歐拉方程及其求解方法：

具有結構

的變系數(shù)線性微分方程稱之為歐拉方程。

令x=e^u，則u=lnx，于是有

記

即用D^k乘以一個函數(shù)，就是對該函數(shù)求k階導數(shù)；并且關于D符合乘法運算律和分配律，即有

所以

用數(shù)學歸納法可以驗證，

x^ky^(k)=D(D-1)…(D-k+1)y.

將原歐拉方程中x^ky^(k)全部用上式代入，則可以將原方程轉化為以y為函數(shù)，u為自變量的常系數(shù)線性微分方程

Dⁿy+b₁D^n-1y+…+ b_ny=f(e^u),

即

于是，就可以通過常系數(shù)線性微分方程的求解方法求該方程的通解了。

【注】歐拉方程其實就是一種線性微分方程的結構，只不過不具有直接的顯性結果，需要換元變換得到。