一道數(shù)學(xué)競賽題的一題多解

　　一 、引子 北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽有著悠久的歷史。近十幾年來，北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽是在初二和高一兩個年級進行。1990年起分為初試和復(fù)試，初試以普及為主，復(fù)試則適度提高。命題緊密結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實際，活而不難，趣而不怪，巧而不偏，力求體現(xiàn)出科學(xué)性、知識性、應(yīng)用性、啟發(fā)性、趣味性的綜合統(tǒng)一。數(shù)學(xué)競賽活動是備受青少年喜愛的一種數(shù)學(xué)課外活動。通過有趣味、有新意、有水平的題目，開發(fā)智力，引導(dǎo)學(xué)生提高數(shù)學(xué)素質(zhì)。數(shù)學(xué)競賽活動是落實數(shù)學(xué)素質(zhì)的一種好形式。北京市十幾年的數(shù)學(xué)競賽積累了一批閃耀著數(shù)學(xué)思想和智慧的好題目，引導(dǎo)學(xué)生研究賞析它，是一件賞心閱目、幸福愉快的事情。下面，筆者嘗試通過一道北京市高一年級數(shù)學(xué)競賽的初試題的一題多解，與讀者共同享受數(shù)學(xué)智慧的燦爛陽光。

　　二、題目

　　北京市1992年數(shù)學(xué)競賽高中一年級初試“二、填空題”第4題如下：

　　4、若 sin²x+cosx+a=0 有實根，試確定實數(shù)a的取值范圍是什么？

　　題目短小干煉，滿分8分。

　　三、試解

　　方程中的求知數(shù)是x，出現(xiàn)了x的兩種三角函數(shù)Sinx，Cosx.。而Sin²x=1-cos²x,好了，變一變，原方程就化成了

cos²x-cosx-1-a=0　　　　①

如果原方程中 x有實根，則cosx就會有對應(yīng)的實數(shù)，令t= cosx，這樣方程①就化成了

t²-t-1-a=0　　　　　②

因此，方程②就應(yīng)該有實數(shù)根，因此它的判別式△=(-1)²-4(-1-a)=4a+5≥0,所以 a≥-(5/4)

　　故實數(shù)a的取值范圍是a≥-(5/4)

　　這個答案對嗎？

　　當(dāng)a≥-(5/4)時，一定有△≥0，方程②一定有實數(shù)根，問題是cosx=t有實根x就一定有實數(shù)根嗎？注意到余弦函數(shù)的值域是cosx∈[-1，1]，故②有實根并不能保證cosx=t一定在[-1，1]內(nèi)，可見上面的解答是不嚴(yán)密的，思維不縝密的同學(xué)可能就會在這里出錯。這是試題設(shè)置的一個隱蔽的陷阱。

　　四、反思

　　怎么辦呢？

　　如果能保證方程②的實數(shù)解t在區(qū)間[-1，1]內(nèi)，則最簡三角方程cosx=t就必有實數(shù)解x=2kπ±arccost, 好，這樣一來，問題就轉(zhuǎn)化為當(dāng)方程②有位于[-1，1]中的實數(shù)根時，求實數(shù)a的取值范圍什么？

　　由方程②得：

　　故當(dāng)a∈[-(5/4),1]∪[-(5/4),-1]=[-(5/4),1]時，原方程有關(guān)于x的實數(shù)根。

　　以上的方法用到了一元二次方程求根公式，用到了解兩個無理不等式組成的不等式組，用到了集合的交集和并集。心里感覺踏實了，但運算較繁雜，有沒有更好一些的方法？

　　五、改進

　　如果記方程②的左端為f(t),即

f(t)=t²-t-1-a

則方程②有[-1，1]中的實數(shù)解就等價于二次函數(shù)f(t)=t²-t-1-a 的圖象拋物線在[-1，1]內(nèi)與t軸有交點。數(shù)轉(zhuǎn)化為形，以形助數(shù)。好，試試看。

　　當(dāng)拋物線與t軸在[-1，1]內(nèi)只有一個交點時，當(dāng)且僅當(dāng)
　　f(-1)f(1)≤0即
　　(1-a)(-1-a)≤0, 解之，有 -1≤a≤1； ③

　　當(dāng)拋物線與t軸在[-1，1]內(nèi)有兩個交點時，當(dāng)且僅當(dāng)

　　由③④得，當(dāng)a∈[-1,1]∪[-(5/4),1]=[-(5/4),-1]時，y=f(t)與t軸在[-1，1]內(nèi)有交點，方程②有實數(shù)解。

　　由于f(1)、f(-1)，Δ等的計算比較簡便，上述解法是不是比較簡捷一點？

　　六、換個角度看問題

　　詩曰：“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山中?！蔽覀兦懊娴慕忸}思路，都把注意力注意在了“方程有實根”上，跳不出“方程有實根”的如來佛手心，“五”中的解法就滲透了數(shù)形轉(zhuǎn)換，已屬巧解。如果換個角度看問題，將方程①移項變形得

a=cos²x-cosx-1

視a為x的函數(shù)，用逆向思維來思考：x有實數(shù)解，則有cosx ∈[-1,1],a=[cosx-(1/2)]²-(5/4)當(dāng)cosx=(1/2)時有最小值a_最小=-(5/4)；當(dāng)cos=-1時有最大值a_最大=(9/4)-(5/4)=1，故函數(shù)值域為 a∈[-(5/4),1]。反之，當(dāng)a在[-(5/4)，1]中取值時，cosx一定在[-1，1]中取值，x一定有實數(shù)解與之對應(yīng)，你看，a的取值范圍不是就求出來了嗎？

　　七、變式

　　西游記中的孫悟空神通廣大，能八九七十二變。好的數(shù)學(xué)題也會有一些“變式”。從上面的解法中你還能想到些什么？你能改編出一個相應(yīng)的題目嗎？試試看。

　　無獨有偶，九年后的新千年第一年，2001年，北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽高中一年能初賽試題“二、填空題”的最后一題即第8題如下：“8、若關(guān)于x的方程式sin²x+sinx+a=0 有實數(shù)解，求實數(shù)a的最大值與最小值的和”

　　讀者諸君欣賞至此，是不是會“會心地笑了?！?/p>

　　八、啟示

　　回顧以上解題過程，我們用到了方程的思想，等價轉(zhuǎn)化的思想，數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化的思想，變換角度看問題及逆向思維的思想。思想出智慧，智慧生妙解，妙解巧思令人陶醉。比較以上各種解法，你得到了什么樣的啟示？