如果圓錐曲線的一條弦所在的直線經(jīng)過焦點，則稱此弦為焦點弦。圓錐曲線的焦點弦問題涉及到離心率、直線斜率（或傾斜角）、定比分點（向量）、焦半徑和焦點弦長等有關(guān)知識。焦點弦是圓錐曲線的“動脈神經(jīng)”，集數(shù)學(xué)知識、思想方法和解題策略于一體，倍受命題人青睞，在近幾年的高考中頻頻亮相，題型多為小題且位置靠后屬客觀題中的壓軸題，也有作為大題進行考查的。本文介紹圓錐曲線有關(guān)焦點弦問題的幾個重要公式及應(yīng)用，與大家交流。

定理1  已知點是離心率為的圓錐曲線的焦點，過點的弦與的焦點所在的軸的夾角為，且。（1）當(dāng)焦點內(nèi)分弦時，有；（2）當(dāng)焦點外分弦時（此時曲線為雙曲線），有。

證明  設(shè)直線是焦點所對應(yīng)的準(zhǔn)線，點在直線上的射影分別為，點在直線上的射影為。由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得，，又，所以。

（1）       當(dāng)焦點內(nèi)分弦時。

如圖1，，所以。

圖1

（2）       當(dāng)焦點外分弦時（此時曲線為雙曲線）。

如圖2，，所以。

圖2

評注  特別要注意焦點外分焦點弦（此時曲線為雙曲線）和內(nèi)分焦點弦時公式的不同，這一點很容易不加區(qū)別而出錯。

例1（2009年高考全國卷Ⅱ理科題）已知雙曲線的右焦點為，過且斜率為的直線交于兩點。若，則的離心率為（ ）

解  這里，所以，又，代入公式得，所以，故選。

例2（2010年高考全國卷Ⅱ理科第12題）已知橢圓的離心率為。過右焦點且斜率為的直線于相交于兩點，若，則（   ）

解  這里，，設(shè)直線的傾斜角為，代入公式得，所以，所以，故選。

例3 （08高考江西卷理科第15題）過拋物線的焦點作傾斜角為的直線，與拋物線交于兩點（點在軸左側(cè)），則有＿＿＿＿

圖3

解 如圖3，由題意知直線與拋物線的地稱軸的夾角，當(dāng)點在軸左側(cè)時，設(shè)，又，代入公式得，解得，所以。

例4 （2010年高考全國卷Ⅰ理科第16題）已知是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交于點，且，則的離心率為＿＿＿

解  設(shè)直線與焦點所在的軸的夾角為，則，又，代入公式得，所以。

例5（自編題）已知雙曲線的離心率為，過左焦點且斜率為的直線交的兩支于兩點。若，則＿＿＿

解  這里，，因直線與左右兩支相交，故應(yīng)選擇公式，代入公式得，所以所以，所以。

定理2  已知點和直線是離心率為的圓錐曲線的焦點和對應(yīng)準(zhǔn)線，焦準(zhǔn)距（焦點到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為。過點的弦與曲線的焦點所在的軸的夾角為，則有。

證明  設(shè)點在準(zhǔn)線上的射影分別為，過點作軸的垂線交直線于點，交直線于點。由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得，，所以。

圖4

（1）當(dāng)焦點內(nèi)分弦時。如圖4，，。，

所以較長焦半徑，較短焦半徑。

所以。

（2）當(dāng)焦點外分弦時（此時曲線為雙曲線）。

圖5

如圖5，，。

所以，

所以較長焦半徑，較短焦半徑。

所以。

綜合（1）（2）知，較長焦半徑，較短焦半徑。焦點弦的弦長公式為。

特別地，當(dāng)曲線為無心曲線即為拋物線時，焦準(zhǔn)距就是徑之半，較長焦半徑，較短焦半徑，焦點弦的弦長公式為。當(dāng)曲線為有心曲線即為橢圓或雙曲線時，焦準(zhǔn)距為。

注  由上可得，當(dāng)焦點內(nèi)分弦時，有 。當(dāng)焦點外分弦時，有 。

例6 （2009年高考福建卷理科第13題）過拋物線的焦點作傾斜角為的直線，交拋物線于兩點，若線段的長為8，則＿＿＿

解  由拋物線焦點弦的弦長公式為得，，解得。

例7（2010年高考遼寧卷理科第20題）已知橢圓的右焦點為，經(jīng)過且傾斜角為的直線與橢圓相交于不同兩點，已知。

（1）求橢圓的離心率；（2）若，求橢圓方程。

解  （1）這里，，由定理1的公式得，解得。

（2）將，代入焦點弦的弦長公式得，，解得，即，所以①，又，設(shè)，代入①得，所以，所以，故所求橢圓方程為。

例8（2007年重慶卷第16題）過雙曲線的右焦點作傾斜角為的直線，交雙曲線于兩點，則的值為＿＿＿

解  易知均在右支上，因為，離心率，點準(zhǔn)距，因傾斜角為，所以。由焦半徑公式得，

。

例9 （由2007年重慶卷第16題改編）過雙曲線的右焦點作傾斜角為的直線，交雙曲線于兩點，則的值為＿＿＿

解  因為，離心率，點準(zhǔn)距，因傾斜角為，所以。注意到分別在雙曲線的兩支上，由焦半徑公式得， 。

例10  （2007年高考全國卷Ⅰ）如圖6，已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，過的直線交橢圓于兩點，且。求四邊形面積的最小值。

圖6

解  由方程可知，，則。

設(shè)直線與軸的夾角為，因為，所以直線與軸

的夾角為。代入弦長公式得，

，。故四邊形的面積為，。

所以四邊形面積的最小值為。

參考文獻：