數(shù)學(xué)

    筆者認(rèn)為“數(shù)學(xué)”是人類所有學(xué)科中最有“魅力”的一科，因?yàn)閿?shù)學(xué)具備形式上的美感，同時(shí)在某種程度上來說，數(shù)學(xué)超越了其他科學(xué)，數(shù)學(xué)定律是不容置疑且百分百確定的，而其他科學(xué)定律在某種程度上來說都存在可以證偽的空間，因?yàn)楦鞣N新發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象可能會(huì)顛覆已知的理論，只有數(shù)學(xué)具有確定性。

    在人類的歷史發(fā)展中，數(shù)學(xué)在方方面面發(fā)揮著不可替代的作用，同時(shí)數(shù)學(xué)也是其他科學(xué)的基礎(chǔ)工具，想要研究現(xiàn)代科學(xué)，必須先學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，縱觀人類歷史，在中國(guó)古代和古希臘時(shí)代，都對(duì)數(shù)學(xué)有了一定的研究。

    但是在古希臘時(shí)代，學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)的重視程度更高，因?yàn)楣畔ＥD的社會(huì)結(jié)構(gòu)特殊，學(xué)者可以專心求學(xué)，不需要為了工作和生存發(fā)愁，在這樣的時(shí)代背景下，古希臘的學(xué)者對(duì)天文，宇宙，數(shù)學(xué)等領(lǐng)域有了較為深入的研究。

芝諾悖論

    古希臘一位叫做芝諾的數(shù)學(xué)家，提出了一個(gè)著名的悖論——“芝諾悖論”，這個(gè)悖論被記載于亞里士多德的著作《物理學(xué)》中。

    古希臘神話中一位叫做阿喀琉斯的神明，他十分擅長(zhǎng)跑步，但是在一場(chǎng)和烏龜?shù)谋荣愔?，他卻永遠(yuǎn)追不上這個(gè)烏龜，假設(shè)烏龜每秒可以爬行一米，阿喀琉斯的速度是烏龜?shù)氖叮瑸觚斣诎⒖α鹚骨巴?00米的位置，雙方同時(shí)開始奔跑，十秒后阿喀琉斯跑出了100米，烏龜跑出了10米，十一秒后雙方之間的距離差距縮短到了一米，每當(dāng)阿喀琉斯追上了烏龜?shù)纳弦粋€(gè)位置，烏龜總是會(huì)向前前進(jìn)一點(diǎn)點(diǎn)，只要時(shí)間可以無限分割下去，那么阿喀琉斯永遠(yuǎn)也追不上烏龜。

    芝諾悖論的本質(zhì)是討論運(yùn)動(dòng)的不可分性問題，在當(dāng)時(shí)對(duì)于“無限性”的理解存在一定的矛盾，時(shí)空的本質(zhì)是否可以無限分割讓學(xué)者疑惑。

    目前，在量子力學(xué)中對(duì)于這個(gè)問題已經(jīng)有了答案，那就是時(shí)間和空間的最小單位“普朗克單位”，普朗克時(shí)間和普朗克長(zhǎng)度是宇宙中最小的單位，因此時(shí)間和空間都是不能無限分割的，這就很好的解釋了“芝諾悖論”。

    芝諾提出這個(gè)悖論的本意是為了嘲諷當(dāng)時(shí)“畢達(dá)哥拉斯學(xué)派”的數(shù)學(xué)思想，在當(dāng)時(shí)出現(xiàn)了這樣一個(gè)矛盾，1-0.999無限循環(huán)＞0，而芝諾認(rèn)為1-0.999無限循環(huán)=0，當(dāng)時(shí)的人類都把這個(gè)論題當(dāng)作玩笑，后來卻引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，直到微積分的誕生數(shù)學(xué)家才開始重視這個(gè)問題。

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

    在人類的歷史上發(fā)生過三次數(shù)學(xué)危機(jī)，第一次和第二次都和畢達(dá)哥拉斯學(xué)派有關(guān)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為：

    “一切數(shù)均可表示成整數(shù)或整數(shù)之比”

    畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰在無理數(shù)被發(fā)現(xiàn)后崩塌，而第二次數(shù)危機(jī)的開端就是芝諾悖論的相關(guān)討論，在古希臘的數(shù)學(xué)中，“無窮小”這個(gè)概念被排除在外，因?yàn)楫?dāng)時(shí)的學(xué)者無法解決無窮小產(chǎn)生的矛盾。

    我們來思考一下，0.999的無限循環(huán)是否等于1呢？在數(shù)學(xué)上，0.999無限循環(huán)并不能等于1，但是在實(shí)際生活中0.999的無限循環(huán)和1沒有任何差別，比如1/3=0.333無限循環(huán)，1=(1/3)×3=0.333無限循環(huán)×3=0.999無限循環(huán)。

    在微積分建立會(huì)推廣的初期階段，這個(gè)問題引起了數(shù)學(xué)家的廣泛討論，引發(fā)了“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”，隨著微積分的定義和實(shí)數(shù)的理論體系完善，最終被科學(xué)家完美解決，在微積分中，1和0.999無限循環(huán)中間這個(gè)數(shù)被稱為“無窮小量”，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的關(guān)鍵就是討論“無窮小量”的存在是否合理，如果合理“無窮小量”是否應(yīng)該等于0。

    柯西給出了“極限”的概念，他指出不論是無窮小量還是無窮大量，都不是一個(gè)確切的數(shù)值，而是一個(gè)變量，無窮小量的極限是0，并且0是無窮小量唯一的一個(gè)常量，最終在實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)上完善了定義，解決了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

在第二次數(shù)學(xué)危機(jī)中，微積分被大范圍推廣，在多個(gè)領(lǐng)域解決了曾經(jīng)無法解決的難題。

    當(dāng)然，直到今天這個(gè)問題也沒有被百分百解決，數(shù)學(xué)家歐拉就認(rèn)為，無窮小量應(yīng)該等于0。比如在計(jì)算地球這樣龐大的數(shù)據(jù)時(shí)，忽略一些灰塵的存在完全可以解釋，并不會(huì)對(duì)整體造成什么影響。

    而第三次數(shù)學(xué)危機(jī)和羅素悖論有關(guān)，直到今天也沒有完美解決，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)和第三次數(shù)學(xué)危機(jī)都證明了一件事，人類的數(shù)學(xué)理論還有很大的進(jìn)步空間。

    如果拋開數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，在日常生活中，0.999無限循環(huán)和1沒有任何差別，因?yàn)橛钪嬷械牧Ｗ佣荚诓粩噙\(yùn)動(dòng)，任何一個(gè)整體每時(shí)每刻都在發(fā)生變化，沒有百分百確定1存在。