【原】壓軸題打卡29：二次函數(shù)有關(guān)的綜合問題

中考數(shù)學(xué)寶典 2020-12-28

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已知：拋物線y=a（x﹣2）²+b（ab＜0）的頂點(diǎn)為A，與x軸的交點(diǎn)為B，C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)）．

（1）直接寫出拋物線對(duì)稱軸方程；

（2）若拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，且△ABC為直角三角形，求a，b的值；

（3）若D為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，則以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形能否為正方形？若能，請(qǐng)寫出a，b滿足的關(guān)系式；若不能，說明理由．

參考答案：

解：（1）拋物線對(duì)稱軸方程：x=2．（2分）

（2）設(shè)直線x=2與x軸交于點(diǎn)E，則E（2，0）．

∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，

∴B（0，0），C（4，0）．（3分）

∵△ABC為直角三角形，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知AB=AC，

∴AE=BE=EC，

∴A（2，﹣2）或（2，2）．

當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為A（2，﹣2）時(shí)，y=a（x﹣2）²﹣2，

把（0，0）代入，得：a=1/2，

此時(shí)，b=﹣2．（5分）

當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為A（2，2）時(shí)，y=a（x﹣2）²+2，

把（0，0）代入，得：a=-1/2 ，

此時(shí)，b=2．

∴a=1/2，b=﹣2或a=-1/2，b=2．（7分）

（3）依題意，B、C關(guān)于點(diǎn)E中心對(duì)稱，

當(dāng)A，D也關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，且BE=AE時(shí)，四邊形ABDC是正方形．

∵A（0，b），

∴AE=|b|，

∴B（2﹣|b|，0），

把B（2﹣|b|，0）代入y=a（x﹣2）²+b，得ab²+b=0，

∵b≠0，

∴ab=﹣1．（10分）

考點(diǎn)分析：

二次函數(shù)綜合題。

題干分析：

（1）根據(jù)y=a（x﹣2）²+b直接得出答案；

（2）根據(jù)直線x=2與x軸交于點(diǎn)E，則E（2，0），以及拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，得出B（0，0），C（4，0），進(jìn)而求出AE=BE=EC，當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為A（2，﹣2）時(shí)，以及當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為A（2，2）時(shí)求出即可；

（3）根據(jù)B、C關(guān)于點(diǎn)E中心對(duì)稱，當(dāng)A，D也關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，且BE=AE時(shí)，四邊形ABDC是正方形，即可求出．

解題反思：

此題主要考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的應(yīng)用以及二次函數(shù)的對(duì)稱性，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點(diǎn)題型特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點(diǎn)也是難點(diǎn)同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握．