從圓錐曲線（特指橢圓、雙曲線、拋物線）的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，如何去推導(dǎo)與焦點(diǎn)相關(guān)的焦半徑公式、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式及其相關(guān)的結(jié)論，進(jìn)而加以應(yīng)用．

本文不作特別說(shuō)明，橢圓、雙曲線、拋物線都是針對(duì)焦點(diǎn)在  軸上標(biāo)準(zhǔn)方程（其中拋物線考慮標(biāo)準(zhǔn)方程  ），  分別為橢圓或雙曲線的左、右焦點(diǎn)，  是拋物線的焦點(diǎn)，  是相應(yīng)圓錐曲線上的一點(diǎn)．所有的公式推導(dǎo)均以橢圓方程為例，且優(yōu)先考慮左焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相關(guān)公式．雙曲線可以完全類比橢圓的推導(dǎo)過(guò)程得到，特殊情況會(huì)另外說(shuō)明．

焦半徑是指圓錐曲線上任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線段．對(duì)于橢圓與雙曲線上的任意一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)兩條焦半徑；對(duì)于拋物線上的任意一點(diǎn)，焦半徑唯一存在．

設(shè)  是橢圓上任意一點(diǎn)，則有

從而焦半徑

而  ，所以

其中  為橢圓的離心率．

事實(shí)上，在由橢圓的定義推導(dǎo)橢圓方程的過(guò)程中，就已經(jīng)產(chǎn)生了這個(gè)式子，設(shè)  滿足

即

分子有理化得

于是有

(1)(2)兩式相加得

即為橢圓上一點(diǎn)  到橢圓左焦點(diǎn)的距離．

于是我們得到橢圓的焦半徑公式（I）：

同理有雙曲線的焦半徑公式（I）：

當(dāng)點(diǎn)在雙曲線上的不同支上時(shí)，絕對(duì)值里面式子的正負(fù)大家可以自行討論．

拋物線的焦半徑公式可以直接由拋物線的定義得到，即

例1　橢圓  的右焦點(diǎn)為  ，直線  與  軸的交點(diǎn)為  ，在橢圓上存在點(diǎn)  滿足線段  的垂直平分線過(guò)點(diǎn)  ，則橢圓離心率的取值范圍是____．

正確答案是  ．

解　設(shè)  ，則有  ，即

解得

又因?yàn)?/span>  ，所以有

兩邊同除  可解得

由橢圓的焦半徑公式（I）知，已知橢圓上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就很容易求出橢圓的焦半徑長(zhǎng)，但有時(shí)，我們知道的不是橫坐標(biāo)的值，而是焦半徑與  軸形成的角度，我們可以從上面的焦半徑公式（I）出發(fā)去推導(dǎo)由焦半徑與  軸正半軸所成的角  對(duì)應(yīng)的焦半徑公式．

設(shè)  與  軸正半軸形成的角度為  ，則有

整理得  ，于是有

解得

同理可以推得右焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的焦半徑公式

其中，  是焦半徑  與  軸正半軸所成的角，注意，同一個(gè)點(diǎn)與左焦點(diǎn)與右焦點(diǎn)連線形成的焦半徑與  軸正半軸所成的角不是同一個(gè)角，這是與焦半徑公式（I）很不相同的地方，如圖：

于是我們得到橢圓的焦半徑公式（II）：

其中  為焦半徑  與  軸正半軸所成的角．

對(duì)于雙曲線來(lái)說(shuō)，與橢圓類似可以得到雙曲線的焦半徑公式（II），需要注意的是，當(dāng)雙曲線上的點(diǎn)在雙曲線的不同支上時(shí)，焦半徑公式（I）中絕對(duì)值的正負(fù)不同，所以需要分別討論．雙曲線的焦半徑公式（II）：

當(dāng)  在雙曲線的左支時(shí)，有

當(dāng)  在雙曲線的右支時(shí)，有

其中  為焦半徑  與  軸正半軸所成的角．

拋物線的焦半徑公式為：

其中  為焦半徑  與  軸正半軸所成的角．

橢圓的焦半徑公式（II）有兩個(gè)常用的推論：

推論1　橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：

其中  為橢圓的焦點(diǎn)弦，  的傾斜角為  ．

圓錐曲線的焦點(diǎn)弦是指過(guò)某一焦點(diǎn)的直線與該圓錐曲線相交得到的兩個(gè)交點(diǎn)之間的線段．當(dāng)該弦與  軸（橢圓的長(zhǎng)軸，雙曲線的實(shí)軸）垂直時(shí)，得到的弦我們稱為通徑．因?yàn)榻拱霃焦剑↖I）是與角度相關(guān)的公式，所以我們很容易從它得到橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式．

證明　設(shè)  是過(guò)橢圓左焦點(diǎn)  的焦點(diǎn)弦，  的傾斜角為  ，不妨設(shè)  點(diǎn)在  軸上方，如圖：

由焦半徑公式（II）知

于是

這就是橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，容易知道，對(duì)于經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的弦，此公式同樣適用．

事實(shí)上，對(duì)于雙曲線，同樣有推論1，即雙曲線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：

其中  為雙曲線的焦點(diǎn)弦，  的傾斜角為  ．不論  兩點(diǎn)在雙曲線的同支還是異支上，都有這個(gè)公式成立，只是絕對(duì)值中的式子正負(fù)有所不同．

拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式更為簡(jiǎn)單，即

其中  是拋物線的焦點(diǎn)弦，  的傾斜角為  ．

例2　橢圓  ，  為橢圓上四個(gè)不同的點(diǎn)，  都不和  軸垂直，且分別過(guò)  ，  ，求證：  為定值．

解　設(shè)  的傾斜角為  ，則  的傾斜角為  ，則由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式知

所以

為定值．

推論2　橢圓的焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)所分成的兩段線段長(zhǎng)的調(diào)和平均數(shù)為定值（即焦半徑的倒數(shù)和為定值）．

證明　由焦半徑公式（I）知

于是我們知道  與  的調(diào)和平均數(shù)為定值，即

這個(gè)定值就是半通徑長(zhǎng)  ，由均值不等式易知橢圓的所有焦點(diǎn)弦中，通徑長(zhǎng)最短．

幾道練習(xí)：

練習(xí)1　橢圓  的焦點(diǎn)為  和  ，點(diǎn)  在橢圓上，如果線段  的中點(diǎn)在  軸上，求  的值．

練習(xí)2　橢圓  的左右焦點(diǎn)分別為  ，過(guò)  的直線交橢圓于  兩點(diǎn)，過(guò)  的直線交橢圓于  兩點(diǎn)，  ，求四邊形  面積的取值范圍．

答案

練習(xí)1　  ．

提示　設(shè)  ，則  ，于是

于是  ．

練習(xí)2　  ．

提示　設(shè)  的傾斜角為  ，則  的傾斜角為  ，于是

四邊形  的面積

練習(xí)3

備注1　橢圓的焦半徑公式（I）是從橢圓的第一定義向第二定義過(guò)渡的重要橋梁，可以通過(guò)橢圓的焦半徑公式（I）去發(fā)掘橢圓的第二定義．由焦半徑公式（I）知

設(shè)直線  ：  ，稱為橢圓的左準(zhǔn)線，記點(diǎn)  到  的距離為  ，則有

即橢圓上任一點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離與到左準(zhǔn)線的距離的比為定值，這個(gè)值為橢圓的離心率  ．同樣地有橢圓的右準(zhǔn)線

于是有，橢圓上的任意點(diǎn)到橢圓的焦點(diǎn)與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離的比值為定值  ．對(duì)于雙曲線也有類似的結(jié)論，雙曲線的準(zhǔn)線方程為

雙曲線上任意點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離的比也為定值  ，即為雙曲線的離心率．

同時(shí)，平面上到定點(diǎn)  與到定直線  （其中  ）的距離比為定值  （其中  ）的軌跡為橢圓、雙曲線或拋物線，取決于  的大小．當(dāng)  時(shí)為橢圓，當(dāng)  時(shí)為拋物線，當(dāng)  時(shí)為雙曲線．

從而有圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面上到一個(gè)定點(diǎn)的距離與到一條定直線（其中定點(diǎn)不在直線上）的距離的比為定值  的點(diǎn)的軌跡為圓錐曲線，  時(shí)這個(gè)定義就是拋物線的定義，當(dāng)  的范圍在  與  上時(shí)，對(duì)應(yīng)的定義被稱為橢圓與雙曲線的第二定義．

備注2　由橢圓的焦半徑公式（II）很容易得到橢圓的極坐標(biāo)方程：

以橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)  為極點(diǎn)，以  軸正半軸方向?yàn)闃O軸方向建立極坐標(biāo)系，

則橢圓上任意一點(diǎn)  的坐標(biāo)  滿足：

這就是橢圓的極坐標(biāo)方程，注意如果以橢圓的右焦點(diǎn)為極點(diǎn)，  軸正方向?yàn)闃O軸建立極坐標(biāo)系，得到的極坐標(biāo)方程為