很久很久以前，人們就知道有一種數(shù)學(xué)概念叫作方程，方程中有已知系數(shù)和未知量。根據(jù)實(shí)際問題來建立一個可以解答的方程，解出未知量，實(shí)際問題就解決了。

關(guān)于方程問題，中國古代的很多數(shù)學(xué)典籍都有記載，如《孫子算經(jīng)》中記載了雞兔同籠問題就是一個利用列方程式解答的典型。

1608年，德國數(shù)學(xué)家羅特提出一個猜想：任意復(fù)數(shù)系的一元n次方程有且僅有n個復(fù)根，后來高斯證明了這一定理：代數(shù)基本定理，這也是方程論的中心定理，沒有這個定理的加持，方程研究虛無縹緲。

關(guān)于解方程，在16世紀(jì)，塔爾塔利亞和卡爾丹諾因?yàn)槿?、四次方程的公式解法掀起一場曠日持久的發(fā)明權(quán)大戰(zhàn)。意大利數(shù)學(xué)家費(fèi)羅最先得到?jīng)]有二次項(xiàng)的三次方程解法，而這個解法也是那場持久爭斗的開端，導(dǎo)致在17世紀(jì)，人們在任何數(shù)學(xué)手冊上就可以找到三次、四次方程的根式解法，哪怕當(dāng)時記錄的解法異常復(fù)雜。當(dāng)人們再繼續(xù)推進(jìn)多次方程根式解法時，卻遭遇到了難以想象的困難。人們把之前所有的探索方式都在五次方程解法上用了個遍，無一例外都失敗了，沒有人知道為什么會失敗，也沒有人敢下結(jié)論到底有沒有五次方程的根式解法。

拉格朗日曾經(jīng)花了10年時間來研究這個問題。拉格朗日發(fā)現(xiàn)一元三次方程消去二次項(xiàng)后，經(jīng)轉(zhuǎn)換，在不考慮根的先后順序時，每個y都可以寫成特定的形式。每個解總是可以互換位置，而互不影響，通過變換次數(shù)和代數(shù)基本定理，他找到了y的解并得到一個結(jié)論：滿足y的方程一定是一個y^3的二次方程，拉格朗日用同樣的預(yù)解式來解決四次方程，發(fā)現(xiàn)這一套方法仍然有效。事實(shí)上，一般的四次方程假如仍然使用之前的代換，我們會得到一個輔助的三次方程，類似于三次方程的輔助方程與y^3的二次方程是一樣的。

鑒于前兩次的成功，他認(rèn)為一般的n次方程在求解過程中，所有容許根的個數(shù)就是n！個，三次、四次符合，那么五次也應(yīng)該符合。并且按照正常套路五次方程的輔助方程會是一個四次方程，只要這樣依次遞降，總可以用根式的方式來表示這些方程最終的解，哪怕這個方程的根式解極度復(fù)雜，難以表示。然而，他在研究了五次方程預(yù)解函數(shù)之后，發(fā)現(xiàn)五次方程的輔助方程居然會變成六次，五次都沒解出來，居然還冒出個六次來，一點(diǎn)都不像三次、四次方程那樣逐級降次，很顯然這條路是走不通的。拉格朗日也始終沒有找到合適的五次方程的預(yù)解方程，也就是說他失敗了。拉格朗日被迫承認(rèn)了下面這個事實(shí)：五次方程看起來是沒有根式解的。

約瑟夫·拉格朗日

拉格朗日這樣的大神在五次方程根式解的探索上都如此挫敗，足以看出這個問題的難度有多大。不過，拉格朗日的思路卻著實(shí)影響了許多后來在這個問題上有過突出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家們，比如阿貝爾，魯菲尼，伽羅瓦等等。拉格朗日沒有在五次方程這個問題取得圓滿成就，但是他在其他領(lǐng)域的研究都是非常精彩的。比如，前面說的分析力學(xué)，他是分析力學(xué)的開創(chuàng)者，同時又是天體力學(xué)的奠基人。他找出過三體問題的五個特解，天文學(xué)上還有拉格朗日點(diǎn)這個術(shù)語，星際探測器只要很少的燃料就可以在這個點(diǎn)附近長期逗留，這個點(diǎn)對于人類探測星空有很大意義。在數(shù)學(xué)上，他除了變分法和方程論，在函數(shù)論、微分方程論和數(shù)論上都有極大成就。

拉格朗日點(diǎn)

拉格朗日的事例深深地告訴了我們一個事實(shí)，即使你是天外飛仙的大神，也總會遇到一些你解不開的難題。比如萊布尼茨解不開的巴塞爾猜想被歐拉解決了，歐拉解不開的四平方猜想被拉格朗日解決了，拉格朗日解不開的五次方程問題被伽羅瓦解決了。雖有力不能及，但是這些從來都不會影響他們的偉大。

文 | 鎖少磊

排版 | 方恩輝

審核 | 刁紫陽 王多多

總編輯 | 詹玥

責(zé)任編輯 | 劉璐