研究期間，我們查閱了大量文獻資料。國內(nèi)外學者對算術(shù)與代數(shù)、算術(shù)思維與代數(shù)思維從不同層面給出了解釋，并且都強調(diào)了培養(yǎng)早期代數(shù)思維的重要性。筆者對其中一些有代表性的觀點作了梳理。

    1.算術(shù)與代數(shù)

    在古代數(shù)學研究者看來，“算術(shù)”與“代數(shù)”是不分家的。中國傳統(tǒng)數(shù)學代表作《九章算術(shù)》，其內(nèi)容就涉及數(shù)的運算、數(shù)論初步、方程、測量、面積、體積、勾股等算術(shù)、代數(shù)、集合等絕大部分初等數(shù)學知識。

    隨著學科分支的細化，算術(shù)與代數(shù)也逐漸被區(qū)分開來。在現(xiàn)代漢語詞典中，“算術(shù)”一詞被定義為：數(shù)學的一個分支，是數(shù)學中最基礎(chǔ)、最初等的部分。主要研究零和正整數(shù)、正分數(shù)和記數(shù)法，在加、減、乘、除、乘方、開方運算下產(chǎn)生的數(shù)的性質(zhì)、運算法則以及在社會實踐中的應(yīng)用?！按鷶?shù)”則被定義為：數(shù)學的一個分支，用字母代表數(shù)來研究數(shù)的運算性質(zhì)和規(guī)律，從而把許多實際問題歸結(jié)為代數(shù)方程或方程組。在近代數(shù)學中，代數(shù)學的研究由數(shù)擴大到多種其他對象，研究更為一般的代數(shù)運算的性質(zhì)和規(guī)律^[。

    根據(jù)猶塞斯金（Usiskin,1989）的觀點，學校代數(shù)包括四個方面：（1）代數(shù)作為一般化了的算術(shù)；（2）代數(shù)作為解決某種類型問題過程的研究；（3）代數(shù)作為數(shù)量之間關(guān)系的研究；（4）代數(shù)作為結(jié)構(gòu)的研究。從廣義上說，算術(shù)和代數(shù)密不可分，算術(shù)是代數(shù)的基礎(chǔ)，代數(shù)是算術(shù)研究的深入；從狹義上說，算術(shù)與代數(shù)存在區(qū)別，主要表現(xiàn)在研究對象不同：算術(shù)主要研究計數(shù)、數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)運算法則，具有抽象化、特殊化的特點；而代數(shù)則主要研究運算過程中產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)、關(guān)系，具有抽象化、一般化的特點，由此也帶來了算術(shù)與代數(shù)學習中思維方式的不同。

    2.算術(shù)思維和代數(shù)思維

    （1）徐文彬教授在《試論算術(shù)中的代數(shù)思維：準變量表達式》中指出：“算術(shù)主要是由程序思維來刻畫的。也即算術(shù)程序思維的核心是獲取一個（正確的）答案，以及確定獲取這個答案與驗證這個答案是否正確的方法；而代數(shù)思維則是由關(guān)系或結(jié)構(gòu)來描述的，它的目的是發(fā)現(xiàn)（一般化）的關(guān)系、明確結(jié)構(gòu)，并把它們連接起來^[11]?！?/span>

    （2）張丹教授在《小學數(shù)學教學策略》一書中指出：“代數(shù)思維的基本特征是用符號表示規(guī)律，表示量與量之間的相等、不等和變化關(guān)系；通過符號與符號之間的運算來‘一類一類’解決問題，進行一般性的運算和推理^[3]?！?/span>

    （3）壯惠鈴、孫玲教授撰寫的《從算術(shù)思維到代數(shù)思維》文章中指出：“從數(shù)學角度來看，算術(shù)思維是程序性的，著重的是利用數(shù)量的計算求出答案的過程。這個過程具有情境性、特殊性、計算性的特點，甚至是直觀的。而代數(shù)思維是結(jié)構(gòu)性的，側(cè)重的是關(guān)系的符號化及其運算，是無法依賴直觀的^[5]?！?/span>

    （4）蘇州大學周穎嫻在相關(guān)研究中總結(jié)出代數(shù)思維的四大特征：

    ①從表現(xiàn)形式看，代數(shù)思維是一種形式的符號操作。具體包括三個方面（鮑建生，周超，2009）：一是表征，即用符號或者有符號組成的代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)去表示數(shù)學（或他學科或現(xiàn)實生活）中的對象和結(jié)構(gòu)；而是符號變換，即各種表征之間的等價或不等價的轉(zhuǎn)化；三是意義建構(gòu)，即解釋或發(fā)現(xiàn)形式符號或表達式背后的數(shù)學結(jié)構(gòu)或?qū)嶋H模型以及各種符號操作的意義與作用。②從思維形式上看，代數(shù)思維是一種基于規(guī)則的推理。③代數(shù)思維是一種數(shù)學建模活動。④代數(shù)思維的核心是一般化的思想。事實上，代數(shù)的本質(zhì)就是發(fā)現(xiàn)處理問題的一般模式，因此，一般化的思想應(yīng)該成為代數(shù)學習的基礎(chǔ)。

    通過分析算術(shù)思維與代數(shù)思維在問題解決中的不同，斯黛西等人給出了這兩種思維的區(qū)別：

    3.其他的一些重要觀點。

    （1）在《試論算術(shù)中的代數(shù)思維：準變量表達式》一文中，作者指出：“在卡彭特和利維的研究中，他們曾給一、二年級的小學生介紹過“數(shù)字語句”的真假問題。即“78—49+49”是不是一個真語句。有專家把數(shù)字的這種運用定義為‘準變量（表達式）’。”

    作者還說：“在算術(shù)教學中可以運用準變量對小學生進行代數(shù)思維的培養(yǎng)，并且有可能降低他們學習代數(shù)的困難?！?/span>

    （2）在《從算術(shù)思維到代數(shù)思維》一文中，作者指出：“在算術(shù)思維中，表達式是一種思考的記錄，是直接聯(lián)接題目與答案的橋梁。在代數(shù)思維中，表達式不再是直接聯(lián)接題目與答案之間的過程記錄，同時也充當一個問題轉(zhuǎn)譯的角色。因此，從代數(shù)思維的角度來看，解情境問題的過程被分成兩部分，即列式與求式子的解。這一符號化、抽象化以及概括化的思維過程是建立在算術(shù)思維基礎(chǔ)之上而又需要超越算術(shù)思維的過程。^[5]”

    作者還說：“從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡，學生可能面對如下困難：符號意義的不連續(xù)，即有些學生尚未將等號視為一種等價關(guān)系；運算客體的擴充，如代數(shù)式中的a+b即可被視為a和b相加的運算過程，也可被視為一個運算結(jié)果；程序性逆向思維的慣性作用，即學生需要一種與原先思維逆向的思考方式解決問題所造成的混淆。^[5]”因此，“要順利完成過渡，學生的思維必須經(jīng)歷從數(shù)字到符號、從特殊到一般、從程序到結(jié)構(gòu)的飛躍。^[5]”

    （3）楊彥教授認為，小學階段要進行代數(shù)推理的教學。國外已有不少教學實驗和研究表明：在小學階段教授學生代數(shù)推理的基本模式，有助于其更好地學習算術(shù)。研究還發(fā)現(xiàn)，低齡兒童是可以進行“代數(shù)的”進行推理。即從小學一開始，如果能給予學生一定的學習機會和條件，采用適當?shù)慕虒W方法，可以從小培養(yǎng)代數(shù)推理能力，而這將有益于其將來代數(shù)學習及數(shù)學能力的養(yǎng)成。

    綜上所述，我們認為：代數(shù)思維的確具有和算術(shù)思維不同的方方面面，但它們又是互有聯(lián)系的。在小學低年級的教學內(nèi)容中，一些算術(shù)的內(nèi)容也關(guān)聯(lián)著代數(shù)思維的基本思想，只是很多教師并未去探索和把握這一機會進行有效訓練。教師如果能在小學低年級一些算術(shù)的情境中，有機滲透代數(shù)的思想，及時提煉算術(shù)（思維）與代數(shù)思維的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，重新思考將代數(shù)作為貫穿所有年級課程的線索，發(fā)展“早期代數(shù)”，可以在學生正式接觸代數(shù)知識時降低難度，也更好地一以貫之地進行數(shù)學的思維訓練。