生長(zhǎng)語(yǔ)錄

用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題就是從問(wèn)題情境中抽象整理出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，要求學(xué)生用不同的模型解決同一個(gè)問(wèn)題既可以鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，也可以訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維。

例題.（1） 當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程 |x2-4|=m有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

（2） 當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程 |x2-4|=m有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

（3） 當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程 |x2-4|=m有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

解法1.

從問(wèn)題本身形式上看，是絕對(duì)值和一元二次方程的綜合。

絕對(duì)值模型：若|x|=a(a≥0)；則x=±a。

一元二次方程模型：Δ<0時(shí)無(wú)實(shí)數(shù)根；Δ=0時(shí)有相等實(shí)數(shù)根；Δ>0時(shí)有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；

解：（1）原方程轉(zhuǎn)化為：x2-4=m，x2-4=-m，即x2=4+m，x2=4-m。

①一個(gè)方程有2個(gè)不等實(shí)根，另一個(gè)方程無(wú)實(shí)根，得4+m>0，4-m<0，所以m>4。

②兩個(gè)方程都有相等實(shí)根，得4+m=0，4-m=0，不存在。

③兩個(gè)方程都有2個(gè)不等實(shí)根，但它們的根相同，即4+m=4-m，m=0。

（2）一個(gè)方程有2個(gè)不等實(shí)根，另一個(gè)方程有相等實(shí)根，得4+m>0，4-m=0，所以m=4。

（3）兩個(gè)方程都有2個(gè)不等實(shí)根，得4+m>0，4-m>0，所以為0<m<4。

解法2.

轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，|x2-4|=m的解即為拋物線y=|x2-4|與直線y=m的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)。

函數(shù)y=|x2-4|轉(zhuǎn)化為y=x2-4(y≥0)，y=4-x2(y≤0)的組合。

畫出圖象

觀察圖象易得符合條件的m的取值范圍。

解法3.

轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，|x2-4|=m先轉(zhuǎn)化為x2-4=±m(xù)，再轉(zhuǎn)化為拋物線y=x2-4與兩條直線y=±m(xù)的交點(diǎn)情況。

畫出圖象

觀察圖形容易得出m的取值與交點(diǎn)個(gè)數(shù)的對(duì)應(yīng)情況。