在金融市場中，投資者最常用的兩種交易策略是趨勢和均值回歸策略。如果一只股票表現(xiàn)出如下圖所示的趨勢行為，如果它在上一個時期已經(jīng)上漲（下跌），那么它當期的價格更有可能上漲（下跌）。

• 這是標準普爾500指數(shù)時間序列的一部分。這是一個趨勢行為的例子。

當股票在t時刻的收益以某種方式依賴于前一個時刻t-1的收益時，我們稱其為自相關。在趨勢機制中，收益是正相關的。

相反，均值回歸股票的價格在其歷史均值周圍隨機波動，并表現(xiàn)出回歸歷史均值的趨勢。當存在均值回歸時，如果價格在當期上升（下降），則更有可能在下一時期下降（上升）。

• 某股票的時間序列的一部分。這是均值回歸行為的一個例子。

這兩個機制發(fā)生在不同的時間框架內(nèi)（趨勢行為通常發(fā)生在更大的時間范圍內(nèi)），它們通常是共存的。

在這兩種情況下，當前價格都包含了有關未來價格的有用信息。事實上，交易策略只有在資產(chǎn)價格呈趨勢或均值回歸的情況下才能產(chǎn)生利潤。否則，價格就會遵循所謂的隨機行為（見下圖）。

均值回歸時間序列

股票價格很少表現(xiàn)出回歸均值的行為。在絕大多數(shù)情況下，它們遵循隨機行為。然而，均值回歸價格序列可以通過組合不同的股票來合成一個協(xié)整投資組合，它顯示了平穩(wěn)性。雖然平穩(wěn)性可以用各種著名的標準統(tǒng)計檢驗來識別，但在本文中，我將重點介紹一種基于所謂的赫斯特指數(shù)的強大分析類型，它與價格時間序列的分形指數(shù)有關。赫斯特指數(shù)提供了一種方法來衡量金融時間序列偏離隨機行為的數(shù)量。這是一個非常簡單的工具，可以幫助投資者決定采用哪種策略。

平穩(wěn)性

現(xiàn)在，假設給定股票的價格，我用S(t)表示，表現(xiàn)出均值回歸行為。下面的隨機微分方程（SDE）可以更正式地描述這種行為：

• 描述均值回歸過程的SDE。

這里，符號：

分別為t時刻的股票價格，t時刻的維納過程（或布朗運動），均值回歸率θ，過程的平衡值或均值μ及其波動率σ。根據(jù)這個SDE，t+1時價格的變化正比于t時刻價格與均值之間的差。正如我們所看到的，如果價格比平均值?。ù螅瑑r格變化更有可能是正（負）的。這種SDE的一個著名的特例是所謂的奧恩斯坦-烏倫貝克過程。

• 奧恩斯坦-烏倫貝克過程是以荷蘭物理學家倫納德·奧恩斯坦和荷蘭裔美國物理學家喬治·尤金·烏倫貝克的名字命名的。

兩個最著名的（非）平穩(wěn)性檢驗是迪基-福勒檢驗（DF）和增廣迪基-福勒檢驗（ADF）。

迪基-福勒檢驗和增廣迪基-福勒檢驗

ADF檢驗是DF檢驗的延伸，讓我們先理解后者。考慮以下簡單模型：

其中S(t)是隨著時間變化的股票價格，ρ是一個系數(shù)，最后一項是一個誤差項。虛假設是ρ=1。因為在虛假設下，S(t)和S(t-1)都是非平穩(wěn)的，因此違反了中心極限定理，我們必須采用以下技巧。

• 迪基-富勒檢驗是以統(tǒng)計學家韋恩·富勒和大衛(wèi)·迪基的名字命名的。ADF是這種測試對更復雜的時間序列模型的擴展。

定義第一個差值和參數(shù)δ如下：

回歸模型可以方便地重寫為：

然后，迪基-福勒檢驗假設（嚴格來說是虛假設）：

DF檢驗背后的邏輯可以啟發(fā)式地理解如下。如果S(t)是平穩(wěn)的，它傾向于返回到某個常量平均值（或可能是確定性演變的趨勢），這意味著更大的值可能跟隨較小的值，反之亦然。這使得這個級數(shù)的當前值成為未來值的一個強有力的預測器。如果S(t)是非平穩(wěn)的，未來的變化不依賴于當前值（例如，如果過程是隨機行為）。

ADF測試遵循類似的程序，但它適用于一個更復雜、因此更完整的模型：

這里，α是一個實常數(shù)，β是時間趨勢系數(shù)，δs是差異系數(shù)：

其中p是過程的滯后階數(shù)，最后一項是誤差。這里的測試統(tǒng)計量是：

其中分母為回歸擬合的標準誤差。在DF測試的情況下，我們期望 γ<0。

赫斯特指數(shù)

還有另一種方法來檢驗過程中均值回歸或趨勢行為的存在。這可以通過分析該序列的擴散速度并將其與隨機行為的擴散速度進行比較來實現(xiàn)。這一過程將引出赫斯特指數(shù)的概念，正如我們將看到的，它與分形指數(shù)密切相關。

雖然赫斯特指數(shù)的應用可以在數(shù)學的多個領域中找到，但我們在這里只關注其中的兩個，即分形和長記憶過程。

分形

分形可以定義為：

曲線或幾何圖形，其每一部分具有與整體相同的統(tǒng)計特性。分形在建模結構（如侵蝕海岸線或雪花）時非常有用，在這些結構中，類似的模式在逐漸變小的尺度上重現(xiàn)，在描述部分隨機或混沌現(xiàn)象時非常有用，如晶體生長、流體湍流和星系形成。

分形的一個例子是下圖所示的謝爾賓斯基三角形。

測量表面粗糙度的“分形維數(shù)”與H有以下簡單關系：

我們看到，大的赫斯特指數(shù)與小的分形維數(shù)有關，即更平滑的曲線或表面。下面顯示了一個示例。這張圖清楚地表明，隨著H的增加，曲線確實變得更平滑。

• 隨著H的增加，曲線變得更光滑，分形維數(shù)減小

分形具有自相似性。在工程和應用數(shù)學的幾個分支中都存在一種自相似的類型，叫做統(tǒng)計自相似。在顯示這種自相似性的數(shù)據(jù)集中，任何分段在統(tǒng)計上與完整集相似。統(tǒng)計自相似性最著名的例子可能是海岸線。

• 這就是所謂的海岸線悖論的一個例子。根據(jù)它，如果用不同的單位測量海岸線，就會得到不同的結果

1967年，分形幾何領域的創(chuàng)始人之一伯努瓦·曼德爾布羅特（Benoit Mandelbrot）在《科學》雜志上發(fā)表了一篇開創(chuàng)性的論文，題為《英國的海岸有多長》統(tǒng)計自相似性和分數(shù)維，他討論了分形的性質。

長相關性

當過程具有長相關性時，就會產(chǎn)生一種偏離隨機行為的重要形式。這些過程表現(xiàn)出高度的持久性，過去的事件與未來的事件具有非無關的相關性，即使它們相隔甚遠。由格蘭杰、喬伊和霍斯金設想的一個例子是由以下的分數(shù)差分時間序列給出的：

其中L是通常的滯后算子，指數(shù)d是非整數(shù)， ?一是誤差項。用簡單的二項式展開，這個方程可以用函數(shù)表示：

對一個簡單AR(1)過程的自相關函數(shù)進行比較，發(fā)現(xiàn)后者的自相關函數(shù)比前者的自相關函數(shù)具有更慢的衰減速率。例如，對于τ~25的滯后：

赫斯特指數(shù)的起源

雖然赫斯特指數(shù)的估算方法最近的發(fā)展來自于分形數(shù)學和混沌理論，但令人好奇的是，赫斯特指數(shù)首先被用于水文領域，這主要涉及水的分布、水質及其與土地的作用。此外，最近對金融時間序列的長期依賴性的測試是基于一種最初由英國水文學家哈羅德·赫斯特開發(fā)的名為重新縮放范圍的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。赫斯特的原始論文的首頁如下所示。

• 哈羅德·赫斯特的原始論文

赫斯特指數(shù)和異常擴散

了解價格序列本質的一個方法是分析它的擴散速度。擴散是一個被廣泛使用的概念，它描述的是某種物體（可以是一個想法，一種資產(chǎn)的價格，一種疾病等）從一個集中度比其他大多數(shù)地方都高的地方“擴散”。

• 圖中顯示了三種類型的擴散的均方位移隨時間τ的變化。

通過研究方差如何依賴于后續(xù)測量值之間的差異，可以測量擴散：

在這個表達式中，τ是兩個測量之間的時間間隔，x是價格S(t)的一般函數(shù)。這個函數(shù)通常被選為對數(shù)價格：

這是一個眾所周知的事實，股票價格收益的方差很大程度上取決于一個人選擇衡量它的頻率。高頻率的測量，比如每一分鐘的間隔，與每天的測量有很大的不同。

如果股票價格遵循幾何隨機行為，方差將隨著滯后τ線性變化：

收益是正態(tài)分布的。然而，當與純隨機行為有小偏差時，就像經(jīng)常發(fā)生的那樣，給定的滯后τ的方差不再與τ成正比，而是獲得一個反常擴散指數(shù)：

• 反常擴散指數(shù)與赫斯特指數(shù)成正比

H是所謂的赫斯特指數(shù)?；貧w均值和趨勢股的特點是：

滿足這個方程的日收益不是一個正態(tài)分布。相反，該分布有較寬的尾部和較薄和較高的峰值附近的平均值。

赫斯特指數(shù)可以用來區(qū)分三種可能的市場機制：

• 如果 H < 0.5，則時間序列是均值回歸或平穩(wěn)的。與幾何布朗運動相關的正常擴散相比，對數(shù)價格波動增加的速度更慢。在這種情況下，該序列顯示了所謂的反持久性（在相鄰點的高值和低值之間長期切換）。
• 如果H > 0.5，該序列顯示趨勢行為，其特征是存在持久性行為。
• H = 0.5的情況對應于幾何布朗運動。

因此，赫斯特指數(shù)可以衡量時間序列的持續(xù)性水平，并可以用來識別市場狀態(tài)：如果在某個時間尺度上，赫斯特指數(shù)發(fā)生變化，這可能意味著從均值回歸到趨勢狀態(tài)的轉變，反之亦然。

以下是每種情況的例子：

在下一個圖中，我們看到赫斯特指數(shù)是如何隨時間變化的，表明了狀態(tài)的變化。

• 赫斯特指數(shù)隨時間變化的四個不同的金融時間序列。

自相關

股票價格S(t)的自相關函數(shù)定義如下：

具有緩慢衰減的自相關過程稱為長記憶過程。這樣的過程對過去的事件有一些記憶（過去的事件對未來的事件有逐漸減弱的影響）。長記憶過程具有冪律衰減的自相關函數(shù)ρ(τ)：

α與赫斯特指數(shù)的關系是：

注意，當H接近1時，衰減變得越來越慢，因為α指數(shù)接近零。一開始看起來是隨機的過程，實際上是長記憶過程，在開放區(qū)間內(nèi)有赫斯特指數(shù)：

這些過程通常被稱為分數(shù)布朗運動（fBm），布朗運動的一種推廣。

使用方差估計赫斯特的重要問題

為了獲得對τ的方差依賴關系，我們必須對許多滯后重復相同的計算，并提取結果的對數(shù)圖的斜率。正如我們現(xiàn)在看到的，H的值很大程度上取決于我們對滯后時間的選擇。

讓我們考慮標準普爾500指數(shù)SPY和估計的赫斯特指數(shù)不同的滯后。我們首先運行以下代碼，將滯后時間范圍設為2到20：

我們得到以下H的值：

hurst = 0.43733191005891303

如前所述，這個H值表明了一個均值回歸機制，盡管相當溫和。滯后時間為300-400的相同代碼給出：

hurst = 0.6107941846903405

H的這個值表明存在趨勢狀態(tài)。因此，我們可以看到，滯后時間的選擇強烈地影響了赫斯特指數(shù)的值。這意味著這個時間序列既不是純粹的回歸均值，也不是趨勢，而是改變行為或改變機制，這取決于人們是在短期內(nèi)還是在長期內(nèi)衡量它。此外，正如這里所指出的，由于這些結論遠非肉眼可見，我們得出結論，基于赫斯特指數(shù)的分析可以提供重要的見解。

長相關性和縮放范圍

1971年，曼德爾布羅特注意到股票收益長期異常行為的存在。

• 曼德爾布羅特是分形幾何領域的創(chuàng)始人之一。

為了檢驗這種長期依賴性，曼德爾布羅特使用了R/S檢驗統(tǒng)計量。R/S統(tǒng)計量是一個序列偏離其均值的部分和的范圍，用標準偏差重新調整。曼德爾布羅特的研究表明，與自相關分析、方差比和譜分解等其他方法相比，使用R/S統(tǒng)計量帶來了遠遠優(yōu)于其他方法的結果，盡管它確實有缺點，如對短期依賴的敏感性。

R/S統(tǒng)計如下。例如，考慮以下長度為n的股票收益時間序列：

前k個偏離均值的部分和為：

R/S統(tǒng)計量正比于k∈[1,n]的和的最大值和最小值之差：

分母σ(n)是最大似然標準差估計量。R/S的范圍與觀測次數(shù)n有如下關系：

其中H是赫斯特指數(shù)。曼德爾布羅特和沃利斯首先使用這種標度行為來發(fā)現(xiàn)長期依賴的存在。由于重新縮放的范圍和觀測數(shù)之間的關系是多項式，一個簡單的對數(shù)-對數(shù)圖可以計算H的值，因為：

在下面的圖中，赫斯特指數(shù)估計在0.53左右，這大約對應于隨機行為。代碼如下：

結論和展望

我們看到，使用赫斯特指數(shù)的概念可以導致對市場制度非常有用的見解。有了這些信息，人們就可以決定采用均值回歸策略或趨勢策略中更合適的一種。

簡而言之，赫斯特指數(shù)的值標識了時間序列是否對過去的事件有一些記憶。赫斯特值不總是等于1/2的事實表明有效市場假設，根據(jù)該假設，市場是完全不可預測的。原則上，正確識別這些異?，F(xiàn)象對于建立有效的交易策略非常有用。