折疊問題是幾何中比較常見的問題類型之一。

根據(jù)折疊可以得到兩個圖形全等，進而得到對應(yīng)的邊與角相等。

也常常結(jié)合勾股定理進行考察，方法通常是設(shè)未知數(shù)建立等量關(guān)系。

本題選自2020年湖北省仙桃市、潛江市、天門市、江漢油田中考數(shù)學(xué)試卷的倒數(shù)第二題。

難度中等，也是一道比較典型的題目。大家可以分析一下。

【中考真題】

（2020·湖北）實踐操作：

第一步：如圖1，將矩形紙片ABCD沿過點D的直線折疊，使點A落在CD上的點A'處，得到折痕DE，然后把紙片展平．

第二步：如圖2，將圖1中的矩形紙片ABCD沿過點E的直線折疊，點C恰好落在AD上的點C′處，點B落在點B'處，得到折痕EF，B'C′交AB于點M，C′F交DE于點N，再把紙片展平．

問題解決：

（1）如圖1，填空：四邊形AEA'D的形狀是　        ；

（2）如圖2，線段MC′與ME是否相等？若相等，請給出證明；若不等，請說明理由；

（3）如圖2，若AC′＝2cm，DC'＝4cm，求DN：EN的值．

【分析】

題（1）根據(jù)題目給的圖容易猜想四邊形AEA′D為正方形，利用折疊得到的結(jié)論，易得四邊形是矩形，進而證明鄰邊相等即可。

題（2）證明線段相等，我們?？紤]證明全等或者證明等腰。本題可以考慮用全等的方式進行證明。

只需證明這兩個三角形全等即可。發(fā)現(xiàn)角度都可以證明，唯獨沒有邊長。那怎么辦呢？

肯定需要轉(zhuǎn)化了，而且折疊的條件還沒用。

由于折疊得到BE=B′E，所以可以考慮先證明BE=AC′。那么還是需要再證明一次全等（AE=AD=BC，且CE=C′E）。

當(dāng)然，如果連接EC′，直接證明Rt△EC′A≌Rt△CEB′（HL），也可以得到等腰三角形。

題（3）的難度略大。求線段的比例關(guān)系，我們可以考慮用相似的方法，但是圖中沒有相關(guān)的相似三角形，所以可以根據(jù)DN與C′F相交來構(gòu)造一個蝴蝶型的相似（8字模型）。

如下圖，設(shè)DF＝xcm，則FC′＝FC＝（8﹣x）cm，由勾股定理求出x的值。

延長BA、FC′交于點G，利用三角函數(shù)或者相似可以求得AG。

然后證明△DNF∽△ENG，即可得到結(jié)論．

【答案】解：（1）∵ABCD是矩形，

∴∠A＝∠ADC＝90°，

∵將矩形紙片ABCD沿過點D的直線折疊，使點A落在CD上的點A'處，得到折痕DE，

∴AD＝A′D，AE＝A′E，∠ADE＝∠A′DE＝45°，

∵AB∥CD，

∴∠AED＝∠A′DE＝∠ADE，

∴AD＝AE，

∴AD＝AE＝A′E＝A′D，

∴四邊形AEA′D是菱形，

∵∠A＝90°，

∴四邊形AEA′D是正方形．

故答案為：正方形；

（2）MC′＝ME．

證明：如圖1，連接C′E，由（1）知，AD＝AE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，∠EAC′＝∠B＝90°，

由折疊知，B′C′＝BC，∠B＝∠B′，

∴AE＝B′C′，∠EAC′＝∠B′，

又EC′＝C′E，

∴Rt△EC′A≌Rt△CEB′（HL），

∴∠C′EA＝∠EC′B′，

∴MC′＝ME；

（3）∵Rt△EC′A≌Rt△CEB′，

∴AC′＝B′E，

由折疊知，B′E＝BD，

∴AC′＝BE，

∵AC′＝2cm，DC′＝4cm，

∴AB＝CD＝2+4+2＝8（cm），

設(shè)DF＝xcm，則FC′＝FC＝（8﹣x）cm，

∵DC′2+DF2＝FC′2，

∴42+x2＝（8﹣x）2，

解得，x＝3，

即DF＝3cm，

如圖2，延長BA、FC′交于點G，則∠AC′G＝∠DC′F，

∴tan∠AC′G＝tan∠DC′F=AG/AC'=DF/DC'=3/4，

∴AG=3/2 cm，

∴EG=3/2+6=15/2 cm，

∵DF∥EG，

∴△DNF∽△ENG，

∴DN/EN=DF/EG=3/(15/2)=2/5．