全吻合。 （25）在圖3中令S為北極，并令l為一丈三寸，即得L為十萬三千里。 （26）以下所述宇宙數(shù)理模型，參見注譯者繪制的圖6及圖3。注意圖6所復(fù)原的模型與自李淳風(fēng)以來的傳統(tǒng)結(jié)論完全不同（論證詳見本書導(dǎo)讀第2節(jié)）。 （27）《周髀算經(jīng)》取圓周率π＝3，以下各處都是如此。  J：北極（天中） X：夏至日所在（日中時(shí)） F：春、秋分日所在（日中時(shí)） D：冬至日所在（日中時(shí)） Z：周地（洛邑）所在 r＝11500里，極下璇璣半徑 RX＝119000里，夏至日道半徑 RF＝ RD＝2RX＝238000里，冬至日道半徑 L＝103000里，周地距極遠(yuǎn)近 H＝80000里，天地間距離 h＝60000里，極下璇璣之高 圖6 《周髀算經(jīng)》宇宙模型半剖面示意圖 （28）《周髀算經(jīng)》認(rèn)為二十八宿諸距星系沿黃道排列，故趙爽在此注稱：“內(nèi)衡之南，外衡之北，圓而成規(guī)，以為黃道，二十八宿列焉?！倍怂摅w系起源時(shí)究竟是以黃道為準(zhǔn)還是以赤道為準(zhǔn)，一直是懸而未決的問題，《周髀算經(jīng)》在這里提供了一個(gè)極有價(jià)值的線索，但看來長期未被現(xiàn)代論者所注意。 （29）由圖6可見確實(shí)如此。但這一組徑、周數(shù)據(jù)沒有什么實(shí)際意義。 （30）這一點(diǎn)確屬觀測事實(shí)。北極半年為晝半年為夜的現(xiàn)象，在從古希臘一脈相傳至今的球面天文學(xué)中可以得到準(zhǔn)確描述，而《周髀算經(jīng)》在下文中也試圖在自己的宇宙模型中對該現(xiàn)象作出數(shù)學(xué)描述。 （31）“日照四旁各十六萬七千里”，意即日光輻射的最大半徑為167000里，這一數(shù)據(jù)的來源頗為費(fèi)解，按上文所述春秋分日道半徑，由圖6不難看出，“日照四旁”顯然應(yīng)等于春秋分日道半徑，即178500里，才能自洽合理（詳見導(dǎo)讀第3節(jié)論述）。 （32）這些數(shù)據(jù)很容易由圖6推算出來，但沒有什么實(shí)際的天文學(xué)意義。此外，《周髀算經(jīng)》在推算這些數(shù)據(jù)時(shí)，始終只在二維平面上進(jìn)行，而未考慮三維空間（人在地上而日在天上，天地間有八萬里的距離——即使站在《周髀算經(jīng)》的立場上，這一距離也是不應(yīng)忽略的）。 （33）參見圖7。圖7為圖6所繪宇宙模型的俯視圖。所謂“夏至之日……直周東西日下至周”即圖7中的ZSX線段之長，它顯然可以由圖求出：  線段JZ即圖6中的L，亦即周地距極的距離，為103000里。將此值及RX之值代入上式，即得ZSX?59598.5里。 （34）這是符合觀測事實(shí)的?！吨荀滤憬?jīng)》在自己的數(shù)理模型中居然也相當(dāng)成功地描述了這一事實(shí)：由圖7可求出線段ZSD之長：  代入數(shù)值，得ZSD?214557.5里，注意此值大于“日照四旁”的167000里，這意味著此時(shí)在周地正東西方向見不到太陽。 （35）注意《周髀算經(jīng)》在這里回避了春秋分的情況。觀測事實(shí)是：在 J：北極 RX：夏至日道半徑（119000里） Z：周地 RF：春、秋分日道半徑（＝ RD：冬至日道半徑（＝2RX） 圖7 周地分、至日東西望日圖 春、秋分這兩日，在周地（以及北半球的一切地方）所見，太陽恰從正東方升起，至正西方?jīng)]入地平線。如欲在圖6、圖7模型中準(zhǔn)確描述這一事實(shí)，應(yīng)有圖7中線段ZSF之長恰等于“日照四旁”，但實(shí)際上在圖7中為： 此值小于“日照四旁”的167000里，意味著太陽從周地的東北方升起而至西北方落下，這不符合觀測事實(shí)。 （36）由圖6，RD為238000里，再加上“日照四旁”的167000里，為405000里，即直徑等于810000里。趙爽注又稱：“八十一者，陽數(shù)之終，日之所極。”已有數(shù)字神秘主義色彩。 （37）因周地不在直徑為810000里之圓的圓心上，而是偏離103000里，故有 將此值以2乘之，其與810000里直徑之差?26633里，此即“東西短中徑二萬六千六百三十二里有奇”。 （38）這段空洞的議論顯得頗為突兀。在“此方圓之法”下還附有“圓方圖”及“方圓圖”各一，只是一個(gè)正方形的外接圓和內(nèi)接圓，沒有什么意義，亦無法確定是否趙爽所補(bǔ)繪，茲刪去以省枝蔓。 （39）七衡圖可確定系《周髀算經(jīng)》原本所有，但此后各家繪制，互有異同。茲選擇較完善的一種，見圖8。 圖8 七衡圖（引自陳遵媯《中國天文學(xué)史》131頁） 如《秘冊匯函》、《津逮秘書》、《四部叢刊》、《學(xué)津討原》、《槐廬叢書》等版本，在圖下有說明稱：“外方圈實(shí)青色，中俱黃色，內(nèi)北極小圈青色實(shí)實(shí)?！? 內(nèi)衡旁邊“春分”、“秋分”四字和外衡旁邊“春秋分日出”、“春秋分日入”十字，都應(yīng)寫在第四圈的旁邊。 （40）此為《呂氏春秋》中的語言，夾雜在此，當(dāng)屬衍文。 （41）二十四節(jié)氣中，十二為節(jié)氣，十二為中氣。因七衡六間描述的是半個(gè)回歸年中的情形（另半年對稱相同），故曰“以當(dāng)六月節(jié)”。趙爽注稱：“六月節(jié)者，謂中氣也?！倍笫绖t習(xí)慣將節(jié)氣稱為節(jié)。但這一區(qū)別在此處無關(guān)宏旨。 （42）取回歸年長度為 （43）仍據(jù)回歸年長 這個(gè)值將在《周髀算經(jīng)》下卷出現(xiàn)。 （44）一里為三百步，以下皆同。這里是說圖8中每衡之間的間隔距離為 （45）放，同仿。 （46）《周髀算經(jīng)》對它所構(gòu)想的宇宙最遠(yuǎn)邊界之外的情形表示存疑態(tài)度。對這一問題的思考在漢代仍有繼續(xù)，張衡的《靈憲》是與《周髀算經(jīng)》的蓋天說相對立的渾天說的經(jīng)典文獻(xiàn)，但其中對上述問題的態(tài)度卻與后者相似：“過此而往者，未之或知也。未之或知者，宇宙之謂也?！? （47）此值有太陽周年視運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，它可以與球面天文學(xué)中太陽的赤緯運(yùn)動(dòng)相對應(yīng)（數(shù)值及其準(zhǔn)確含義當(dāng)然相去甚遠(yuǎn)）。在《周髀算經(jīng)》的宇宙數(shù)理模型中，它表現(xiàn)為太陽在半年時(shí)間內(nèi)移過七衡（另半年對稱相反）的速度。由圖6及圖8可知，內(nèi)衡與最外衡半徑之差為119000里，故有： 《周髀算經(jīng)》至此完成了它的宇宙數(shù)理模型的構(gòu)建。 （48）此處《周髀算經(jīng)》以“日南北游”為例展示了它的頗為繁瑣的分?jǐn)?shù)運(yùn)算法：每日： 卷下（7）凡日月運(yùn)行四極之道。極下者，其地高人所居六萬里，滂沲四 天象蓋笠，地法覆槃。（52）天離地八萬里。冬至之日雖在外衡，常出極下地上二萬里。故日兆月，月光乃出，故成明月，（53）星辰乃得行列。是故秋分以往到冬至，三光之精微，以其道遠(yuǎn)，此天地陰陽之性自然也。 （8）欲知北極樞、璇璣四極，常以夏至夜半時(shí)北極南游所極，冬至夜半時(shí)北游所極，冬至日加酉之時(shí)西游所極，日加卯之時(shí)東游所極，此北極璇璣四游。正北極樞璇璣之中，正北天之中。正極之所游：冬至日加酉之時(shí)，立八尺表，以繩系表顛，（54）希望北極中大星，（55）引繩致地而識之；又到旦，明日加卯之時(shí)，復(fù)引繩希望之，首及繩致地而識其兩端，（56）相去二尺三寸，故東西極二萬三千里。（57）其兩端相去正東西，中折之以指表，正南北。加此時(shí)者，皆以漏揆度之。（58）此東西。南北之時(shí)，（59）其繩致地所識，去表丈三寸，故天之中去周十萬三千里。（60）何以知其南北極之時(shí)也？以冬至夜半北游所極，北過天中萬一千五百里；以夏至南游所極，不及天中萬一千五百里——此皆以繩系表顛而希望之，北極至地所識丈一尺四寸半，故去周十一萬四千五百里，過天中萬一千五百里；其南極至地所識九尺一寸半，故去周九萬一千五百里，不及天中萬一千五百里。（61）此璇璣四極南北過不及之法。東西南北之正勾。（62） （9）璇璣徑二萬三千里，周六萬九千里。此陽絕陰彰，故不生萬物。（63）其術(shù)曰：立正勾定之，以日始出，立表而識其晷；日入，復(fù)識其晷。晷之兩端相直者，正東西也；中折之指表者，正南北也。（64）極下不生萬物，何以知之？冬至之日去夏至十一萬九千里，萬物盡死；夏至之日去北極十一萬九千里，是以知極下不生萬物。（65）北極左右，夏有不釋之冰。（66） 春分、秋分，日在中衡。春分以往日益北，五萬九千五百里而夏至；秋分以往日益南，五萬九千五百里而冬至。（67）中衡去周七萬五千五百里。中衡左右冬有不死之草，夏長之類。（68）此陽彰陰微，故萬物不死，五谷一歲再熟。 凡北極之左右，物有朝生暮獲，冬生之類。（69） （10）立二十八宿，以周天歷度之法。 術(shù)曰：倍正南方（70），以正勾定之。（71）即平地徑二十一步，周六十三步，令其平矩以水正，（72）則位徑一百二十一尺七寸五分，因而三之，為三百六十五尺四分尺之一，以應(yīng)周天三百六十五度四分度之一。審定分之，無令有纖微。分度以定則正督經(jīng)緯，而四分之一合各九十一度十六分度之五。（73）于是圓定而正。 則立表正南北之中央，以繩系顛，希望牽牛中央星之中；（74）則復(fù)候須女之星光至者，如復(fù)以表繩希望須女先至（75），定中；即以一游儀（76）希望牽牛中央星，出中正表西幾何度，各如游儀所至之尺為度數(shù)。（77）游在于八尺之上，故知牽牛八度。（78）其次星放（79）此，以盡二十八宿度，則定矣。（80） 立周度者（81），各以其所先至游儀度上，（82）車輻引繩，就中央之正以為轂，則正矣。（83） （11）日所出入，亦以周定之。（84） 欲知日之出入，即以三百六十五度四分度之一而各置二十八宿。以東井夜半中，牽牛之初臨子之中。（85）東井出中正表西三十度十六分度之七，而臨未之中，牽牛初亦當(dāng)臨丑之中，于是天與地協(xié)。（86） 乃以置周二十八宿，置以定，乃復(fù)置周度之中央立正表。以冬至、夏至之日，以望日始出也，立一游儀于度上，以望中央表之晷，晷參正，則日所出之宿度；日入放此。（87） （12）牽牛去北極百一十五度千六百九十五里二十一步千四百六十一分步之八百一十九。（88）術(shù)曰：置外衡去北極樞二十三萬八千里，除璇璣萬一千五百里，其不除者二十二萬六千五百里以為實(shí)，以內(nèi)衡一度數(shù)千九百五十四里二百四十七步千四百六十一分步之九百三十三以為法，實(shí)如法得一度；不滿法，求里、步：約之合三百得一以為實(shí)，以千四百六十一分為法，得一里，不滿法者三之，如法得百步，不滿法者上十之，如法得十步，不滿法者又上十之，如法得一步，不滿法者，以法命之。（89）次放此。 婁與角去北極九十一度六百一十里二百六十四步千四百六十一分步之千二百九十六。術(shù)曰：置中衡去北極樞十七萬八千五百里以為實(shí)，以內(nèi)衡一度數(shù)為法，實(shí)如法得一度，不滿法者，求里、步，不滿法者，以法命之。（90） 東井去北極六十六度千四百八十一里一百五十五步千四百六十一分步之千二百四十五。術(shù)曰：置內(nèi)衡去北極樞十一萬九千里，加璇璣萬一千五百里，得十三萬五百里，以為實(shí)，以內(nèi)衡190度數(shù)為法，實(shí)如法得一度，不滿法者，求里、步，不滿法者，以法命之。（91） （13）凡八節(jié)二十四氣，（92）氣損益九寸九分六分分之一；冬至晷長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺六寸，問次節(jié)損益寸數(shù)長短各幾何？（93） 冬至晷長丈三尺五寸。 小寒丈二尺五寸，小分五。 大寒丈一尺五寸一分，小分四。 立春丈五寸二分，小分三。 雨水九尺五寸三分，小分二。 驚蟄八尺五寸四分，小分一。 春分七尺五寸五分。 清明六尺五寸四分，小分五。 谷雨五尺五寸六分，小分四。 立夏四尺五寸七分，小分三。 小滿三尺五寸八分，小分二。 芒種二尺五寸九分，小分一。 夏至一尺六寸。 小暑二尺五寸九分，小分一。 大暑三尺五寸八分，小分二。 立秋四尺五寸七分，小分三。 處暑五尺五寸六分，小分四。 白露六尺五寸五分，小分五。 秋分七尺五寸五分。 寒露八尺五寸四分，小分一。 霜降九尺五寸三分，小分二。 立冬丈五寸二分，小分三。 小雪丈一尺五寸一分，小分四。 大雪丈二尺五寸，小分五。 凡為八節(jié)二十四氣，氣損益九寸九分六分分之一，（94）冬至、夏至為損益之始。術(shù)曰：置冬至晷，以夏至晷減之，余為實(shí)，以十二為法，實(shí)如法得一寸，不滿法者十之，以法除之，得一分，不滿法者，以法命之。（95） （14）月后天十三度十九分度之七。（96）術(shù)曰：置章月二百三十五，以章歲十九除之，加日行一度，得十三度十九分度之七，此月一日行之?dāng)?shù)，即后天之度及分。（97） 小歲（98）月不及故舍三百五十四度萬七千八百六十分度之六千六百一十二。術(shù)曰：置小歲三百五十四日九百四十分日之三百四十八，（99）以月后天十三度十九分度之七乘之為實(shí)，又以度分母乘日分母為法，實(shí)如法，得積后天四千七百三十七度萬七千八百六十分度之六千六百一十二；（100）以周天三百六十五度萬七千八百六十分度之四千四百六十五除之，其不足者，三百五十四度萬七千八六十分度之六千六百一十二，此月不及故舍之分度數(shù)。（101）佗皆放此。（102） 大歲月不及故舍十八度萬七千八百六十分度之萬一千六百二十八。術(shù)曰：置大歲三百八十三日九百四十分日之八百四十七，以月后天十三度十九分度之七乘之為實(shí)，又以度分母乘日分母為法，實(shí)如法得積后天五千一百三十二度萬七千八百六十分度之二千六百九十八；以周天除之，其不足除者，此月不及故舍之分度數(shù)。（103） 經(jīng)歲月不及故舍百三十四度萬七千八百六十分度之萬一百五。術(shù)曰：置經(jīng)歲三百六十五日九百四十分日之二百三十五，以月后天十三度十九分度之七乘之為實(shí)，又以度分母乘日分母為法，實(shí)如法得積后天四千八百八十二度萬七千八百六十分度之萬四千五百七十；以周天除之，其不足除者，此月不及故舍之分度數(shù)。（104） 小月不及故舍二十二度萬七千八百六十分度之七千七百五十五。術(shù)曰：置小月二十九日，以月后天十三度十九分度之七乘之為實(shí)，又以度分母乘日分母為法，實(shí)如法得積后天三百八十七度萬七千八百六十分度之萬二千二百二十；以周天分除之，其不足除者，此月不及故舍之分度數(shù)。（105） 大月不及故舍三十五度萬七千八百六十分度之萬四千三百三十五。術(shù)曰：置大月三十日，以月后天十三度十九分度之七乘之為實(shí)，又以度分母乘日分母為法，實(shí)如法得積后天四百一度萬七千八百六十分度之九百四十；以周天除之，其不足除者，此月不及故舍之分度數(shù)。（106） 經(jīng)月不及故舍二十九度萬七千八百六十分度之九千四百八十一。術(shù)曰：置經(jīng)月二十九日九百四十分日之四百九十九，以月后天十三度十九分度之七乘之為實(shí)，又以度分母乘日分母為法，實(shí)如法得積后天三百九十四度萬七千八百六十分度之萬三千九百四十六；以周天除之，其不足除者，此月不及故舍之分度數(shù)。（107） （15）冬至?xí)儤O短，日出辰而入申。（108）陽照三，不履九，（109）東西相當(dāng)正南方。（110）夏至?xí)儤O長，日出寅而入戌。陽照九，不覆三，東西相當(dāng)正北方。（111） 日出左而入右，南北行。（112）故冬至從坎，陽在子，日出巽而入神，（113）見日光少，故曰寒。夏至從離，陰在午，日出艮而入乾，（114）見日光多，故曰暑。 日月失度而寒暑相奸。（115）往者詘，來者信也，（116）故屈信相感。故冬至之后日右行，夏至之后日左行。左者往，右者來。（117）故月與日合為一月，日復(fù)日為一日，日復(fù)星為一歲。（118）外衡冬至，內(nèi)衡夏至，六氣復(fù)返，皆謂中氣。（119） （16）陰陽之?dāng)?shù)，日月之法，十九歲為一章；四章為一蔀，七十六歲；二十蔀為一遂，遂千五百二十歲；三遂為一首，首四千五百六十歲；七首為一極，極三萬一千九百二十歲，生數(shù)皆終，萬物復(fù)始，天以更元，作紀(jì)歷。（120） （17）何以知天三百六十五度四分度之一？而日行一度、而月后天十三度十九分度之七？二十九日九百四十分日之四百九十九為一月、十二月十九分月之七為一歲？（121） 古者包犧、神農(nóng)制作為歷，度元之始，見三光未知其則，（122）日、月、列星，未有分度；日主晝、月主夜，晝夜為一日；日、月俱起建星；（123）月度疾，日度遲，日、月相逐于二十九日、三十日間，而日行天二十九度余，（124）未有定分。于是三百六十五日南極影長，（125）明日反短。以歲終日影長，故知三百六十五日者三，三百六十六日者一，故知一歲三百六十五日四分日之一，歲終也。（126）月積后天十三周，又與百三十四度余，無慮后天十三度十九分度之七，未有定。于是日行天七十六周，月行天千一十六周，又合于建星，（127）置月行后天之?dāng)?shù)，以日后天之?dāng)?shù)除之，得十三度十九分度之七，則月一日行天之度。（128）復(fù)置七十六歲之積月，以七十六歲除之，得十二月十九分月之七，則一歲之月。（129）置周天度數(shù)，以十二月十九分月之七除之，得二十九日九百四十分日之四百九十九，則一月日之?dāng)?shù)。（130）（全文完） 注釋（49）從唐代李淳風(fēng)開始，一直到現(xiàn)代錢寶琮、陳遵媯等學(xué)者，都根據(jù)這句話而將《周髀算經(jīng)》所構(gòu)建宇宙模型中的大地形狀理解為球冠形而非平面。事實(shí)上這是一個(gè)明顯的誤解?！吨荀滤憬?jīng)》卷上的原文中，已不止一次表明它的宇宙數(shù)理模型的基本假定正是天、地為平行平面，中間相距八萬里。而此處也分明只說“極下”之地高于大地六萬里，此極下之地即直徑為23000里的“極下璇璣”，也即本書圖6中左端所繪高為h、底半徑為r的部分。所謂“滂沲四 （50）天的正確形狀也見圖6。 （51）關(guān)于“四極四和”的意義，趙爽注稱：“四和者，謂之極。子午卯酉得東西南北之中，天地之所合，四時(shí)之所交，風(fēng)雨之所會(huì)，陰陽之所合。然則百物阜安，草木蕃庶，故曰四和?！边@是古代中國傳統(tǒng)的看法，將日月星辰的運(yùn)行規(guī)律與整個(gè)自然界的和諧聯(lián)系在一起。 （52）對《周髀算經(jīng)》宇宙模型中天地形狀的傳統(tǒng)誤解，很大程度上是出于此八字。蓋笠和覆槃，其實(shí)很難使今人將之想象成球冠形。而且事實(shí)上只要注意到這八字只是文學(xué)性的描述，只是形象的大致比喻；而天地的準(zhǔn)確形狀如何，《周髀算經(jīng)》卷上分明已有頗為嚴(yán)密的數(shù)理構(gòu)造——天地為相距八萬里的平行平面。在《周髀算經(jīng)》這樣一個(gè)數(shù)理天文學(xué)體系（與客觀真實(shí)吻合程度如何是另一問題）中，數(shù)理構(gòu)造和數(shù)學(xué)描述的權(quán)重遠(yuǎn)大于文學(xué)性比喻的片言只語，應(yīng)該是不言而喻的。 （53）這里對月亮發(fā)光原因的陳述還是不甚明確的。故趙爽注稱：“日者陽之精，譬猶火光；月者陰之精，譬猶水光。水則含影，故月光生于日之所照，魄生于日之所蔽。當(dāng)日即光盈，就日即明盡。月稟日光而成形兆，故云日兆月也。”雖已明白月光與日光有關(guān)系，但尚未明確指出月光是反射日光而來。 （54）顛，通巔，指八尺之表的頂端。 （55）北極為天空中假想的點(diǎn)，再選擇位于該點(diǎn)附近較亮的恒星作為北極星。由于歲差的作用，北極在天空中緩慢移動(dòng)，約26000年而繞一周，因此歷代的北極星也就不會(huì)始終為同一顆恒星。這樣，此處“北極中大星”究竟為哪一顆星，就與《周髀算經(jīng)》成書于什么時(shí)代或其材料來自什么時(shí)代這一問題密切相關(guān)了。據(jù)陳遵媯的意見，此“北極中大星”為今小熊座β星，也即古代中國所稱的“帝星”（見陳遵媯《中國天文學(xué)史》174—175頁）。 （56）參見圖9。圖中P點(diǎn)為真正的北極所在。由于北極與北極星并不絕對重合，兩者間有一個(gè)角距離，因此北極星一晝夜間圍繞北極在天空中畫出一小圓。此小圓的半徑實(shí)即北極與北極星之間的角距。 （57）仍參見圖9。據(jù)《周髀算經(jīng)》卷上所推證的“寸影千里”比例，得“極下璇璣”（即“北極璇璣”）直徑為23000里。這個(gè)數(shù)值帶有明顯的時(shí)代標(biāo)志——因?yàn)榇酥碉@然直接取決于當(dāng)時(shí)北極與北極星的角距。 W：冬至日加酉之時(shí)，西游所極 E：日加卯之時(shí)，東游所極 AC：所立8尺之表 DF：其端相去2尺3寸 BC：其繩致地所識，去表1丈3寸 圖9 北極璇璣東西游圖解（引自陳遵媯《中國天文學(xué)史》175頁） （58）漏，指刻漏，古代的計(jì)時(shí)裝置。此處的意思是，前述“加酉之時(shí)”、“加卯之時(shí)”等，都是用刻漏計(jì)量而得。由圖9可知，冬至日加酉之時(shí)和明日加卯之時(shí)在地上所作記號（“識”）依次為F、D兩點(diǎn)，此兩點(diǎn)的連線為正東西方向；在此兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)B處，向北引B與表所在的C點(diǎn)之間的連線，即為正南北方向。 （59）“此東西南北之時(shí)”句，各本皆同。但顧觀光認(rèn)為“南北”二字是衍文，顯然無道理。從上下文看，“南北”當(dāng)屬下句。 （60）仍見圖9。據(jù)前“寸影千里”比例，得出周地距極下（即此處所云“天中”，因《周髀算經(jīng)》的整個(gè)宇宙都繞北極運(yùn)轉(zhuǎn)和展開）103000里之值，即卷上圖6中的L值。這個(gè)值在卷上已提到過它的由來：“今立表高八尺，以望極，其勾一丈三寸，由此觀之，則從周北十萬三千里而至極下?！? （61）見圖10所示。與圖9相仿，圖中P點(diǎn)為北極。不過必須特別注意，此圖中極星所繞行的小圓與圖9中的有一些不同。在圖9中，北極星所繞小圓為它作周日拱極運(yùn)動(dòng)（因地球的自轉(zhuǎn)，所有恒星一晝夜間都呈現(xiàn)出繞北極一周的拱極視運(yùn)動(dòng)）而成，這在天文學(xué)上有著實(shí)際的觀測依據(jù)。而這一模式中，要想求得北極星南、北游之極，按理應(yīng)在某日（是否為冬至或夏至日，即使在《周髀算經(jīng)》模型中也是完全無關(guān)緊要的）夜半和次日日中各“以繩系表顛而希望之”而在地上做出標(biāo)記，但由于白天不可能看見恒星，故上述方案不可能實(shí)施。于是《周髀算經(jīng)》假定北極星在冬至夜半游至北端而夏至夜半游至南端，這是同樣合理的 N：冬至夜半北游所極 S：夏至夜半南游所極 GC：北極至地所識1丈1尺4寸半 HC：其南端至地所識9尺1寸半 圖10 北極璇璣南北游圖解（引自陳遵媯《中國天文學(xué)史》176頁） ——確實(shí)也有實(shí)際的觀測依據(jù)，然而這點(diǎn)在《周髀算經(jīng)》宇宙模型中卻反而講不通。依據(jù)《周髀算經(jīng)》模型，任何一天的夜半，北極星都在同一處。而且，在該模型中，這個(gè)北極星畫出的小圓僅僅依據(jù)圖9所示的“東西游”，實(shí)際上就足以推知了。因此，圖10中一丈一尺四寸半、九尺一寸半之類的數(shù)據(jù)，完全可以是編湊出來的，為的是再一次驗(yàn)證“極下璇璣”之直徑為23000里。而有些學(xué)者據(jù)此去推算極星的位置和年代等等，恐怕是沒有意義的。 （62）此處趙爽注云：“以表為股，以影為勾。影言正勾者，四方之影皆正而定也?！? （63）此處趙爽注云：“春秋分謂之陰陽之中，而日光所照適至璇璣之徑，為陽絕陰彰，故萬物不復(fù)生也。”這也再次表明了此“極下璇璣”區(qū)域的特殊性，而這一點(diǎn)也只有在本書圖6所示的天地模式中方能講通。 （64）自“其術(shù)曰”至“正南北也”一段話，與上下文全無關(guān)系，疑為錯(cuò)簡或衍文。 （65）這些數(shù)據(jù)皆可由圖6得知。不過這里《周髀算經(jīng)》的推論方法顯然是錯(cuò)誤的。作者的推論方法是：夏至日下之地在冬至?xí)r遠(yuǎn)離太陽119000里（僅在二維平面內(nèi)考慮，未慮及天地相距八萬里的二維情形），已經(jīng)萬物盡死；則極下即使在夏至之日也遠(yuǎn)離太陽119000里，自然萬物無生時(shí)。但是作者剛剛在前文說過，不生萬物的區(qū)域是直徑達(dá)23000里的“極下璇璣”，而不是極下一點(diǎn)；在這23000里直徑的圓形內(nèi)，除面積為零的極下一點(diǎn)外，其全部面積在夏至日離太陽的距離都小于119000里。因此，嚴(yán)格地說，上述推論是不能成立的。然而也應(yīng)該注意到，作者所推得的結(jié)論卻與事實(shí)相去不遠(yuǎn)。 （66）這一點(diǎn)確是北極附近的事實(shí)。在《周髀算經(jīng)》的時(shí)代，迄今未見任何證據(jù)表明中國人有過北極探險(xiǎn)的可能，因此《周髀算經(jīng)》中關(guān)于北極地區(qū)“不生萬物”、“夏有不釋之冰”的描述，只能有如下兩個(gè)來源：或是作者純粹根據(jù)越向北方越冷的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)推論而得，或是得之于外部世界關(guān)于地球寒熱五帶的知識——這種知識至遲在公元前3世紀(jì)（相當(dāng)于中國的戰(zhàn)國時(shí)代末期）古希臘的Eratosthenes的著作中已經(jīng)具備。特別值得注意的是，對于北極附近“夏有不釋之冰”的描述，趙爽竟反而表示懷疑，此處其注稱：“冰凍不解，是以推之，夏至之日外衡之下為冬矣，萬物當(dāng)死——此日遠(yuǎn)近為冬夏，非陰陽之氣，爽或疑焉。”這更證明這些知識對于漢代的中國學(xué)者而言仍是非常新奇的。 （67）這些數(shù)據(jù)都可由圖6推得。 （68）此“夏長之類”一句不易理解。從句式上看，它似乎應(yīng)與“冬有不死之草”成對句形式，則此處可能有脫文。但它又可以與后文“冬生之類”形成對文，則又可能并無脫文。趙爽此處注稱：“此欲以內(nèi)衡之外、外衡之內(nèi)，常為夏也。然其修廣，爽未之前聞?！边@個(gè)“內(nèi)衡之外、外衡之內(nèi)”，也即“中衡左右”的區(qū)域，恰可對應(yīng)于地球上的熱帶，即南緯23°.5至北緯23°.5之間（恰為太陽在冬至到夏至之間赤緯變化的范圍）的地帶。說這里“五谷一歲再熟”，也很合事實(shí)。但趙爽卻表示他對這一地帶的廣袤從未聽說過，這反映出漢代中國學(xué)者對于熱帶與對于北極地區(qū)一樣還缺乏知識。這是不奇怪的，因?yàn)橹性貐^(qū)處在北溫帶之內(nèi)，古代中國人對于遙遠(yuǎn)的北方和南方地區(qū)還缺乏實(shí)際接觸。奇怪的倒是《周髀算經(jīng)》中竟會(huì)有這樣相當(dāng)準(zhǔn)確的寒熱五帶知識，以致令后世的趙爽反而不敢相信。換言之，《周髀算經(jīng)》在這方面的記載是頗為“超前”和奇特的。 （69）此處趙爽注云：“北極之下，從春分至秋分為晝，從秋分至春分為夜，物有朝生暮獲者，亦有春芻而秋熟；然其所育皆是周地冬生之類，薺麥之屬。言左右者，不在璇璣二萬三千里之內(nèi)也。此陽微陰彰，故無夏長之類?！鳖H能圓通其說。 （70）倍，通“背”，背正南方，即向北方。 （71）“以正勾定之”，趙爽注稱：“正勾之法：日出、入識其晷，晷兩端相值者，正東西；中折之以指表，正南北?！眳⒁妶D9及注（58）。 （72）此處趙爽注云：“如定水之平，故曰平矩以水正也?！惫湃藶榇_定儀器安裝時(shí)的水平度，常利用在底座上設(shè)槽放水的辦法，其原理與現(xiàn)代的水平儀相同。這里是說用水校正地上這片選定的圓形的水平度。 （73）趙爽在此處注稱：“南北為經(jīng)，東西為緯。督亦通正?！蹦媳毕虻闹本€稱為經(jīng)，東西向的橫線稱為緯；這里指將上述大圓用十字線等分成四個(gè)象限，則每個(gè)象限所對應(yīng)的角度為 （74）牽牛，指二十八宿中的牛宿，“中央星”為牛宿的距星，又稱“中央大星”，即西方星座系統(tǒng)（今通用于全球）中的摩羯座β星。中，指上中天，即到正南方天空。 （75）須女，指二十八宿中的女宿，“先至”，指女宿“先至星”，亦即女宿西南星，今寶瓶座ε星。該星是女宿的距星。 （76）游儀，趙爽注云：“游儀，亦表也?！绷⒃诘孛娲髨A中心的表是固定不動(dòng)的，此外為測量而隨處移動(dòng)以為標(biāo)識的表，則稱為游儀，以區(qū)別于圓心處固定之表。 （77）上面這段話所描述的測量步驟，可簡述如下：在一塊經(jīng)過修整、確保其水平面的地面上，畫一個(gè)周長為 （78）此處的意思是：在圖11中，A、B之間的弧長為八尺，由于前面對大圓周長的特殊選擇，恰使周長一尺等于周天一度（中國古度），故可知牽牛中央星與須女先至星之間相距八度。 （79）放，同仿。其余各宿間的距度仿此。 （80）必須特別指出，《周髀算經(jīng)》在此處所述二十八宿的度數(shù)，與古代中國通行的二十八宿度數(shù)有著重大區(qū)別。從漢代以后，中國通行的二十八宿是一種赤道坐標(biāo)系統(tǒng)，具體做法是在每宿中選定一顆恒星作為精確測量的標(biāo)準(zhǔn)，稱為該宿的距星（如上文提到的牽牛中央星、須女先至星等都是）；下一宿距星與本宿距星的赤徑差，稱為本宿的距度。按照這種規(guī)則，上文說牽牛中央星與須女先至星間差八度，故牽牛之宿的距度為八度。但是，《周髀算經(jīng)》的上述數(shù)據(jù)是在水平面的圓上測得的，這樣的數(shù)據(jù)屬于地平坐標(biāo)系，而不是赤道坐標(biāo)。上述數(shù)據(jù)的嚴(yán)格意義是：牛宿與女宿兩宿距星之間的地平方位角之差為八度。如要測得赤道坐標(biāo)，則上述大圓形應(yīng)該位于赤道平面上——在地理緯度為φ的地方，赤道平面與當(dāng)?shù)厮矫娴膴A角為90°－φ。事實(shí)上，古代中國的赤道式渾儀正是這樣裝置的。 圖11 測二十八宿周天歷度示意圖 （81）周度，指在周天建立以二十八宿為標(biāo)識的坐標(biāo)系統(tǒng)。注意此處所言仍為地平坐標(biāo)而非傳統(tǒng)二十八宿的赤道坐標(biāo)。 （82）此處趙爽注云：“二十八宿不以一星為體，皆以先至之星為正之度?！币饧瓷衔乃砸愿魉薜木嘈菫闇y量的標(biāo)準(zhǔn)星。上面僅舉了牛宿至其相鄰女宿一宿距度的測量過程為例，以下各宿依此類推，最后地面大圓的圓周上將次第插上28個(gè)游儀，各游儀所在位置即28顆距星的位置。 （83）此處趙爽注稱：“以經(jīng)緯之交為轂，以圓度為輻。知一宿得幾何度，則引繩如輻，湊轂為正。”古代將車輪軸心處稱為轂，由軸心輻射至輪緣的連接條稱為輻。對照圖11，“經(jīng)緯之交”即圓心立“中正表”之處，正如車輪之轂，由各游儀引向圓心的半徑線（假想中的，圖11中虛線所示）恰如輻條，共同奔向圓心。需要注意的是，這28游儀不是等間距的——因?yàn)槎怂薷魉蘅缭降木喽葏⒉畈积R，最大的井宿（即東井）達(dá)三十余度，而最小的觜宿僅兩度左右。這一點(diǎn)與車輪輻條不同。 （84）這是說，對于太陽的出入方位等情況，也可借助于二十八宿及地平方位坐標(biāo)來加以描述（詳下）。 （85）此處趙爽注云：“東井、牽牛，相對之宿也。東井臨午，則牽牛臨于子也。”注意這里實(shí)際上只是舉例而言：因井宿、牛宿為相對之宿，如果井宿在夜半時(shí)于午位中天，則牛宿恰在子位中天。特別要注意的是，此處所言午、子等，為地平方位——古人以十二地支表示地平方位，一些至今仍在使用的術(shù)語如子午線（正南北方向的直線）、卯酉圈（天球上過正東西點(diǎn)的大圓）等，就是由此而來。這與下文中以十二次（仍用十二地支表示）與二十八宿相對應(yīng)而作天球劃分（見圖12）完全不同。 圖12 二十八宿與十二次對應(yīng)圖（引自明·張介賓《類經(jīng)圖翼》頁一八） （86）這里將十二次與二十八宿對應(yīng)起來。這種對應(yīng)在古代中國有固定的程式，如圖12所示。注意圖中井宿正在未，而牛宿正在丑。所謂“天與地協(xié)”，趙爽注稱：“協(xié)，合也。置東井、牽牛使居丑、未相對，則天之列宿與地所為圓周相應(yīng)合，得之矣?！边@個(gè)說法其實(shí)未得正解。因?yàn)樵谶@里十二次與二十八宿都是劃分天球的，它們?nèi)绾闻c地“協(xié)”，《周髀算經(jīng)》未作明確陳述。但這可由古代中國的天學(xué)常識推知：所謂“天與地協(xié)”，意指天球上坐標(biāo)既已劃定，則由分野體系（將天區(qū)與大地上不同地區(qū)一一對應(yīng)，是一種專為星占學(xué)服務(wù)的理論體系）也就確定了諸次、宿與大地上各地區(qū)之間的對應(yīng)。圖12原名“二十八宿過宮分野圖”，其內(nèi)起第二、三圈所標(biāo)即十二次與古代十二國、十二州之對應(yīng)，第四圈又為十二次與二十八宿之對應(yīng)，最外圈為各宿分配給十二次時(shí)的起訖度數(shù)（有些宿分屬兩次），非常簡明而直觀地反映了“天與地協(xié)”的含義。 （87）這段話所述之事仍可借助于前文圖11來理解：設(shè)日出于A′處，則中正表Z所投下之晷影ZA將交圓周于A，則由ZA順延而確定A′，在該處立游儀，所標(biāo)識者即“日所出之宿度”。日入也可照此處理。 （88）此處先述結(jié)論，求得此數(shù)值的步驟詳見下文。注意這里“牽牛去北極”不是指牽牛星距北極的度數(shù)，而是指冬至日道——冬至日在牽牛之宿——與北極的距度。“百一十五度千六百九十五里二十一步千四百六十一分步之八百一十九”，如將其中里、步化為度（中國古度）下之十進(jìn)小數(shù)，則為115.867度，亦即114°2′52″。 （89）這一長段數(shù)據(jù)及其運(yùn)算可用現(xiàn)代算式表示如下： 被除數(shù)：238000－11500＝226500里 除數(shù)：1954里 此數(shù)值系由前文所交待的周天度數(shù)除以內(nèi)衡周長，即“內(nèi)衡一度數(shù)”由 而得（里下余數(shù)化為步，1里＝300步），于是有： 注意此式右端出現(xiàn)的里、步不是長度，而只是度的零數(shù)——根據(jù)“內(nèi)衡一度數(shù)”： 于是115度1695里 注意運(yùn)算中要用到1里＝300步的關(guān)系式。于是最后有： 冬至日道距北極115.867度。 （90）此處“婁與角去北極”是指春、秋分日道——春、秋分日在婁、角之宿——與北極的距度。系以“內(nèi)衡一度數(shù)”去除中衡半徑（本書上卷圖6中的RF）而得。此處“九十一度六百一十里二百六十四步千四百六十一分步之千二百九十六”，可仿前之法，由 求得春、秋分日道距北極91.3125度，亦即90°。 （91）此處“東井去北極”是指夏至日道——夏至日在東井——與北極的距度。系以“內(nèi)衡一度數(shù)”去除130500里（上卷圖6中的Rx＋r）而得。此處“六十六度千四百八十一里一百五十五步千四百六十一分步之千二百四十五”，可仿前之法，由 求得夏至日道距北極66.758度＝65°58′8″。 這里特別值得注意，上述三值： 冬至日道距極115.867度＝114°2′52″ 二分日道距極91.3125度＝90° 夏至日道距極66.758度＝65°58′8″ 與用現(xiàn)代天文學(xué)方法推得之值有頗為驚人的吻合程度：以上列第二值減第一值，或以第三值減第二值，均可得到最基本的天文數(shù)據(jù)之一——黃赤交角ε； ε周髀＝24.5545度＝24°2′52″ 而《周髀算經(jīng)》時(shí)代的黃赤交角值可用紐康（S. Newcomb）公式逆推得出： ε100.B.C.＝23°27′8″.26－46″.845T 上式只保留一次項(xiàng)，T的單位為百年，對于100B.C．時(shí)的黃赤交角值，T應(yīng)?。?0（因紐康公式系以1901A.D．為起算原點(diǎn)），于是可得： ε100.B.C.?23°27′8″.26＋15′37″?23°42′45″ 此值與《周髀算經(jīng)》中的24°2′52″相差甚微。 然而，《周髀算經(jīng)》中上述三數(shù)值的取得之法，卻完全看不出正確的天文學(xué)意義。陳遵媯說：“這些原非實(shí)測，只是推算，而且是無理的推算?！保╗19]）錢寶琮也說：“但是這三個(gè)'去極度數(shù)’的計(jì)算方法大可懷疑。為什么把牽牛放在外衡周上，把婁宿、角宿放在中衡周上，把東井宿放在內(nèi)衡周上，使這四個(gè)宿的去極度數(shù)和各相當(dāng)衡周的去極度數(shù)相等？為什么這三個(gè)極距每一度的弧長都要取內(nèi)衡周上的一度為標(biāo)準(zhǔn)？為什么……”（[16]）這些疑問可參看新論第3節(jié)F。 （92）關(guān)于“八節(jié)二十四氣”，趙爽注稱；“二至者寒暑之極，二分者陰陽之和，四立者生、長、收、藏之始，是為八節(jié)，節(jié)三氣，三而八之，故為二十四?！弊⒁庀挛牧谐隽巳慷墓?jié)氣名稱，這是關(guān)于完整二十四節(jié)氣的最早文獻(xiàn)之一，與《淮南子·天文訓(xùn)》中出現(xiàn)的二十四節(jié)氣名稱（被認(rèn)為是最早的完備記載）在年代上至少是不相上下。 （93）由下文所列數(shù)據(jù)及“術(shù)曰”可知，《周髀算經(jīng)》解答這一問題的做法是：將冬、夏至日晷影長度之差以12除，亦即作線性內(nèi)插。這種做法實(shí)際上假設(shè)太陽的周年視運(yùn)動(dòng)為勻速（事實(shí)上非勻速），也與每一節(jié)氣時(shí)的實(shí)測晷長明顯不符，李淳風(fēng)曾指出這一點(diǎn)。 （94）所謂“六分分之一”，系對“分”以下一位改為六分法（丈、尺、寸、分皆十進(jìn)位）。這種做法有些奇特，何以要如此，值得探討。 （95）這段運(yùn)算可用現(xiàn)代算式表述如下：設(shè)以寸為單位，則冬至晷長為135，夏至晷長為16，135－16＝119，以12除之，則有： 上式右端即“九寸九分六分分之一”。 （96）所謂“月后天”，趙爽注云：“月后天者，月東行也。此見日月與天俱西南游，一日一夜一周天而月在昨宿之東，故曰后天。”實(shí)即月在天球上東行視運(yùn)動(dòng)所走過的度數(shù)。下文“月不及故舍”也指同一現(xiàn)象，亦即“月在昨宿（或作為起算點(diǎn)的某宿）之東”。 （97）據(jù)十九年七閏法則，19回歸年恰等于235（19×12＋7）朔望月，換言之，日在天球上東行19周（每年1周）則月恰在天球上東行235周，日與月又相合于原點(diǎn)，因此日東行1度，月離日東行 （98）此處及下文依次出現(xiàn)小歲、大歲、經(jīng)歲、小月、大月、經(jīng)月六個(gè)術(shù)語，其定義相互有關(guān)聯(lián)，茲列出如下： 經(jīng)歲：即回歸年， 經(jīng)月：即朔望月，由回歸年日數(shù)及十九年七閏法則，有等式 故經(jīng)月日數(shù)為： 小歲：指12經(jīng)月。 大歲：指13經(jīng)月。 小月：指29日。 大月：指30日。 注意經(jīng)歲日數(shù)在大、小歲之間，經(jīng)月日數(shù)在大、小月之間。 （99）由定義，小歲日數(shù)＝12×經(jīng)月日數(shù)，即： （100）“小歲月不及故舍”度數(shù)等于： 小歲日數(shù)ד月后天”度數(shù)，即： 但此值僅為累計(jì)之值，由于周天僅 （101）將上文求得之 （102）“佗皆放此”，即“他皆仿此”，指下文大歲、經(jīng)歲、小月、大月、經(jīng)月的“月不及故舍”度數(shù)皆用同樣方法求得。 （103）大歲日數(shù)＝13×經(jīng)月日數(shù) 上值以周天度數(shù) （104）經(jīng)歲日數(shù)＝回歸年日數(shù) 上值以周天度數(shù) （105）小月日數(shù)依定義為29日，再以“月后天”度數(shù)乘之： 上值以周天度數(shù) （106）大月日數(shù)以“月后天”乘之： 此即“大月不及故舍”度數(shù)。 （107）經(jīng)月日數(shù)以“月后天”乘之： （108）參見圖13，冬至之日太陽從辰位升起，西行至申位落入地平。 （109）仍參見圖13，“陽照三”指冬至日白晝太陽僅照耀巳、午、未三位，其余九位不能覆蓋（照耀）。 圖13 十二辰方位之圖 （110）指如在辰、申方位間引一直線，則此直線在（觀測者所在地——周地）南面。 （111）仍見圖13，夏至日太陽從寅位升起，西行（經(jīng)過南方）而至戌位落入地平；此日太陽可照耀從寅經(jīng)卯、辰……至戌共九位，故說“陽照九，不覆三”；此時(shí)在寅、戌位間引直線，則此直線在周地之北。值得注意，上面這一段對日出入方位的描述完全符合實(shí)際情況。誠如陳遵媯所指出的：“我們知道周城地方，即北緯三十四度多的地區(qū)，夏至日出時(shí)候，太陽的方位是東偏北約三十度，正是寅位；日入時(shí)候，太陽方位是西偏北約三十度，正是戌位；……同樣，冬至日出時(shí)候，太陽方位是東偏南二十八度多，正是辰位；日入時(shí)候，太陽方位是西偏南二十八度多，正是申位?！保ā吨袊煳膶W(xué)史》）166—167頁） （112）此處趙爽注云：“圣人南面而治天下，故以東為左，西為右。日冬至從南而北，夏至從北而南，故曰南北行。”面南背北，左東右西，是古代中國習(xí)用的方位約定，《周髀算經(jīng)》下文也用此約定。 （113）參見圖14，此圖中國古代術(shù)數(shù)家稱之為“后天八卦圖”（另有“先天八卦圖”，與此稍有不同）。所謂“冬至從坎，陽在子”，可將圖13、圖14同時(shí)參看，“坎”卦適當(dāng)子位，代表正北方；至于“陽”，趙爽注云“陽氣所始起”，實(shí)為古人的抽象概念，非太陽本身?！叭粘鲑愣肜ぁ?，則由圖14可見，正與前文“日出辰而入申”為等價(jià)陳述。 圖14 后天八卦圖 （114）與冬至?xí)r相仿，夏至?xí)r“陽氣”在由圖13中的午位、圖14中的“離”卦所代表的正南方；“日出艮而入乾”，由圖13、14可知，正是“日出寅而入戌”之意。 （115）這是中國古代常見的說法。一方面固然可以解釋成“歷法準(zhǔn)確則反映的寒暑適時(shí)”之意，但古人深具天人感應(yīng)、天人合一觀念，常認(rèn)為日月自身也會(huì)（因社會(huì)黑暗等原因）運(yùn)行失常（即失度），而由此就會(huì)導(dǎo)致氣候混亂失調(diào)（即所謂“寒暑相奸”）。 （116）“信”同“伸”，相對于“屈”而言。對此趙爽注云：“從夏至南往，日益短，故曰詘（按：義同“屈”）；從冬至北來，日益長，故曰信?！壁w注所言南往北來，如將觀察點(diǎn)置于周地，則參看上卷圖6就很容易理解。亦可借助于圖13，假設(shè)在其上作不同季節(jié)的日出入方位聯(lián)線，則此線從夏至后往南移，到冬至又向北移回。 （117）此處趙爽注稱：“冬至日出從辰來北，故曰右行；夏至日出從寅往南，故曰左行。古人常見以左指東，右指西，但亦有以左稱南，右稱北者，較少見。此處左右之說，頗為牽強(qiáng)，且易招致混淆。 （118）此處“月”指朔望月?！叭铡眹?yán)格地說應(yīng)是平太陽日?！澳辍?，按“日復(fù)星”（即太陽在天球上相對某一恒星而言回到原來位置）的定義，應(yīng)是恒星年；這與《周髀算經(jīng)》上下文中一直使用的回歸年（太陽兩次經(jīng)過春分點(diǎn)的時(shí)間間隔）有微小區(qū)別（恒星年＝365.25636日，回歸年＝365.24220日——均指現(xiàn)代值，與《周髀算經(jīng)》所使用的 （119）參看卷上圖8，七衡圖中間有六個(gè)間隔（故圖8又得名“七衡六間圖”），恰代表“六氣復(fù)返”——太陽在一年中由外衡至內(nèi)衡再復(fù)歸外衡，兩次經(jīng)過六間，正為十二中氣（請同時(shí)參見卷上注（41））。 （120）在章、蔀、遂、首、極這一系列周期中，章19年，來源于十九年七閏法，使回歸年與朔望月建立整數(shù)關(guān)系： 19回歸年＝19×12＋7＝235朔望月蔀則在年、月、日三者之間同時(shí)建立整數(shù)關(guān)系： 76年＝235月＝27740日 以下由蔀至遂、首、極，則主要出于數(shù)字神秘主義之附會(huì)。比如趙爽注引《易緯乾鑿度》“至德之?dāng)?shù)，先立金、木、水、火、土五，凡各三百四歲”以解釋遂，引《春秋緯考靈曜》“日月首甲子冬至，日、月、五星俱起牽牛初，日、月若合璧，五星如聯(lián)珠，青龍甲寅攝提格”以解釋首，等等。但其中也有一些天文歷法的實(shí)際意義，如： 1首＝3遂＝3×20蔀＝60蔀 由于古代中國的紀(jì)日干支以60為周期輪換，故一首（4560年）這一周期內(nèi)不僅年、月、日都有整數(shù)關(guān)系，且能令起始之日的干支與4560年前的此日相同——通常的理想狀況是：歲首初一冬至日，日干支為甲子，以此為起算點(diǎn)，則4560年后此日一切復(fù)原，又重新開始。 （121）以下有“周天除之，其不足除者，如合朔”三句，全然不可解。錢寶琮引顧觀光之說謂“此與上下文不相屬，……殊無文理，……并當(dāng)刪”，可從。 （122）此處趙爽注云：“三光，日、月、星；則，法也。” （123）此處趙爽注稱：“建六星在斗上也。日、月起建星，謂十一月朔旦冬至也。為歷術(shù)者，度起牽牛前五度，則建星其近也?！钡捎跉q差的作用，春分點(diǎn)——冬至點(diǎn)也一樣——逐年移動(dòng)，故日、月起某星，也不是萬古不變的。 （124）此處是指太陽在上述“二十九日、三十日間”即一個(gè)朔望月中在天球上向東移動(dòng)了二十九度多（指太陽的周年視運(yùn)動(dòng)，與每日的東升西落是兩回事）。 （125）南極影長，指冬至日太陽運(yùn)行到最南端，此日的晷影最長。 （126）這是說《周髀算經(jīng)》所采用的回歸年長度（ （127）參見上文注B104，月球在一回歸年中“積后天”13周天又134度多。這里則說，在未確定“月后天”（每天東行 76回歸年＝940朔望月＝1016恒星月 （128）這里給出了求“月后天”之值（參見注（97））的另一辦法：由于月行1016周天中日行76周天，則日行1度時(shí)月行度數(shù)為： 故此處原文中的“月行后天”與“日后天”應(yīng)改為“月行天”及“日行天”，方才正確。 （129）76年之積月，仍可由十九年七閏法求出： 76回歸年＝4×（19×12＋7）＝940朔望月，則1回歸年中的朔望月數(shù)為： （130）1回歸年（ 這里經(jīng)文省略了對周天度數(shù)＝回歸年日數(shù)這一環(huán)節(jié)的交待。其實(shí)，中國古代分周天為 |
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RX＝178500里，春、秋分日道半徑 
