四邊形的折疊問題是指將四邊形按照某種方式折疊，然后在平面圖形內(nèi)按照要求完成相應(yīng)的計算和證明，折疊的本質(zhì)是圖形的軸對稱變換，所用關(guān)系是折疊后的圖形與原圖形全等，解題方法大多是列方程的方法.

一.平行四邊形的折疊問題

1.如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線AC折疊，使點B落在點B'處，若∠1=∠2=44°，求∠B的度數(shù).

【分析】由折疊知，∠CAB=∠CAB'=1/2∠BAB'，又∵平行四邊形ABCD，AB∥CD，∴∠1=∠BAB'，∵∠1=∠2=44°，∴∠CAB=22°，在△ABC中，可得∠B=180°一44°一22°=114°.

2.如圖，將平行四邊形紙片沿對角線AC所在直線折疊，點D落在點E處，AE恰好經(jīng)過BC邊的中點F，若AB=3，BC=6，求∠B的度數(shù).

【分析】由折疊知，∠DAC=∠EAC，而四邊形ABCD是平行四邊形，AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠EAC=∠ACB，∴AF=CF，而F為BC的中點，CF=BF=3，∴AF=BF=3，又∵AB=3，∴△ABF為等邊三角形，∴∠B=60°.

二，矩形的折疊問題

3.如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點A，D分別落在矩形ABCD外部的點A1，D1處，求陰影部分圖形的周長.

【分析】由折疊性質(zhì)知，DF=D1F，AE=A1E，AD=A1D1，陰影部分圖形的周長=D1F+FC+BC+BE+A1E+A1D1=(DF+FC)+BC+(BE+AE)+AD=DC+BC+AB+AD=矩形ABCD的周長=2×10+2×5=30.

4.如圖，把矩形紙片ABCD折疊，使點B落在點D處，點C落在點C'處，折痕EF與BD交于點O，已知AB=16，AD=12，求折痕EF的長.

【分析】由已知條件，得∠C'DF=∠CDA=90°，∴∠C'DE=∠ADF，∵∠A=∠C=∠C'=90°，AD=BC=DC'，∴△DAF≌△DC'E，∴DF=DE=BF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，連接BE，則四邊形DFBE是菱形，如圖，

∴OB=OD，OE=OF，BD⊥EF，設(shè)AF=x，則DF=BF=16一x，在Rt△DAF中，AD2+AF2=DF2，∴122+x2=(16一x)2，解得x=7/2，∴DF=25/2，在Rt△ABD中，BD2=AD2+AB2，可得BD=20，∴DO=10，在Rt△DOF中，可算出OF=15/2，∴EF=2OF=15.

三.菱形的折疊問題

5.如圖，在菱形ABCD中，∠A=120°，E是AD上的點，沿BE折疊△ABE，點A恰好落在BD上的F點，連接CF，求∠BFC的度數(shù).

【分析】∵四邊形ABCD是菱形，∠A=120°，∴∠ABC=60°，∴∠FBC=30°，由折疊性質(zhì)得，AB=BF，∴BF=BC，在△BFC中，可求得∠BFC=75°.

6.如圖，將菱形紙片ABCD折疊，使點A恰好落在菱形的對角線交點O處，折痕為EF，若菱形的邊長為2，∠A=120°，求EF的長.

【分析】連接BD，AC，如圖，

∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，∵∠BAD=120°，∴∠BAC=60°，∴∠BAO=30°，∴AO=AB/2=1，在Rt△AOB中，可算出BO=√3，∵點A沿EF折疊與點O重合，∴EF⊥AC，∵BD⊥AC，∴EF∥BD，∴EF為△ABD的中位線，∴EF=BD/2=BO=√3.

四.正方形的折疊問題

7.如圖，正方形紙片ABCD的邊長AB=12，E是DC上的一點，CE=5，折疊正方形紙片使點B和點E重合，折痕為FG，求FG的長.

【分析】由折疊性質(zhì)知FG⊥BE，過點F作FM⊥BC于M，設(shè)BE交FG于N，如圖，

則∠C=∠BNG=90°，∠BGN=∠BEC，又可知FM=BC，∠FMG=∠C，∴△FMG≌△BCE，∴FG=BE，在Rt△BEC中，可求得BE=13，∴FG=13.

8.如圖，有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點(不與點A，點D重合)，將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H折痕為EF，連接BP，BH.

(1)求證:∠APB=∠BPH;

(2)當(dāng)點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論.

【分析】(1)由折疊知，PE=BE，∠EPB=∠EBP，而∠EBC=∠EPG=90°，∴∠BPH=∠PBC，又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC，∴∠APB=∠BPH.

(2)△PDH的周長不變，且為定值8.理由如下:

由(1)知∠APB=∠BPH，∴過B作BQ⊥PH于Q，如圖，

∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，∴△ABP≌△QBP，∴AP=QP，AB=BQ，∵AB=BC，∴BQ=BC，又∵∠C=∠BQH，BH=BH，∴Rt△BCH≌Rt△BQH，∴CH=QH，∴△PDH的周長=PD+DH+PH=PD+DH+AP+HC=AD+DC=8.

【總結(jié)】

折疊問題，題型多變，關(guān)鍵是利用軸對稱的性質(zhì)，抓住背景圖的性質(zhì)，運用方程的思想，函數(shù)的思想，轉(zhuǎn)換的方法從而解題.折線是對稱軸，對應(yīng)點的連線段被對稱抽垂直平分，折疊前后的圖形全等.

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