最短路徑，求最值問題，已知都是考試的高頻考點，而且求最值問題的各種變式題型特別多，所以為同學們總結了最短路徑求最值12個模型概述及例題解析，對考試提分非常有幫助。

問題一：在直線 l 上求一點 P，使得 PA + PB 值最小 .

作法：連接 AB，與直線 l 的交點即為 P 點 .

原理：兩點之間線段最短 . PA + PB 最小值為 AB .

問題二：（“將軍飲馬問題”）在直線 l 上求一點 P，使得 PA + PB 值最小 .

作法：作點 B 關于直線 l 的對稱點 B＇，連接 AB' 與 l 的交點即為點 P．

原理：兩點之間線段最短．?PA + PB 最小值為 AB' .

問題三：在直線 l1、l2 上分別求點 M、N，使得 △PMN 的周長最?。?/p>

作法：分別作點 P 關于兩條直線的對稱點 P' 和 P''，連接 P'P''，與兩條直線的交點即為點 M，N．

原理：兩點之間線段最短．?PM + MN + PN 的最小值為線段 P'P'' 的長．

問題四：在直線 l1、l2 上分別求點 M、N，使四邊形 PQMN 的周長最?。?/p>

作法：分別作點 Q?、P 關于直線 l1、l2 的對稱點 Q' 和 P' 連接 Q'P'，與兩直線交點即為點 M，N.

原理：兩點之間線段最短．?四邊形 PQMN 周長的最小值為線段 Q'P' + PQ 的長．

問題五：（“造橋選址問題”）直線 m∥n，在 m、n 上分別求點 M、N，使 MN⊥m，

且 AM + MN + BN 的值最?。?/p>

作法：將點 A 向下平移 MN 的長度單位得 A'，連接 A'B，交 n 于點 N，過 N 作 NM⊥m 于 M .

原理：兩點之間線段最短 . AM + MN + BN 的最小值為 A'B + MN .

問題六：在直線 l 上求兩點 M , N （M 在左），使 MN = a , 并使 AM + MN + NB 的值最小 .

作法：將點 A 向右平移 a 個長度單位得 A'，作 A' 關于直線 l 的對稱點 A''，連接 A''B 交直線 l 于點 N，

將 N 點向左平移 a 個單位得 M .

原理：兩點之間線段最短 . AM + MN + NB 的最小值為 A''B + MN .

問題七：在 l1 上求點 A，在 l2 上求點 B，使 PA + AB 值最小 .

作法：作點 P 關于 l1 的對稱點 P'，作 P'B⊥l2 于點 B，交 l1 于點 A .

原理：點到直線，垂線段的距離最短 . PA + AB 的最小值為線段 P'B 的長 .

問題八：A 為 l1上一定點，B 為 l2 上一定點，在 l2 上求點 M，在 l1上求點 N，

使 AM + MN + NB 的值最小 .

作法：作點 A 關于 l2 的對稱點 A' , 點 B 關于 l1 的對稱點 B'，連接 A'B' 交 l2 于點 M，交 l1 于點 N．

原理：兩點之間線段最短．?AM + MN + NB 的最小值為線段 A'B' 的長．

問題九：在直線 l 上求一點 P，使 | PA - PB | 的值最?。?/p>

作法：連接 AB，作 AB 的中垂線與直線 l 的交點即為 P 點．

原理：垂直平分上的點到線段兩端點的距離相等． | PA - PB | = 0 .

問題十：在直線 l 上求一點 P，使 | PA - PB | 的值最大．

作法：作直線 AB，與直線 l 的交點即為 P 點．

原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊． | PA - PB | ≤ AB ， | PA - PB | 的最大值 = AB .

問題十一：在直線 l 上求一點 P，使 | PA - PB | 的值最大．

作法：作點 B 關于直線 l 的對稱點 B' 作直線 AB'，與直線 l 的交點即為 P 點．

原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊． | PA - PB | ≤ AB' ， | PA - PB | 的最大值 = AB' .

問題十二：（“費馬點”）△ABC 中每一內角都小于 120°，在 △ABC 內求一點 P，

使得 PA + PB + PC 的值最小 .

作法：所求點為 “費馬點” ，即滿足 ∠APB = ∠BPC = ∠APC = 120° .

以 AB 、 AC 為邊向外作等邊 △ABD、△ACE，連接 CD、BE 相交于點 P，點 P 即為所求 .

原理：兩點之間線段最短 . PA + PB + PC 的最小值 = CD .

— 到三點距離之和最小的點

費馬點的構造方法：

① 所給三點的連線構成三角形（△ABC），并且這個三角形的每個內角都小于 120°；

② 如下圖所示：A , B , C 是給定的三點，

以 AC 為邊向外作正三角形得到點 D , 以 BC 為邊向外作正三角形得到點 E ,

連接 BD 和 AE 交于點 O，我們斷言點 O 就是 “費馬點” .

費馬點的證明方法：

先證 △AEC ≌ △DBC .

△AEC 繞點 C 順時針旋轉 60°，可得到 △DBC，從而 △AEC ≌ △DBC .

于是 ∠OBC = ∠OEC，所以 O、B、E、C 四點共圓 .

拓展知識：四點共圓判定方法

若線段同側二點到線段兩端點連線夾角相等，那么這二點和線段二端點四點共圓 .

所以 ∠BOE = ∠BCE = 60°，∠COE = ∠CBE = 60°，

于是 ∠BOC = ∠BOE + ∠COE = 120°，同理可證 ∠AOC = ∠AOB = 120°，

所以 ∠BOC = ∠AOC = ∠AOB = 120° .

將 O 點看作是 AE 上的點，隨著 △AEC 一起繞點 C 順時針旋轉 60° 得到點 O2 ,

所以 ∠OCO2 = 60°，OC = O2C , OA = O2D ,

所以 △OCO2 是等邊三角形，于是有 OO2 = OC .

所以 BD = OA + OB + OC .