戴德金

戴德金是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最關(guān)鍵的橋梁，現(xiàn)代對(duì)戴德金低估，實(shí)際上，就純數(shù)學(xué)成就而言，戴德金完全有資格躋身全數(shù)學(xué)史TOP20，他是整個(gè)數(shù)學(xué)史上舉足輕重的偉大人物。

偉大的分析學(xué)家，代數(shù)學(xué)家，數(shù)論學(xué)家，代數(shù)幾何學(xué)家，某種程度上，戴德金是現(xiàn)代數(shù)學(xué)從萌芽階段到成型階段之間最重要沒有之一的數(shù)學(xué)家。

高斯的關(guān)門弟子。

雖然克萊因認(rèn)為黎曼才是高斯唯一真正的學(xué)生，但從學(xué)術(shù)視角和學(xué)術(shù)血緣，戴德金比黎曼更適合高斯的嫡系弟子的名頭。

戴德金與高斯都是誕生于不倫瑞克，從不倫瑞克工業(yè)大學(xué)出身，都在哥廷根求學(xué)，都在哥廷根任教，都對(duì)數(shù)論作出重要成就，戴德金某種意義上是高斯數(shù)論的直接繼承人。

但很顯然，戴德金并沒有因?yàn)槭抢相l(xiāng)的關(guān)系從冷漠的高斯那里得到多少照顧，也不可能和高斯建立好的個(gè)人關(guān)系。

高斯給戴德金的博士論文僅僅給出了比通過好一點(diǎn)的評(píng)語，敷衍了事。確實(shí)在戴德金的博士論文并沒有見到后來偉大成就的痕跡。

據(jù)說在戴德金晚年曾經(jīng)對(duì)學(xué)生抱怨了一個(gè)上午，嘮嘮叨叨就是埋怨高斯在他博士答辯的時(shí)候給他提出一大堆超級(jí)難的問題。

和狄利克雷亦師亦友

相對(duì)高斯來說，戴德金和狄利克雷的關(guān)系要好得多，狄利克雷對(duì)戴德金和黎曼極為重視，經(jīng)常叫戴德金和黎曼一起遠(yuǎn)足，參加家庭宴會(huì)。

狄利克雷確實(shí)是偉大的教育家。

戴德金深受狄利克雷影響。

狄利克雷去世后，戴德金負(fù)責(zé)了狄利克雷全集的編輯工作，并以狄利克雷講義為基礎(chǔ)出版了數(shù)論講義一書，這是繼高斯算術(shù)探索之后最重要的一本數(shù)論經(jīng)典教科書，對(duì)高斯數(shù)論做了全面的新詮釋。

這本著作中相當(dāng)大部分的的成果都是戴德金的原創(chuàng)，但他謙虛的把一切歸功給狄利克雷。

和黎曼是好友。

偉大的黎曼一生朋友寥寥，戴德金，狄利克雷，韋伯算是交往最深的好友，但狄利克雷，韋伯都可算是黎曼的老師了，同輩中可以說戴德金是他交情最好的朋友。

戴德金可以算是黎曼的同門師弟，共同受業(yè)于偉大的高斯和狄利克雷門下。

戴德金很佩服黎曼，曾經(jīng)去上過黎曼關(guān)于阿貝爾函數(shù)理論的課。并最終在此領(lǐng)域做出偉大貢獻(xiàn)。

但戴德金對(duì)黎曼的幾何觀點(diǎn)似乎并不太以為然。

戴德金和黎曼堪稱前哥廷根時(shí)期的數(shù)學(xué)雙子星座，不過兩人的學(xué)術(shù)風(fēng)格涇渭分明，黎曼是典型的幾何形象思維，戴德金是典型的代數(shù)抽象思維。

黎曼去世后，戴德金是黎曼全集的編輯之一，并為黎曼寫了一篇小傳，算是目前為止最客觀的黎曼傳記之一。

與高斯，狄利克雷，黎曼的交往，可以說是戴德金一生學(xué)術(shù)奠基的最重要的源頭，同時(shí)，戴德金也為高斯，狄利克雷，黎曼去世后編輯全集。

雖然1858年后，戴德金再未回到哥廷根任教，但從傳統(tǒng)上來說，戴德金是哥廷根學(xué)派早期重要成員是毫無疑問的。

戴德金情商很高，絕對(duì)是數(shù)學(xué)史上第一等的人物。

我們從戴德金的學(xué)術(shù)領(lǐng)域來看，戴德金大師再四個(gè)領(lǐng)域做出偉大的貢獻(xiàn)。

1.分析學(xué)。實(shí)數(shù)理論，戴德金分割。

柯西建立微積分基礎(chǔ)極限理論后，仍然遺留許多問題沒有解決，最重要的遺留問題有三個(gè)，一個(gè)是連續(xù)與可微可導(dǎo)的問題，這問題由黎曼和魏爾斯特拉斯解決，黎曼可不是僅僅建立黎曼積分這種工具，黎曼在分析學(xué)上一個(gè)重要的成就是厘清了連續(xù)可導(dǎo)的最基礎(chǔ)的分析基礎(chǔ)嚴(yán)格化的關(guān)系與理論；

一個(gè)是多值函數(shù)的通用理論問題，這問題由黎曼復(fù)分析解決；

第三個(gè)問題是分析基礎(chǔ)的算術(shù)公理化基礎(chǔ)還沒有解決，這也讓柯西的分析學(xué)基礎(chǔ)薄弱，容易陷入循環(huán)論證，并未最終牢固。

于是在19世紀(jì)后半葉，魏爾斯特拉斯提出分析算術(shù)化的理論，開始對(duì)分析學(xué)乃至數(shù)系的完善。

在這個(gè)征程中，戴德金的作用至關(guān)重要，是關(guān)鍵性的。

戴德金以連續(xù)性為基礎(chǔ)，提出戴德金分割，以有理數(shù)定義無理數(shù)，從而徹底解決了從畢達(dá)哥拉斯古希臘時(shí)代對(duì)無理數(shù)疑慮的所謂第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。

戴德金因此而對(duì)數(shù)系建立了周密的邏輯基礎(chǔ)，這功績的重要性無論如何評(píng)估都不以為過。

戴德金進(jìn)而乘勝追擊，研究有理數(shù)的生成基礎(chǔ)，從哲學(xué)的高度，提出自然數(shù)的公理化基礎(chǔ)，研究了元素的集合，集合的映射，并集交集的性質(zhì)等，實(shí)質(zhì)上完成了實(shí)數(shù)系的公理化基礎(chǔ)集合理論！

意大利學(xué)者皮亞諾是戴德金學(xué)術(shù)的追隨者，引用了戴德金的成果，并在此基礎(chǔ)上形成等價(jià)的更簡潔的公理集合，形成現(xiàn)代標(biāo)準(zhǔn)的公理集合，并提出序的概念，在此公理基礎(chǔ)上的自然數(shù)體系，應(yīng)用減法能得到整數(shù)系，應(yīng)用除法能得到有理數(shù)系。有理數(shù)基礎(chǔ)也被徹底解決了。

從而建立在連續(xù)性上的整體公理化集合的實(shí)數(shù)理論基礎(chǔ)建成！

某種意義上，戴德金是現(xiàn)代實(shí)數(shù)理論的建立者，皮亞諾可以算是第二建設(shè)者，皮亞諾歷來被低估，但在實(shí)數(shù)理論基礎(chǔ)建設(shè)上，皮亞諾居功至偉，其提的序的理論也成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。

戴德金及皮亞諾的實(shí)數(shù)理論，魏爾斯特拉斯的極限語言與分析算術(shù)化，最終滔滔洪流，匯聚到偉大的康托爾這里，最終建立了集合論！

集合論的誕生，徹底解決了分析基礎(chǔ)嚴(yán)格化的問題，并成為一切現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，這是數(shù)學(xué)史上最偉大的創(chuàng)造！

也因此，徹底解決了關(guān)于分析基礎(chǔ)的所謂的數(shù)學(xué)史上第二次危機(jī)！

全數(shù)學(xué)史就只有三次數(shù)學(xué)危機(jī)，戴德金幾乎以一人之力，解決了前兩個(gè)數(shù)學(xué)危機(jī)，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)打下最牢固的基礎(chǔ)，其重要性無論如何評(píng)估都不以為過。

諾特阿姨在抽象代數(shù)工作中謙虛了說自己的理論在戴德金的學(xué)說中早已有之，同樣的，在現(xiàn)代分析集大成者的集合論中的理論，同樣在戴德金的學(xué)說中早已有之！

戴德金第二個(gè)最重要的數(shù)學(xué)成就在于代數(shù)領(lǐng)域。

戴德金是現(xiàn)代抽象代數(shù)最重要的奠基人，環(huán)，域，理想的理論，讓他成為伽羅華阿貝爾與諾特中間的最偉大的近世代數(shù)橋梁！

戴德金率先在哥廷根大學(xué)開了伽羅華理論的課程，成為群論第一個(gè)課程推廣者。傳說戴德金曾萊討論班有意吸引黎曼對(duì)群論研究，但沒有證據(jù)表明黎曼對(duì)此感興趣。

同時(shí)在研究高斯狄利克雷數(shù)論時(shí)，對(duì)代數(shù)數(shù)論有濃厚興趣。在授課中，戴德金率先提出環(huán)，域的概念基礎(chǔ)。

同時(shí)，戴德金提出抽象群的概念，就憑這個(gè)成就，從根本思想上改變了群的原始定義和構(gòu)造，戴德金才是群論走向現(xiàn)代代數(shù)的關(guān)鍵人物，他比伽羅華阿貝爾要重要得多！

同時(shí)，戴德金創(chuàng)立了格論！

對(duì)戴德金代數(shù)影響最大的是他在柏林大學(xué)的老師庫默爾！

戴德金發(fā)展了庫默爾的理想數(shù)理論，提出理想概念，并進(jìn)而發(fā)展出一般理想理論！

環(huán)，域，理想，格，一系列現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的中心理論都起源于戴德金。

戴德金往上繼承伽羅華阿貝爾萌芽的群論，大大的發(fā)展了由伽羅華阿貝爾萌芽的現(xiàn)代抽象代數(shù)，充實(shí)了理論的構(gòu)成，下接偉大的希爾伯特和諾特阿姨！

可以說，正如諾特阿姨所說，她的一切理論都可以在戴德金的學(xué)說中找到。這并非夸張?？纯创鞯陆鸬膭?chuàng)造，在現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的中心地位，就一目了然！

戴德金是現(xiàn)代抽象代數(shù)的奠基人，是伽羅華阿貝爾群論到諾特抽象代數(shù)的中間環(huán)節(jié)，也是不可缺少的關(guān)鍵一環(huán)，他的作用不下于伽羅華阿貝爾的開創(chuàng)之功和諾特的集大成之功！

戴德金第三大數(shù)學(xué)成就，是將黎曼開創(chuàng)的雙有理代數(shù)幾何建筑在代數(shù)基礎(chǔ)上，建立了代數(shù)方向的雙有理代數(shù)幾何學(xué)，這是現(xiàn)代代數(shù)幾何的三大最重要的源頭之一，更是最直接的源頭！

早期的代數(shù)幾何萌芽于解析幾何，射影幾何，橢圓函數(shù)論等，到黎曼阿貝爾函數(shù)理論將橢圓函數(shù)理論納入復(fù)分析后，開創(chuàng)了解析方向雙有理代數(shù)幾何，這是一個(gè)關(guān)鍵性的節(jié)點(diǎn)！是代數(shù)幾何學(xué)進(jìn)入現(xiàn)代的標(biāo)志！時(shí)至今日，代數(shù)幾何的中心和基礎(chǔ)依然是黎曼開創(chuàng)的工具方法。

現(xiàn)在將代數(shù)幾何的三個(gè)源頭分為黎曼的分析方向代數(shù)幾何、克萊布什哥爾丹以及意大利學(xué)派的幾何方向代數(shù)幾何、戴德金韋伯希爾伯特開創(chuàng)代數(shù)方向代數(shù)幾何，其實(shí)這是不太確切的。

確切的說法是，黎曼雙有理代數(shù)幾何是現(xiàn)代代數(shù)幾何的總源頭，其發(fā)展出來的分析、幾何、代數(shù)三個(gè)方法方向的代數(shù)幾何，經(jīng)過數(shù)十年發(fā)展，到布爾巴基學(xué)派匯成一股洪流，經(jīng)教皇JP等大師擰成一股，融合各派思想，方法，工具，結(jié)論，采用全新的代數(shù)語言和拓?fù)湔Z言，統(tǒng)一并創(chuàng)造了現(xiàn)代代數(shù)幾何！

黎曼開創(chuàng)的解析方法，因?yàn)樽C明不嚴(yán)格，在19世紀(jì)后半葉被主流拋棄。

而為了挽救黎曼的成果，歐陸數(shù)學(xué)家開始從不同的角度，跳過黎曼的應(yīng)用黎曼曲面的解析方法，換了幾何方法，代數(shù)方法，重新證明黎曼結(jié)論的正確性。

黎曼之后，克萊布什，哥爾丹，馬克斯諾特延續(xù)經(jīng)典射影幾何的方法角度，將黎曼雙有理代數(shù)幾何進(jìn)行了成就斐然的發(fā)展，取得很多有趣的結(jié)論。

而最重要的是戴德金創(chuàng)造的代數(shù)方向的雙有理代數(shù)幾何！

黎曼雙有理變換建筑在有理數(shù)域上，有理數(shù)域又是一個(gè)代數(shù)概念，已經(jīng)將幾何與代數(shù)聯(lián)系起來，戴德金從此入手，將黎曼雙有理代數(shù)幾何從分析方向用代數(shù)語言重新構(gòu)建了一遍，并推廣到代數(shù)數(shù)域上，用算術(shù)方法證明了黎曼洛赫定理，賦予黎曼雙有理代數(shù)幾何嚴(yán)格的抽象代數(shù)算術(shù)基礎(chǔ)！

這是代數(shù)幾何發(fā)展史上至關(guān)重要的事件，代數(shù)算術(shù)語言統(tǒng)治了幾何！

戴德金的思想經(jīng)過希爾伯特至布爾巴基，這是現(xiàn)代代數(shù)幾何最直接的源頭！

在重構(gòu)黎曼代數(shù)幾何理論同時(shí)，戴德金定義發(fā)展了許多抽象代數(shù)工具，對(duì)抽象代數(shù)的發(fā)展和形成，同時(shí)取得重大成果。

而且，這幾乎是抽象代數(shù)自發(fā)展以來，第一次展現(xiàn)了無與倫比的威力！已經(jīng)開始被數(shù)學(xué)主流接納，成為統(tǒng)治現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)最重要的事件和先聲！

戴德金是現(xiàn)代代數(shù)幾何的直接源頭，就憑這個(gè)功績，他就足以在19世紀(jì)名列前茅！

戴德金第四個(gè)偉大成就，是在數(shù)論上。

他開創(chuàng)了現(xiàn)代代數(shù)數(shù)論！

戴德金與克羅內(nèi)克在數(shù)論中通過引入一般理想論，用抽象代數(shù)的語言，創(chuàng)立了嚴(yán)格意義上的現(xiàn)代代數(shù)數(shù)論！

只憑這一項(xiàng)成就，戴德金就至少足以站在全數(shù)論史上TOP5！

如果說戴德金用抽象代數(shù)算術(shù)語言重構(gòu)黎曼雙有理代數(shù)幾何，意味著抽象代數(shù)對(duì)幾何與分析的統(tǒng)治，那么戴德金開創(chuàng)現(xiàn)代代數(shù)數(shù)論，則意味著抽象代數(shù)對(duì)數(shù)論的統(tǒng)治！

可以說，戴德金是抽象代數(shù)全面統(tǒng)治數(shù)學(xué)的第一個(gè)王者！戴德金宣告了抽象代數(shù)的全面崛起，并預(yù)示了抽象代數(shù)在未來的統(tǒng)治數(shù)學(xué)語言方法工具的至高無上的地位！

就憑這一點(diǎn)，戴德金就比伽羅華強(qiáng)一檔！

戴德金歷來被低估。

他是數(shù)學(xué)史上有數(shù)的大師！

代數(shù)學(xué)上：他是群論到抽象代數(shù)中間的關(guān)鍵性的橋梁，環(huán)域格理想理論的開創(chuàng)者(現(xiàn)代抽象代數(shù)的幾乎全部內(nèi)容都源于戴德金)，抽象代數(shù)最重要的奠基人！沒有戴德金就沒有現(xiàn)代代數(shù)學(xué)并不以為過，全代數(shù)學(xué)史上名列前茅的大師！

分析學(xué)上：戴德金的實(shí)數(shù)理論是集合論的基礎(chǔ)，解決數(shù)學(xué)史前兩次所謂數(shù)學(xué)危機(jī)，為分析學(xué)基礎(chǔ)嚴(yán)格化奠定最重要的基石！

數(shù)論上：戴德金是現(xiàn)代代數(shù)數(shù)論的創(chuàng)始人，現(xiàn)代代數(shù)數(shù)論如今已經(jīng)統(tǒng)治了數(shù)論！

地位上：戴德金是第一個(gè)用抽象代數(shù)工具統(tǒng)治了分析，幾何，數(shù)論的王者級(jí)數(shù)學(xué)家！從數(shù)學(xué)上來說，某種意義上，戴德金是現(xiàn)當(dāng)代數(shù)學(xué)的第一個(gè)王者！他比高斯，魏爾斯特拉斯更有說服力！

如果論硬學(xué)術(shù)成就，戴德金要超過一大批歷史地位比他高的數(shù)學(xué)家！

比如他的老師，數(shù)學(xué)史頂級(jí)大神王子高斯，高斯在幾何上遠(yuǎn)強(qiáng)于戴德金，數(shù)論上強(qiáng)于戴德金，但戴德金在代數(shù)上遠(yuǎn)強(qiáng)于高斯，分析上強(qiáng)于高斯！看下來，戴德金還比高斯的略強(qiáng)一籌！

很反直覺，不是嗎？但這就是事實(shí)。

戴德金歷來被低估，原因很多。

第一，一般理論誕生后，其理論就變成次要和邊緣化了?？低袪柤险摰恼Q生，讓戴德金皮亞諾的實(shí)數(shù)理論自然數(shù)公理集合基礎(chǔ)理論退居次要；諾特抽象代數(shù)誕生后，戴德金的理論被納入抽象代數(shù)范疇，成為組成部分。這也直接拉低了戴德金的地位。

第二，戴德金的思想原創(chuàng)力和洞察力，想象力不如許多開創(chuàng)者大神。比如戴德金用抽象代數(shù)語言重構(gòu)了黎曼雙有理代數(shù)幾何，但在原始創(chuàng)造力上與黎曼不是一個(gè)數(shù)量級(jí)。比如代數(shù)領(lǐng)域，論實(shí)際成就，戴德金要高于伽羅華，但在開創(chuàng)性的思想上，距離伽羅華差距很遠(yuǎn)。數(shù)學(xué)界最推崇的就是思想的創(chuàng)造和數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)構(gòu)的原創(chuàng)力，這無疑也直接讓戴德金被低估。

第三，戴德金一生淡泊名利，沒有少年早慧的故事宣傳，也沒有驚天動(dòng)地的事跡傳播，基本上也是默默無聞的一個(gè)數(shù)學(xué)家。

但毫無疑問，戴德金是歷史上偉大的數(shù)學(xué)家。

戴德金與黎曼可以說是哥廷根學(xué)派的雙子星座，雖然沒有黎曼那么深刻，但戴德金也絕對(duì)是站在數(shù)學(xué)史前列的數(shù)學(xué)巨星！

附帶提一句，戴德金活了85歲，直到1916年才去世。雖然沒有魏爾斯特拉斯這樣桃李滿園，榮譽(yù)滿身，但也是星光閃閃的一生。戴德金一生淡泊名利，高斯去世時(shí)的抬棺人，狄利克雷的摯友，黎曼的好朋友，為三位大師超級(jí)，全集，一生兢兢業(yè)業(yè)。他的思想和學(xué)術(shù)，隨著康托爾，希爾伯特，諾特的繼承和傳播，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，他為數(shù)學(xué)建立的豐功偉績，永遠(yuǎn)值得后人銘記。