可樂(lè)數(shù)學(xué)按：我們將陸續(xù)刊登張博士的高數(shù)札記系列文章，其中記錄了他教高等數(shù)學(xué)的一些感悟。第一篇中他介紹了求解一、二階常系數(shù)線性常微分方程的方法。

高數(shù)札記1

@21世紀(jì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的

人

這學(xué)期第一次教高等數(shù)學(xué)這門課，偶爾會(huì)有一些感悟，零零總總，匯聚于此，作一個(gè)記錄。

        忍不住先來(lái)一點(diǎn)吐槽……我一直覺(jué)得高等數(shù)學(xué)作為一門課的名稱有很大的問(wèn)題。按照我粗淺的理解，高等數(shù)學(xué)是相對(duì)于初等數(shù)學(xué)而言的。中小學(xué)我們學(xué)習(xí)了初等數(shù)學(xué)，到了大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，因而高等數(shù)學(xué)應(yīng)該是大學(xué)數(shù)學(xué)的同義詞，所以應(yīng)該包含微積分、線性代數(shù)、概率論、簡(jiǎn)單的常微分方程，甚至一些復(fù)變函數(shù)。我大一的時(shí)候曾在圖書(shū)館借過(guò)一本《高等數(shù)學(xué)習(xí)題指導(dǎo)》，里邊就包含了微積分、線性代數(shù)還有概率論，也就是目前考研數(shù)學(xué)涉及到的全部?jī)?nèi)容。但目前國(guó)內(nèi)很多高校開(kāi)設(shè)的高數(shù)課僅僅指微積分而已（加上一章常微初步），所以我覺(jué)得不如改為“微積分”更加合適。

吐槽完畢，說(shuō)出來(lái)心理暢快多了。其實(shí)我這次教高數(shù)是半路出家，直接教的高數(shù)下，接了另一個(gè)老師的大班（他這學(xué)期有太多專業(yè)課要上）。不用從極限、連續(xù)這些基本的概念講起，也讓我省心不少。這學(xué)期一開(kāi)篇就是線性常微分方程，我自覺(jué)在這方面有一些心得，所以今天就寫(xiě)一寫(xiě)如何解常系數(shù)的線性常微分方程。

1. 首先，講一個(gè)最簡(jiǎn)單的一階方程。假設(shè)y是x的可微函數(shù)，滿足

我們都知道這個(gè)方程的解是

我想再說(shuō)一下得到這個(gè)解的方法（因?yàn)楹竺孢€會(huì)反復(fù)用到 ），這個(gè)方法被稱為積分因子法，具體過(guò)程如下：

我們都知道一個(gè)結(jié)論：如果函數(shù) f 的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么 f 一定是常數(shù)。 很多人都覺(jué)得這個(gè)結(jié)論顯而易見(jiàn)，其實(shí)它的證明需要用到拉格朗日中值定理。我們用一下這個(gè)結(jié)論

好，這個(gè)一階方程終于講完了。

2. 下面我們開(kāi)始講二階的方程，我們希望求解下面的方程

大部分高數(shù)書(shū)上都會(huì)告訴你，拿個(gè)指數(shù)函數(shù)試一試，然后就會(huì)得到特征方程，blablabla...實(shí)際上，有個(gè)更簡(jiǎn)單也更直接的方法。我們可以把解上面的二階方程轉(zhuǎn)化為解兩次一階方程，具體的方法如下：

（1）首先我們對(duì)p,q做一點(diǎn)變形

這樣寫(xiě)有什么好處呢？好處在于，原來(lái)的微分方程可以改寫(xiě)為

這里，我們解了一次一階微分方程，即用了1的結(jié)論。

（2）接下去怎么辦呢？很簡(jiǎn)單，我們繼續(xù)解一階方程

這個(gè)時(shí)候，我們遇到一個(gè)狀況，就是a, b是否相等的問(wèn)題。

這是兩個(gè)特征根相等的情況。不等的情況也很簡(jiǎn)單：

總結(jié)起來(lái)，我們通過(guò)解兩次一階方程，得到了如下的結(jié)果

3. 這個(gè)求解過(guò)程不需要任何高深的數(shù)學(xué)知識(shí)，也不必用到線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)，唯一的要求就是會(huì)用積分因子法來(lái)求解一階方程。這個(gè)方法的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)在于，即使我們面對(duì)的是非齊次的方程

把解二階方程轉(zhuǎn)化為解兩次一階方程的方法仍然奏效，而且自動(dòng)會(huì)給出特解。通常，猜特解長(zhǎng)什么樣是很困難的事情，因?yàn)橐?guī)則特別復(fù)雜，很難記清楚。而這里講的方法，自動(dòng)就會(huì)把特解求出來(lái)。