【原】為什么數(shù)學(xué)中的溝通與寫作如此重要

遇見數(shù)學(xué) 2020-10-31

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譯者: [遇見翻譯小組] 亞麗(遇見的一位老友)、子長(韓子長天津四中高三應(yīng)屆畢業(yè)生)
英文: https:///JNvgms

1989 年，美國國家數(shù)學(xué)教師委員會(NCTM)將數(shù)學(xué)表達與交流能力確定為校園數(shù)學(xué)課程和評價標準的五大重要目標之一。將近 30 年來，NCTM 一直建議所有數(shù)學(xué)水平的學(xué)生（包括小學(xué)、初中和高中生）進行更多的寫作、反思和澄清他們的數(shù)學(xué)思維，討論數(shù)學(xué)想法與論點。他們還建議數(shù)學(xué)教師努力創(chuàng)造課堂環(huán)境，來讓學(xué)生練習(xí)和提高口頭和書面表達數(shù)學(xué)思想的能力。

然而遺憾的是，只有少數(shù)學(xué)生進入大學(xué)時，已經(jīng)具備了數(shù)學(xué)寫作與表達的功底。許多高中畢業(yè)生還是欠缺、甚至相當(dāng)匱乏這樣的能力，這些“失敗案例”甚是普遍。如何教導(dǎo)學(xué)生們正確邁入大學(xué)數(shù)學(xué)之門，是順利接受大學(xué)教育的重要環(huán)節(jié)。

正在向大學(xué)數(shù)學(xué)過渡的學(xué)生可能面臨與他們高中經(jīng)歷完全不同的教學(xué)節(jié)奏，并對自己產(chǎn)生一些更高的期望，但這些期望卻并沒有更成熟的體系支撐。那么是什么迫使眾多學(xué)生死記硬背數(shù)學(xué)知識？又是什么使理解學(xué)校所學(xué)成為眾人一項艱巨的任務(wù)？問題的根源是數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容嗎？還是教學(xué)方式的失誤使學(xué)生無法理解課程的內(nèi)容？亦或是學(xué)生選錯了參考書籍？

原本隨著學(xué)生的成長、數(shù)學(xué)能力和知識不斷豐富，相應(yīng)他們的數(shù)學(xué)表達與交流能力也應(yīng)該提升。面對這樣狀況，其實暴露了學(xué)生數(shù)學(xué)寫作能力上欠缺培養(yǎng)與鍛煉的短板。

數(shù)學(xué)溝通

數(shù)學(xué)溝通能力作為數(shù)學(xué)教育的重要組成部分，是一種分享思想和解釋知識的方法。通過交流，學(xué)生逐漸反思、提煉、討論和修正自己的想法。然而，學(xué)生在課堂上所接受相應(yīng)練習(xí)相當(dāng)有限的，甚至幾乎沒有。這自然導(dǎo)致很難進行順暢的數(shù)學(xué)溝通與交流。相比之下，在數(shù)學(xué)表達方面經(jīng)過綜合訓(xùn)練（聽、說、讀、寫）具備數(shù)學(xué)思維的學(xué)生往往獲得兩大優(yōu)勢，即數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法和數(shù)學(xué)溝通與表達技巧。

美國著名語言學(xué)家本杰明·霍夫(Benjamin Whorf)的理論認為，語言是思維高級階段所必需的，一個人的語言結(jié)構(gòu)塑造了他/她對世界的理解。為了無礙進行交流，交流雙方必須使用一種共同的語言。而在數(shù)學(xué)來說，它自己的語言與符號可能比其他任何領(lǐng)域都要復(fù)雜，有些數(shù)學(xué)符號在不同的語境中會有不同的含義，而且相當(dāng)抽象。即使學(xué)生用規(guī)范正式語言理解了數(shù)學(xué)，他們彼此討論時也會使用一般語言，這樣更容易理解概念。

數(shù)學(xué)能力是數(shù)學(xué)教育對每個學(xué)生的一個目標，而經(jīng)常讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)教育，希望能引導(dǎo)他們走向新的認知和聯(lián)系。因此，這一意圖完全取決于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)經(jīng)驗的質(zhì)量就是理所當(dāng)然的了。那些專注的教師，深刻地閱讀數(shù)學(xué)內(nèi)容和教育知識，把這種邏輯運用到教學(xué)中，有意地建立富有成效的學(xué)習(xí)活動，以吸引和激勵他們的學(xué)生。發(fā)展所有教師的專業(yè)知識，以達到這一承諾的水平，需要學(xué)校和數(shù)學(xué)教育系統(tǒng)管理官員的支持和行動。

教師們一致認為，有效的師生交流在明確的教學(xué)任務(wù)與目標和進行更深入的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上具有重要意義。

學(xué)生應(yīng)該參與到解決問題中來，這些問題可以是課上所提出的，還可以是那些發(fā)生在現(xiàn)實生活中的，數(shù)學(xué)表達在此時就顯得至關(guān)重要了。而且表達他們的想法將有助于教師指導(dǎo)學(xué)生更充分地理解數(shù)學(xué)知識，也有助于學(xué)生們進行相關(guān)推理，而老師也可以通過學(xué)生的表達鼓勵他們建立數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系。盡管學(xué)生可以通過大量的數(shù)學(xué)訓(xùn)練學(xué)習(xí)這門語言，但 “正確且簡明扼要的表達”仍是其主要目標。

數(shù)學(xué)表達

數(shù)學(xué)的表達與陳述是指學(xué)生以圖形方式組織、記錄和陳述數(shù)學(xué)思想的過程，它強調(diào)了相互交流在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的關(guān)鍵作用。而如果學(xué)生們數(shù)學(xué)推理的闡述有著強烈的渴望將更有助于營造出更富有成效的學(xué)習(xí)氛圍。

表達陳述在學(xué)生的學(xué)習(xí)中是很有幫助的。數(shù)學(xué)理解地提高需要學(xué)生們從數(shù)學(xué)表述中提煉要點，創(chuàng)建和抽象數(shù)學(xué)思想的視覺化有助于建立數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系。認知科學(xué)領(lǐng)域的研究證明，把問題的抽象和具體表現(xiàn)聯(lián)系起來可以提高學(xué)習(xí)效果。而在數(shù)學(xué)中，將圖形與視覺描述相交叉表達更可以促進深刻的理解。

從花拉子米到歐拉，整個數(shù)學(xué)都圍繞著代數(shù)過程和符號展開。這種在 19 世紀到 20 世紀之間得到發(fā)展和形成的代數(shù)觀點是一種處理符號和解決問題的工具，你可以在學(xué)校的代數(shù)課程中得到了印證。和以往求學(xué)者一樣，今天的學(xué)生無疑也在努力接納這一復(fù)雜的數(shù)學(xué)工具，但他們往往因其抽象且錯綜復(fù)雜的細節(jié)而抓狂。在設(shè)計編寫教學(xué)活動的過程中，教師應(yīng)“根據(jù)學(xué)生的思維的變化，對他們的推理加以解釋，并通過例子對它的本質(zhì)加以說明”。如果教師提供給學(xué)生們更多機會，來使他們彼此交流他們對數(shù)學(xué)的思考，他們對數(shù)學(xué)表達的熱情便會與日俱增。

即使學(xué)生還沒有具備相應(yīng)的表達技巧，他們也可以事先記錄下自己的想法。即使他們的文章中會有拼寫、語法或標點的錯誤，我們也要對學(xué)生們的寫作討論及信息分享加以肯定與支持，從而使這些“明日作家”對數(shù)學(xué)表達飽含熱情，那么漸漸的，他們對這些表達技巧的悟性便會有所提高。

在這樣的目的下，提高學(xué)生數(shù)學(xué)表達能力最可靠的方法之一便是“賦予學(xué)生一種創(chuàng)新意識”。當(dāng)他們意識到自己有作家一樣的的理解力，而其他人也在審視自己的寫作時，他們便更熱衷于投入更多的時間和精力來寫好數(shù)學(xué)。但僅僅指望學(xué)生證明他們的想法的正確是不夠的，他們必須認識到效率的重要性，同時要了解提高效率的方法。從學(xué)生們低年級時，就應(yīng)向?qū)W生傳授必要的技能，并給予充分的機會為今后的發(fā)展做準備。

推理和證明

學(xué)生應(yīng)認識到，推理與論證是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要組成部分。作為學(xué)生而言，擁有良好的溝通能力對于 “提出并研究猜想” 或 “對猜想的推理與證明” 來說必不可少的。對于數(shù)學(xué)家來說，證明本質(zhì)上是要有關(guān)鍵想法的；對許多學(xué)生來說，則不必這樣，需要建立并利用數(shù)學(xué)想法之間的關(guān)系，知道數(shù)學(xué)概念是如何相互聯(lián)系并建立在彼此的基礎(chǔ)上，從而構(gòu)建出一致的知識體系。他們必須分析和評估他人的數(shù)學(xué)思維和策略、使用數(shù)學(xué)語言準確地表達數(shù)學(xué)想法。

研究表明，無論是高中還是大學(xué)，學(xué)生不但在證明方面有困難，而且甚至都還不清楚什么是證明。然而，學(xué)生本應(yīng)該能夠“在數(shù)學(xué)之外的情境中認識和應(yīng)用數(shù)學(xué)”，只有通過認真思考來使自己的思想條理化，并下定決心用文字來表達這些思想，學(xué)生們才能學(xué)會更深刻地思考，重視自己的理解，建立思維聯(lián)系，明確其重要性，并比較不同的想法，從而得出不錯的結(jié)論。

許多學(xué)生們初見到一個詳細的、結(jié)構(gòu)化的證明時，大多數(shù)人的反應(yīng)是：“它太繁瑣了，這些過程細節(jié)我并不想深究，能否只讀概要大綱或者其中一些有意思或考試用得到的結(jié)論。”

當(dāng)如果能克服這些問題，那么對數(shù)學(xué)的理解能力便會大大提高。當(dāng)然，證明過程的表述必須準確、足夠詳細，而對數(shù)學(xué)符號的熟悉則是首要前提。

數(shù)學(xué)問題的解決與寫作

數(shù)學(xué)寫作與表達是一個過程，在這個過程中我們可以描述我們的結(jié)論、表達自己想法和見解。這是一個能使我們重塑思維、完善想法、得出結(jié)論的過程。它本身并不完善，它是一種研究和制定內(nèi)容的方式。那我們?yōu)槭裁床荒馨褦?shù)學(xué)課上記錄筆記與數(shù)學(xué)寫作等價呢？因為記錄的筆記通常是數(shù)學(xué)表達的一個子集。能通過寫文章來描述或解釋解決問題的策略的學(xué)生，他們解決問題的能力往往會有所提高。

數(shù)學(xué)表達還可以幫助學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)詞匯，而正確使用詞匯是數(shù)學(xué)水平提升的必要條件。運用這些詞匯可以讓學(xué)生思考生詞的意義，還可以在自己的詞匯中定義，并嘗試使用這些新的詞匯。通常來說，得分高的學(xué)生能夠使用更多的詞匯，這樣可以使用準確的數(shù)學(xué)語言來闡述他們的觀點。

大多數(shù)學(xué)生只在教科書上看到過數(shù)學(xué)寫作內(nèi)容，而課本中的這些表述受到專業(yè)和局限所困。它是專為學(xué)生能理解某一數(shù)學(xué)思想概念或培養(yǎng)某一技能而編寫。而學(xué)生數(shù)學(xué)表述主要是為了證明或解釋他們的數(shù)學(xué)思想，這樣教科書式的數(shù)學(xué)寫作模式并不適合學(xué)生。

另外，大多數(shù)教科書的內(nèi)容并沒有反映數(shù)學(xué)是如何發(fā)展演變的，學(xué)生自然也找不到有關(guān)構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的觀點。許多老師指出，一個重要的問題在于學(xué)生不能將符號表達式與它們的含義聯(lián)系起來，進而造成了許多符號誤用及濫用。

一般來講，數(shù)學(xué)教師只注重教學(xué)內(nèi)容，所以推進教學(xué)進度和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實踐技能，就顯得尤為重要，而這些技能在很大程度上取決于能否有效的講述所學(xué)內(nèi)容，數(shù)學(xué)課的教學(xué)重點最初是計算和過程技巧，很少強調(diào)提高學(xué)生對數(shù)學(xué)交流能力的概念認知。在某些情況下，教師會要求學(xué)生定義一個數(shù)學(xué)概念，但往往，絕大多數(shù)的課堂時間都用于了計算。當(dāng)然，計算也是必要的，但它們絕不應(yīng)該成為數(shù)學(xué)課的核心。

作為教師只講解數(shù)學(xué)問題還是不夠的，應(yīng)向?qū)W生們介紹在解答過程中易犯的錯誤，而這將有助于學(xué)生們對概念的理解，并將使學(xué)生們更容易形成自我監(jiān)控、自我評估和自我糾正的習(xí)慣。具體來說，正誤之間的對比可以促進概念的理解、記憶和自我修正。而舉例有助于概念的形成，也有助于元認知的形成、思維的培養(yǎng)及知識的增加。同時，在教學(xué)中，教導(dǎo)學(xué)生“走大路，走對路”亦不容忽視，因為它可以有效降低學(xué)生誤入歧途的概率。

教師應(yīng)該把數(shù)學(xué)寫作與表達不僅作為數(shù)學(xué)課的一個必要組成部分，甚至可以在語文課上進行教授。他們不僅要讓學(xué)生寫下他們的數(shù)學(xué)思想，還應(yīng)該教導(dǎo)他們數(shù)學(xué)寫作與表達的方法。為了幫助學(xué)生對高質(zhì)量的數(shù)學(xué)表達有一個全面的認識，教師應(yīng)該向他們展示數(shù)學(xué)大咖是如何進行數(shù)學(xué)寫作的。許多教師發(fā)現(xiàn)讓學(xué)生以數(shù)學(xué)日記的形式記錄他們的數(shù)學(xué)表達最為有效。另外，學(xué)生、老師和家長能夠通過在日記中的記錄看到本人的寫作技能和數(shù)學(xué)知識是如何熟練和進步，以及對概念的理解程度和其他知識與技能的掌握與運用情況。