方格是數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常運(yùn)用的直觀圖之一，是數(shù)形結(jié)合的有效載體。在平面圖形面積學(xué)習(xí)中，方格還有其特殊的意義――面積單位。數(shù)方格在圖形面積教學(xué)中是一種直觀、簡易、原始的計量面積的方法，在各版本小學(xué)數(shù)學(xué)教材中教學(xué)平面圖形面積時都會用到。但在具體實(shí)施過程中，很多時候老師都只是把它單獨(dú)地作為一種計量面積的方法，對數(shù)方格這一環(huán)節(jié)的教學(xué)也只是輕描淡寫、一帶而過。其實(shí)數(shù)方格的作用遠(yuǎn)不止于此，筆者認(rèn)為它可以統(tǒng)領(lǐng)整個小學(xué)階段平面圖形面積公式推導(dǎo)的教學(xué)。

一、長方形和正方形的面積公式推導(dǎo)教學(xué)，數(shù)方格可以強(qiáng)化學(xué)生對面積的認(rèn)識，感悟面積是面積單位平鋪度量出來的結(jié)果

在長方形面積計算公式推導(dǎo)教學(xué)時，首先給出一個5 cm×3 cm的長方形，讓學(xué)生估計面積，然后引導(dǎo)學(xué)生用邊長1 cm的正方形紙片(面積單位)來擺一擺。這個長方形中可以擺幾個面積單位，面積就是幾。于是就呈現(xiàn)(如右圖)每個方格的面積為1 cm2的長方形，讓學(xué)生去通過數(shù)方格(面積單位)得到:長方形的長邊有5個面積單位，寬邊有3個面積單位，面積單位總數(shù)為5×3=15(個)。接著讓學(xué)生用12個面積為1 cm2的小正方形去拼出不同的長方形，畫出示意圖(如下圖)

再觀察并數(shù)出長邊擺的個數(shù)和寬邊擺的個數(shù)，發(fā)現(xiàn):長方形的面積=長邊所擺面積單位的個數(shù)(即每行的面積單位數(shù))×寬邊所擺面積單位的個數(shù)(即行數(shù))，同時發(fā)現(xiàn):每行的面積單位數(shù)正好是長方形長刻度數(shù)，

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行數(shù)正好是寬的刻度數(shù)，長方形的面積=長的刻度數(shù)×寬的刻度數(shù)=長×寬。作者在長方形面積計算公式推導(dǎo)教學(xué)過程中，是將面積轉(zhuǎn)化為方格，讓學(xué)生理解面積的計算就是計算面積單位的數(shù)量，而數(shù)方格的過程就是學(xué)生主動探索，發(fā)現(xiàn)長和寬與面積單位數(shù)之間聯(lián)系的過程。

二、平行四邊形面積公式推導(dǎo)教學(xué)中，讓學(xué)生在數(shù)方格的過程中感悟轉(zhuǎn)化的思想

在平行四邊形的面積公式推導(dǎo)教學(xué)中，教學(xué)瓶頸和學(xué)生的困惑是:為什么把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形,是怎么想到把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形的呢,這也是平行四邊形面積公式推導(dǎo)有別于長方形面積公式推導(dǎo)之處。教材是通過讓學(xué)生數(shù)一數(shù)的方法，數(shù)出畫在方格中(且注明:一個方格代表1 cm2，不滿一格按半格計算)的平行四邊形與一個長方形(底和長相等、高與寬相等)的面積來體驗平行四邊形與長方形的底和長相等、高與寬相等，面積相等，體驗平行四邊形可以通過剪拼轉(zhuǎn)化成與之面積相等的長方形來計算面積，得出平行四邊形面積計算公式。但作者認(rèn)為，這樣數(shù)沒有真正地讓學(xué)生體驗到轉(zhuǎn)化的思想，并且為了學(xué)生能數(shù)出面積，教材還特意注明“一個方格代表1 cm2，不滿一格按半格計算”，這顯然不能解決學(xué)生的困惑和教學(xué)的瓶頸，也沒有真正地發(fā)揮數(shù)方格的價值。作者認(rèn)為，數(shù)方格的過程是要讓學(xué)生在數(shù)的過程中，去感悟“剪一剪、拼一拼”將不能直接用標(biāo)準(zhǔn)面積單位度量的圖形，能準(zhǔn)確地得到它的面積，其方法是“轉(zhuǎn)化”。為實(shí)現(xiàn)這樣的目標(biāo)，可以這樣展開。

環(huán)節(jié)一:估測面積引入。在引入環(huán)節(jié)中老師先拿出一個平行四邊形紙片，讓學(xué)生摸一摸它的面積，然后讓學(xué)生估一估它的面積大約是多少。

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環(huán)節(jié)二:引出數(shù)方格。為了驗證誰估測的比較準(zhǔn)確，讓學(xué)生思考:有什么辦法可以準(zhǔn)確地知道這個平行四邊形的面積,有學(xué)生就說測量底和鄰邊長度，并且將它們相乘，有學(xué)生說用方格去擺。老師就順勢把這個平行四邊形畫在了方格紙上，并且告訴學(xué)生“每一個方格是面積為1 cm2”的正方形。學(xué)生獨(dú)立地在方格紙操作，老師提出操作要求:請在方格紙上把你數(shù)的過程清楚地表示出來，做到讓人一目了然。

環(huán)節(jié)三:學(xué)生操作，反饋交流。當(dāng)學(xué)生有了自己的方法與答案之后，我們展開交流，發(fā)現(xiàn)數(shù)方格的效果凸顯出來了。

學(xué)生除了先得到滿格20個以后，還可發(fā)現(xiàn):20個半、21個半??得到24以外，大部分學(xué)生用了轉(zhuǎn)化的方法，如圖1用了左右不滿格去拼成一個滿格。圖2和圖3學(xué)生用了整體剪拼、轉(zhuǎn)化而成，得到面積為24 cm2。圖2的學(xué)生從中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化后是長方形，用了長乘寬即底乘高的方法計算得到。

以上的教學(xué)中我們得到:讓學(xué)生數(shù)方格，不僅僅是讓其數(shù)出結(jié)果，更重要的是讓學(xué)生在數(shù)的過程中，體驗和感悟到平行四邊形可以轉(zhuǎn)化成長方形，自己發(fā)現(xiàn)。當(dāng)有了圖2中學(xué)生的引領(lǐng)，大部分學(xué)生的頭腦開竅了，知道“只要算出拼成的長方形面積就可以知道平行四邊形的面積了”。老師借勢讓學(xué)生再思考:是不是任意一個平行四邊形都可以這樣剪下來拼過去轉(zhuǎn)化為長方形呢,是不是都可以通過所拼成的長方形面積的計算得到平行四邊形的面積呢,

可見，通過數(shù)方格學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了平行四邊形似乎可以通過剪拼轉(zhuǎn)化成長方形，而且可以通過所拼成的長方形面積的計算得到平行四邊形的面

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積。在后續(xù)的學(xué)習(xí)中只要通過操作驗證任意一個平行四邊形只要沿高剪就能拼成長方形或正方形，并且尋找所拼成長方形與平行四邊形之間的相等關(guān)系，就可得出:平行四邊形面積=底×高。

以上教學(xué)說明:學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想緣于直觀的數(shù)方格，他們想把方格補(bǔ)完整的同時實(shí)施了這種樸素的轉(zhuǎn)化方法。因此，在平行四邊形的面積公式推導(dǎo)教學(xué)中，我們教師的教學(xué)落腳點(diǎn)應(yīng)該是讓學(xué)生在數(shù)方格中經(jīng)歷方格割補(bǔ)湊整到圖形割補(bǔ)轉(zhuǎn)化的遞進(jìn)，以此實(shí)現(xiàn)書本知識與學(xué)生經(jīng)驗無縫對接。

三、三角形和梯形面積公式推導(dǎo)教學(xué)，數(shù)方格讓學(xué)生拓展思維，建立空間聯(lián)系，感悟殊途同歸的同化思想

在學(xué)習(xí)完平行四邊形面積公式推導(dǎo)后，教材在三角形和平行四邊形的面積公式推導(dǎo)過程中沒有編寫用方格，而是讓學(xué)生通過用兩個完全一樣的三角形或梯形來拼成平行四邊形來實(shí)現(xiàn)。如果從學(xué)生的角度想一想，學(xué)生是怎樣知道兩個完全一樣的三角形或梯形可以拼成一個平行四邊形的呢,學(xué)生基本上很難想到。

作者認(rèn)為，要借助于數(shù)方格，讓學(xué)生充分利用方格的直觀感知來悟出其中的奧秘。三角形面積公式的推導(dǎo)可遷移平行四邊形的剪拼法，但同時又有屬于它自己的轉(zhuǎn)化方法，即加拼法，而加拼法需要更多的空間想象能力。因此，三角形面積公式推導(dǎo)教學(xué)要在這一點(diǎn)上有所凸現(xiàn)。如，在進(jìn)行三角形面積的教學(xué)時，教師先提供給學(xué)生一個有方格(每個方格邊長1 cm)支撐的平行四邊形(圖4)，算一算平行四邊形的面積，緊接著讓學(xué)生再思考“從圖中，你還能知道哪個圖形的面積嗎,”有的學(xué)生稍加思索，頓時想到了三角形的面積是12 cm2。方法就是通過用對角線將平行四邊形分成

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兩個完全一樣的三角形(圖5)，感悟到這兩個三角形的面積相等且等于等底、等高的平行四邊形面積的一半。同時也朦朧地悟到兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形。在此基礎(chǔ)上，老師再次呈現(xiàn)帶有方格的三角形(圖6)，讓學(xué)生繼續(xù)探究，培養(yǎng)了學(xué)生個性化的且多樣化的轉(zhuǎn)化思路。

有了這樣的經(jīng)驗，我們在教學(xué)梯形的面積公式推導(dǎo)時，可以更大膽地去運(yùn)用方格。讓學(xué)生的聰明與才智得以充分的發(fā)揮，形成多角度地探索與發(fā)現(xiàn)梯形的面積計算方法，讓學(xué)生的智慧得以施展(如圖10,13)。

數(shù)方格讓學(xué)生能夠想得清楚，并且由此衍生出多種轉(zhuǎn)化方法。使圖形與圖形之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生的面前，“兩個完全一樣的三角形或梯形可以拼成一個平行四邊形”這時加拼法的出現(xiàn)是那么的自然，又符合學(xué)生思維特征，面積在方格里學(xué)生更容易產(chǎn)生轉(zhuǎn)化的想法，蘊(yùn)含了多種轉(zhuǎn)化的思想，使學(xué)生真正地去體驗與探索知識的真諦，知其然而知其所以然。數(shù)方格的作用在這時體現(xiàn)得淋漓盡致。

四、圓面積公式推導(dǎo)教學(xué)，數(shù)方格引發(fā)學(xué)生聯(lián)想，突破方圓，領(lǐng)悟化曲為直的解決問題原理

圓作為曲線圖形，好像與數(shù)方格關(guān)系有點(diǎn)遠(yuǎn)，有點(diǎn)牽強(qiáng)。其實(shí)不然，我們完全可以用同樣的思維方式，將其置于方格中，通過數(shù)圓的四分之一所占的方格數(shù)推算出圓的面積，如(圖14)。并且可以對圓面積與小正方形(半徑的平方)的倍數(shù)有一個猜測，從而產(chǎn)生圓面積=半徑的平方×3倍多一些的猜想，與實(shí)際操作推導(dǎo)公式相呼應(yīng)。

然后引導(dǎo)學(xué)生:能不能將圓形轉(zhuǎn)化成我們會算面積的圖形,為學(xué)生提供8個八分之一圓，如圖15擺放，組織學(xué)生操作，以此類推，得出下面

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的過程。通過觀察所拼成的長方形(平行四邊形)的關(guān)系，驗證數(shù)方格得出的圓面積=半徑的平方×3倍多一些，并明確“3倍多一些”具體的值為“圓周率”。

總之，數(shù)方格在平面圖形面積公式推導(dǎo)教學(xué)中既可以作為一種基本的計量面積方法，又可以在數(shù)方格中體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的策略，很自然地幫助學(xué)生建立轉(zhuǎn)化方法和公式的猜想，在學(xué)生操作驗證后還可以作為典型例子，進(jìn)行關(guān)系的梳理和公式推導(dǎo)的回顧和總結(jié)。但數(shù)方格也不是沒有缺陷的，很多時候必須要特定的形狀，特定的擺法，才能適合學(xué)生操作。但這并不影響數(shù)方格對平面圖形面積公式推導(dǎo)教學(xué)的作用。教學(xué)中教師可以用特殊例子來發(fā)現(xiàn)問題，用一般圖形來操作驗證，最后回到典型例子梳理推導(dǎo)過程和圖形之間的關(guān)系。