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因為疫情，今年的圣誕新年假期哪兒也去不了，倒成了我們家的整理收拾月。 上次在收拾逃逃的書籍時，和大家掰了美國孩子的閱讀。今天想和大家聊的話題，其實也是因最近的整理而起，是在收拾逃逃的玩具時非常有感的。 比起很多老美家庭通常要安排一兩個房間來存放玩具的陣勢，逃逃的玩具不算多，我們比較節(jié)制，一般只買很有必要和非常喜歡的。一輪整理下來，發(fā)現(xiàn)我們最舍得花錢的“玩具”都很有共性，很多很多的積木，平面的、立體的，很多很多的折紙、拼圖、立體書，還有好幾大箱的樂高積木…
其實不止我們家，走進(jìn)任何一家美國幼兒園、小學(xué)教室，除了書，最多的肯定也是這一類?？雌饋矶际峭婢撸鼈冇袀€共性，培養(yǎng)孩子的“幾何感”，也就是老美數(shù)學(xué)老師所說的“Geometric Intuition”。 我們常說“數(shù)感”培養(yǎng)，卻很少提到“幾何感”。但實際上，從長遠(yuǎn)看，幾何感對孩子的幫助會更大，幾何感強的孩子也會具備更強的競爭力。 今天就來和大家說說孩子的“幾何感”。 它究竟指的什么？對孩子有什么幫助？搭積木？畫輔助線刷幾何數(shù)學(xué)題？大家平時花了很多錢買積木買玩具買教具到底值不值？哪些玩具/教具的性價比最高？有什么需要注意的地方？… EASTWEST 好幾年前，逃逃剛在美國上學(xué)不久時，我曾花了些時間來研究美國的教學(xué)大綱，其中這一小段關(guān)于幾何的“意義和重要性”，被我高亮標(biāo)記出來了：
怎么講？ ★第一，幾何和數(shù)學(xué)的“every strand”，每一絲每一縷，都有緊密的關(guān)系。 我算是數(shù)學(xué)還不錯的，至少到了大學(xué)的高數(shù)和線數(shù)，還能保持滿分記錄?！八嚫呷四懘蟆钡卣f一句， 孩子的幾何能力不行， 數(shù)學(xué)肯定好不了。也許在開始學(xué)習(xí)簡單圖形變換時還能勉強撐過去，但到了中學(xué)，和代數(shù)結(jié)合的坐標(biāo)幾何，以及三角函數(shù)、復(fù)雜的幾何證明時，數(shù)學(xué)也就差不多到頭了，后面會舉步維艱。 ★第二，幾何始于數(shù)學(xué)，但它的意義和影響卻遠(yuǎn)超數(shù)學(xué)。 從古希臘文明，到文藝復(fù)興的繪畫、雕塑，到現(xiàn)代的設(shè)計、建筑，無一不和幾何有關(guān)。忘了是哪位名人說過，“我們這一代人努力學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和科學(xué)，我們的孩子，才能從容地學(xué)習(xí)文學(xué)哲學(xué)，我們孩子的孩子，才能好好學(xué)習(xí)藝術(shù)。”而 幾何， 本身就連通了從數(shù)學(xué)到哲學(xué)到藝術(shù)，可以說是一項既仰望星空，又腳踏實地的硬核能力。
▲柏拉圖：“幾何會帶你走向真理，并創(chuàng)造哲學(xué)的精神?！?/span> 下面，我們就來腳踏實地的，看看孩子的幾何能力究竟指的是什么，幾何感怎么培養(yǎng)？ 我會借用我比較熟悉的美國K12的幾何教學(xué)框架來講。實際上和咱們國內(nèi)是差不多的，因為全世界孩子的幾何知識來源都一樣，都源自歐幾里得的《幾何原本》。歐幾里得肯定是所有數(shù)學(xué)迷的偶像了，逃逃在他的視頻號里就談過他（瞄一眼就回來接著看文章啊～）： 孩子的幾何能力，主要包括了這7個方面：
其中， 前3項是最基本的，學(xué)齡前和小學(xué)低年級就必須開始重點培養(yǎng)，它們是后面幾項的基礎(chǔ)，對應(yīng)的玩具/教具也很多，我會掰得比較細(xì)； 第4-6項，也需要開始得很早，和前3項有所不同的是，它們會走得更深，更遠(yuǎn)； 第7項，幾何中的邏輯推理，孩子會接觸得比較晚一些，集中體現(xiàn)在需要嚴(yán)密邏輯演繹推理的幾何證明題里。 01. 空間關(guān)系 空間關(guān)系，是最直觀、孩子也最容易感知到的。不過很多我們大人看起來再自然不過的事，孩子卻需要慢慢去學(xué)習(xí)和體會。它主要包括三方面： ① 物體和空間的關(guān)系 包括物體在空間中的位置、方向，比如上下、左右、前后、中間等等；以及從不同視角觀察，物體和空間的關(guān)系會有所不同這樣的現(xiàn)象，比如家里的窗戶看出去，樹在房子的左邊，但從路的另一邊看過來，樹卻是在房子的右邊。 這些知識，在生活中處處可見，只要家長稍微留心，就能給孩子足夠多的輸入，并不需要借助特別的玩具/教具。 ② 物體和物體之間的關(guān)系 基本概念很簡單，就三點： 全等、對稱、相似。 孩子的認(rèn)知，也是由淺入深慢慢來。逃逃小時候玩各種積木玩具時，我會時不時跟他做一些“夾帶私貨”的練習(xí)。比如用樂高方塊，我先搭一個圖形，再請?zhí)犹哟畛鲆粋€一模一樣的“全等”圖形；或者自己搭出愛心的一半，讓他搭出對稱的另一半；然后讓他自己搭小一點兒的，或者大一點兒的“相似”愛心...
同樣的，還可以搭3D圖形的全等、對稱和相似：
類似這樣的練習(xí)，其實用任何積木方塊、磁力片、甚至彩色紙片都可以做，我比較喜歡用樂高方塊，是因為它們可以和底板固定卡緊，免得娃手一抖就弄亂了。 可別小看這幾個概念啊，大家回想一下，咱們以前刷過的很多幾何題，都是落在這些知識點上。而且，到了后面學(xué)坐標(biāo)幾何時，還需要把這些概念應(yīng)用到直角坐標(biāo)系中去，比如對稱，就有X軸對稱、Y軸對稱、原點對稱等等。 從小玩透了，才容易有“感”。 ③ 2D和3D的關(guān)系 主要也是要理解三個概念： 視角、投影和 透視。但因為是2D和3D圖形之間的變換，要難很多。
這方面的練習(xí)，如果家長沒有相關(guān)領(lǐng)域的背景，比如美術(shù)、建筑、設(shè)計等，估計很難自己發(fā)揮，最好是借助專業(yè)的玩具/教具。 名氣最大的，應(yīng)該是以色列教育品牌FoxMind出品的桌游 “天才建筑師”。它有好幾個系列，是數(shù)學(xué)家Michel和Robert Lyons專門為培養(yǎng)孩子的幾何空間思維而設(shè)計，有針對性地練習(xí)幾何圖形的構(gòu)成、分解組合，以及2D和3D關(guān)系的轉(zhuǎn)換。
▲FoxMind的“天才建筑師”系列 其中的 “建筑大師”（Architecto）和“空間大師”（Perspecto）這兩個系列，就是比著2D和3D的視角變換知識點來做練習(xí)。
▲FoxMind的“天才建筑師”系列的題卡 題卡會給出各個不同的視角圖（前視圖、后視圖、俯視圖），要求孩子搭出滿足這個視角圖的建筑體，一開始只需要滿足一個視角，漸漸地難度加大，要同時滿足幾個視角，孩子需要非常仔細(xì)地觀察幾何體組合的變化。 2D和3D的轉(zhuǎn)換是個難點，需要大量的觀察和感受。一些折紙、立體書也很有幫助，比較容易讓孩子get到 “投影”和 “透視”的感覺。 特別推薦一本收錄了 頂級建筑大師貝聿銘經(jīng)典建筑的立體書，也是逃逃今年的圣誕新年禮物之一，我專門從國內(nèi)海運過來的～ 書中再現(xiàn)了幾座貝聿銘先生親自設(shè)計的，世界級的建筑：盧浮宮金字塔、蘇州博物館、美國國家美術(shù)館、日本美秀美術(shù)館、香港中銀大廈，非常震撼。
▲《貝聿銘的建筑密碼》 任何一座美的建筑，都是數(shù)學(xué)幾何，工程科學(xué)和美學(xué)設(shè)計的完美結(jié)合。而且 立體書的方式， 紙片從折疊到立體的變化， 正好也讓孩子觀察和體會2D和3D之間的轉(zhuǎn)換。 02. 幾何屬性 如果說“空間關(guān)系”是離得稍微遠(yuǎn)一點兒，去觀察物體和空間、物體和物體之間關(guān)系，那“幾何屬性”，則要求把“鏡頭”拉近，對單個物體/圖形進(jìn)行更細(xì)致的觀察。 它包括 2D圖形的頂點、邊、角度，以及 3D 圖形的頂點、邊、表面等。 其中2D圖形的幾何屬性是小學(xué)學(xué)習(xí)的重點。整個小學(xué)的幾何知識點，至少有一半以上是落在這個知識點上，從角的初步認(rèn)識，度量，到平行四邊形、梯形、三角形、圓形…… 對應(yīng)2D圖形的幾何屬性，有一套非常好用的教具，中文名叫 “edx幾何魔法條”，也是由數(shù)學(xué)家團(tuán)隊設(shè)計的，帶頭人是澳洲數(shù)學(xué)教育專家Dr. Paul Swan。
這套教具有個很“吃虧”的地方，就是太像玩具了，晃一眼五顏六色，在商場里很容易在玩具堆里淹沒。 但它卻是一個實打?qū)嵉膸缀谓叹摺Ｓ脕泶罱ú煌膱D形，理解頂點、邊、角度等概念再合適不過?？梢哉f整個小學(xué)階段都非常實用，到后面，還能非常直觀地讓孩子理解幾何中的一些定理。比如為什么三角形任意兩邊之和大于第三邊？因為不滿足這個條件就搭不出三角形啊～
同樣的，3D圖形也有類似的教具產(chǎn)品：
不過低年級對3D圖形的幾何屬性要求不會太細(xì)，比如只要求孩子認(rèn)識和理解，但不會像2D圖形那樣細(xì)致到具體尺寸和角度大小，所以，用“牙簽”和“棉花糖”也是可以代勞的～
03. 幾何變換 幾何變換，實質(zhì)上是剛才所說的第1項，“空間關(guān)系”的延展，主要包括平移translation，旋轉(zhuǎn)rotation，反射reflection，和縮放 scaling。
正因為是“變換”，所以變換練習(xí)真的特別多，我們熟悉的很多幾何積木類教具，都是著重練習(xí)這一塊。 最有代表性的，出自大品牌的有MIGHTY MIND的磁性積木MightyMind ，以及ThinkFun的Shape by shape等等。
還有我們更加熟悉的七巧板（Tangram）：
這類積木教具，都是需要孩子找到形狀大小合適的積木塊，按照合適的方向，擺放到合適的位置，在這個過程中不斷地實踐幾何圖形的變換。 其實很多思維練習(xí)冊上也有類似的訓(xùn)練，比如我們一直很推薦的日本《兒童思維訓(xùn)練365天》和《數(shù)學(xué)腦》，里面有很多有意思的幾何思維訓(xùn)練題。但需要提醒大家一點，孩子的幾何能力培養(yǎng)， 一定得從摸得著的實物開始， 上手觸摸、搭建， 從不同的角度觀察， 才更會有“感”。 不過，到了一定階段，練習(xí)冊也很有必要，因為這時孩子就得發(fā)揮TA的空間 幾何想象能力了，在沒有實物的情況也能在腦海里進(jìn)行分解、組合，想象物體圖形之間的關(guān)系。 比如下面這樣的題目，很鍛煉孩子在腦海里對幾何圖形的想象力：
▲《365兒童思維訓(xùn)練》高級
▲《數(shù)學(xué)腦》 前面列出的3大項是幾何能力的基礎(chǔ)，主要集中在孩子 “具象幾何”思維培養(yǎng)階段，所對應(yīng)的教具也很多；接下來這幾個項，主要是在孩子的 “抽象幾何”學(xué)習(xí)階段，會更難一些，我來大致和大家過一下。 04. 坐標(biāo)幾何 坐標(biāo)幾何，也叫解析幾何，或者笛卡爾幾何，因為它所用到的平面直角坐標(biāo)，以及用代數(shù)來解決幾何問題的方法，就是法國數(shù)學(xué)家笛卡爾（Cartesian）提出的。
前面講到的很多概念，比如平移、旋轉(zhuǎn)、縮放，將來都會對應(yīng)到這個坐標(biāo)系里，“形”和“數(shù)”相遇：
坐標(biāo)幾何的啟蒙，其實從很小就可以開始做了，比如準(zhǔn)確定位一件物品的位置，美國孩子低年級時學(xué)的很多有關(guān)地圖的知識，方位、方向、圖示、比例尺，讀地圖，畫地圖等等：
還有很多思維練習(xí)，比如根據(jù)“坐標(biāo)”找出對應(yīng)物品，或者用“坐標(biāo)”類詞匯描述物體的位置，都是在為后面的“坐標(biāo)幾何”學(xué)習(xí)做鋪墊：
▲《365兒童思維訓(xùn)練》中級 05. 幾何測量 幾何測量，非常直觀。孩子的學(xué)習(xí)，是沿著 從模糊到清晰， 從憑感覺到算清楚這樣的路徑。 學(xué)齡前接觸到測量，是不需要準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的，就憑感覺地做一些“比大小，按長度、重量排序”的練習(xí)； 接著到測量，計算長度、面積、角度，要求準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)，這時前面提到的那個 “edx幾何魔法條”的教具就非常好用，仔細(xì)看每個棒子上面都有長度、角度和刻度標(biāo)注，就是專為孩子在學(xué)習(xí)精確測量階段而設(shè)計的。
測量咋一看還比較簡單，BUT，到后面上到三角函數(shù)階段，尤其是和坐標(biāo)幾何再一結(jié)合的時候，很多孩子就暈菜了。
所以，前面的基礎(chǔ)要打牢，是硬道理。 06. 幾何建模 幾何建模，實際上孩子從接觸數(shù)學(xué)開始，就一直在用，只是沒覺察到，或者說不知道它有一個這么fancy的名字。 指的是什么呢？其實就是所有用幾何圖形、圖表來描述和解決實際問題的方法。而且并不限于數(shù)學(xué)問題。 比如孩子學(xué)數(shù)數(shù)、加減法時用到的數(shù)軸線，逃逃曾在視頻號里和大家介紹過：
比如用來統(tǒng)計比較數(shù)據(jù)的各種圖表：
或者是在物理中用來分析力的方向、大小的示意圖：
所有能“可視化”為幾何圖形、圖表的問題，都可以用幾何建模的方法，進(jìn)行更直觀的描述和分析。 幾何建模，體現(xiàn)的是孩子對幾何知識的應(yīng)用能力。 07. 邏輯推理 我自己，還有我知道的身邊很多喜歡數(shù)學(xué)的同學(xué)，都有一個共鳴：數(shù)學(xué)，學(xué)到幾何證明題時，突然感覺豁然開朗，非?！扒逅薄?/p> 為什么呢？因為實在很美， 簡潔， 嚴(yán)密， 系統(tǒng)。在幾何的世界里，除了屈指可數(shù)的幾條公理，其他所有事情都不能想當(dāng)然，都要有根據(jù)，有嚴(yán)密的推導(dǎo)過程。 我來幫大家回憶一下，在龐大的幾何證明領(lǐng)域，公理只有10條，真的是伸出雙手就能數(shù)清楚。 其中包括5條一般性公理：
以及幾何知識相關(guān)的5條公理：
這10條公理，還有一些基本概念的定義，是整個幾何學(xué)的基石，其他所有的定理、結(jié)論，都是從它們推導(dǎo)而出，而且推導(dǎo)過程必須符合邏輯。就這樣，整個幾何學(xué)的知識體系就被構(gòu)建出來，是不是很清爽，但又夠霸氣？ 幾何證明， 培養(yǎng)了孩子嚴(yán)密的邏輯思維和思辨能力，古希臘的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家往往是同一波人，現(xiàn)在美國中學(xué)數(shù)學(xué)俱樂部和辯論隊通常也是同一波孩子，估計就是這個道理。這些思維方式，在其他所有領(lǐng)域都能用到。 EASTWEST 上面的內(nèi)容，前面幾項，相信大家會很有感，因為孩子正在學(xué)習(xí)經(jīng)歷，后面幾項，估計大多數(shù)同學(xué)隱約有印象，但很多細(xì)節(jié)可能想不起來了。不過，孩子未來幾年，肯定也會沿著這個線路學(xué)習(xí)，咱們先稍做點兒預(yù)熱。 總的來說， 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)， “數(shù)感”重要， “幾何感”也同樣很重要； “數(shù)”和“形”要兩手抓， 因為到了后面， 它倆會在某個地方相遇、結(jié)合， 任何一手松了， 都會有問題。 今天的文章可能稍微有點兒長了，謝謝讀到這里的你們。不過因為整個幾何學(xué)習(xí)體系的內(nèi)容就是有那么多，我總得把框架掰完整嘛^_^數(shù)學(xué)算是我自己，還有逃逃都很有感的一門學(xué)科，寫這篇文章時，腦海里涌出很多相關(guān)的話題，比如“數(shù)形”結(jié)合，數(shù)學(xué)和編程的關(guān)系，數(shù)學(xué)該不該超前學(xué)，怎么超前學(xué)？……讀到這里，也希望看到更多數(shù)學(xué)內(nèi)容分享的朋友，請在右下方點個 “在看”告訴我吧。 如果喜歡，就點個 “在看”鼓勵一下哦 ～ |
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