《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究》2018.8發(fā)表了唐小勃老師的一篇文章“談數(shù)學(xué)教材證明等邊對等角的方法不合理的原因”。該文認為，人教版初中數(shù)學(xué)教材（八年級上冊）證明等腰三角形的性質(zhì)“等邊對等角”時用到了三角形全等的判定條件SSS，而“歐氏幾何中SSS的判定定理是由等邊對等角推出”，據(jù)此認為教材中的證明構(gòu)成了循環(huán)論證。在與其他一些老師交流過程中，筆者也感到有些老師對歐氏幾何，以及初中幾何與歐氏幾何的關(guān)系等問題存在著一定誤讀。本文就此談一點個人的理解。

幾何知識的產(chǎn)生是人類實踐活動的產(chǎn)物。早期階段的幾何知識大都是粗淺、直觀、經(jīng)驗性和零散的。公元前7世紀左右古希臘時代，埃及的幾何知識傳入希臘，隨后眾多希臘學(xué)者不僅發(fā)現(xiàn)了許多新的幾何問題，而且開始把邏輯學(xué)的思想方法引入幾何研究，對幾何問題進行了一些邏輯推理和證明，但存在的一個很大問題是：缺乏系統(tǒng)性。為此很多希臘學(xué)者進行了嘗試和探索，力圖將幾何結(jié)論排成一個邏輯鏈條。公元前3世紀，數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid，活動于約公元前300）對前人的研究成果進行了大量且卓有成效的整理和研究，編寫出對后世幾何學(xué)發(fā)展具有深遠影響的鴻篇巨制——13卷本的《原本》（Elements）。歐幾里得在編寫《原本》時，采用了一種前所未有的獨特方式：在第1卷開始他首先提出23個定義，之后提出5個公設(shè)、5個公理（近代數(shù)學(xué)不再區(qū)分“公設(shè)”和“公理”，都稱為公理），后面各卷不再列出其他公設(shè)和公理。在此基礎(chǔ)上，他先證明第１個命題（定理）；然后，又依據(jù)這些公設(shè)、公理、定義及已證的第１個命題證明第２個命題，如此循序漸進，直至證明所有的命題。

《原本》的最大貢獻在于，它建立了一個由定義、公設(shè)、公理，以及所有定理組成的邏輯體系；對每一定理不僅僅作出了證明，更重要的，它是在這種邏輯體系中作出的證明。這種編寫方式具有十分明顯的優(yōu)越性，每一個定理都與前一個定理有著十分清晰而明確的聯(lián)系，可以避免循環(huán)論證。

《原本》13卷中，第5，7，8，9，10卷主要講述比例和算術(shù)理論，其余各卷都是講述幾何內(nèi)容的。

《原本》集當時希臘數(shù)學(xué)之大成，開公理化方法之先河，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上具有劃時代的意義；同時，它開啟了人類思維的一場革命，是科學(xué)思想史上的一個里程碑；它對數(shù)學(xué)及其他科學(xué)乃至人類的思想所產(chǎn)生的巨大推動作用是其他著作無法取代的。

《原本》問世后，各種文字的手抄本流傳了1700多年；以后又以印刷本的形式出了1000多版。

1607年，明代數(shù)學(xué)家徐光啟（1562—1633）與意大利傳教士利瑪竇合作，將德國人克里斯托弗·克拉維烏斯校訂增補的拉丁文本《歐幾里得原本》（15卷，1574）前6卷譯成中文出版，并定名為《幾何原本》，幾何的中文名稱即由此而來。1857年，中國科學(xué)家李善蘭與英國人偉烈亞力根據(jù)《原本》的另一種英文版本將后9卷合譯出版。

在《原本》的5個公設(shè)中，第五公設(shè)是一個非常重要的命題，其內(nèi)容是：如果兩條直線與另一條直線相交，所成的同側(cè)內(nèi)角的和小于兩直角，那么這兩條直線在這一側(cè)必相交。這一公設(shè)語句較長，表述復(fù)雜，遠不像前4條公設(shè)那樣簡單明了，因此有數(shù)學(xué)家研究用一個更簡單明了的等價命題來替代它，其中最簡明的等價命題是“在平面內(nèi)過已知直線外一點，只有一條直線與已知直線平行”。后來，人們把這一與第五公設(shè)等價的命題稱為“歐幾里得平行公理”^[1]。

由于時代的局限性，歐幾里得的《原本》也存在很多缺陷。為此，很多數(shù)學(xué)家對它進行了不懈的研究。1899年，德國數(shù)學(xué)家希爾伯特（David Hilbert，1862—1943）的《幾何基礎(chǔ)》出版，書中第一次給出了完備的歐幾里得幾何的公理系統(tǒng)：[2]

列出了三個基本對象（點、直線、平面）；提出了三個基本關(guān)系（結(jié)合關(guān)系——點在直線上、點在平面上；順序關(guān)系——一點在另兩點之間；合同關(guān)系——兩線段合同、兩角合同）；規(guī)定了5五組公理（結(jié)合公理、順序公理、合同公理、平行公理和連續(xù)公理，共20條）。基本對象與基本關(guān)系統(tǒng)稱為基本概念，它們是不加定義的，只受5組公理的制約。

從此，人們把以歐幾里得平行公理為基礎(chǔ)的幾何學(xué)稱為“歐幾里得幾何學(xué)”（Euclidean geometry），簡稱“歐氏幾何”^[1]。歐氏幾何由歐幾里得創(chuàng)立，最終由希爾伯特得以完善，它是滿足希爾伯特公理系統(tǒng)中的結(jié)合公理、順序公理、合同公理、連續(xù)公理、歐幾里得平行公理，以及由其導(dǎo)出的一切命題組成的幾何體系。

在對《原本》的研究過程中，很多數(shù)學(xué)家感覺第五公設(shè)不像一條公設(shè)，而更像一個需要證明的定理。于是，他們投入了大量精力，尋找證明第五公設(shè)的方法，但一直到19世紀初，這些努力都失敗了。鑒于此，有數(shù)學(xué)家開始懷疑第五公設(shè)證明方法的存在性！其中，俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基（Nikolas lvanovich Lobachevsky，1792—1856）就是這些數(shù)學(xué)家的杰出代表。于是他改變了研究方法：否定第五公設(shè)，把第五公設(shè)改換成“在平面內(nèi)過已知直線外一點，至少有兩條直線與已知直線平行”，同時保留歐幾里得第五公設(shè)以外的其他公設(shè)和公理，這樣推導(dǎo)下去如果出現(xiàn)矛盾，則說明對第五公設(shè)的否定是錯誤的，進而也就間接證明了第五公設(shè)；反之，如果推導(dǎo)不出矛盾，則說明“第五公設(shè)是可以證明的定理”的觀點是錯誤的，也就說明了第五公設(shè)是不可證明的。按照這種思路進行研究之后，羅巴切夫斯基得到了一系列全新的、無邏輯矛盾的命題。19世紀二三十年代，羅巴切夫斯基將這一新的幾何學(xué)說公之于眾。后人把羅巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)的這種不同于歐幾里得幾何學(xué)的新幾何學(xué)，稱為“羅巴切夫斯基幾何學(xué)”，簡稱“羅氏幾何”，而“在平面內(nèi)過已知直線外一點，至少有兩條直線與已知直線平行”則被稱為“羅巴切夫斯基平行公理”[1]。1854年，德國數(shù)學(xué)家黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826—1866）又提出了一種既非歐氏幾何又非羅氏幾何的新的幾何學(xué)。

羅巴切夫斯基和黎曼的幾何學(xué)，都是不同于歐幾里得幾何學(xué)的幾何體系，因此被統(tǒng)稱為“非歐幾何”。它們與歐氏幾何的最主要區(qū)別是：在公理體系中采用了不同的平行公理。

用希爾伯特的結(jié)合公理、順序公理、合同公理、連續(xù)公理，加上歐幾里得平行公理可以推出歐氏幾何的全部內(nèi)容；用希爾伯特的結(jié)合公理、順序公理、合同公理、連續(xù)公理，加上羅巴切夫斯基平行公理可以推出羅氏幾何的全部內(nèi)容。而只涉及結(jié)合公理、順序公理、合同公理、連續(xù)公理的內(nèi)容稱為絕對幾何，它是這兩種幾何的公共部分。[1]

作為現(xiàn)代中學(xué)數(shù)學(xué)課程的一部分，我國的中學(xué)平面幾何課程內(nèi)容主要脫胎于歐幾里得《幾何原本》中的平面幾何部分。例如，從20世紀30年代直到50年代初，我國很多中學(xué)使用的譯自國外的3S平面幾何教材，就是《幾何原本》中平面幾何部分的改寫本；人民教育出版社成立初期出版的自己編寫的平面幾何教材，內(nèi)容也是類比著《幾何原本》[3]。

從20世紀60年代初開始，我國的平面幾何課程在內(nèi)容編排上發(fā)生了一些變化：使用了較多的“公理”，并將平行線的內(nèi)容安排到三角形內(nèi)容的前面。此后，盡管我國的平面幾何課程內(nèi)容歷經(jīng)多次變革，但其設(shè)計思路并未發(fā)生大的改變，即采用擴大的公理體系（把一些原本不是公理的命題作為公理來使用），在保證前因后果的邏輯順序的前提下，由簡到繁展開相關(guān)圖形的學(xué)習(xí)。

需要強調(diào)的是，決定幾何體系歐氏屬性的，關(guān)鍵是其遵循的平行公理，而非其內(nèi)容的展開順序。比如，早年引進的3S平面幾何教材與后來國內(nèi)自己編寫的平面幾何教材，盡管它們在內(nèi)容選取、編排順序等方面有很大不同，但無疑都屬于歐氏幾何的范疇。

現(xiàn)行的初中平面幾何課程內(nèi)容是由教育部制定的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課程標準（2011年版）》）規(guī)定的。具體來說，《課程標準（2011年版）》在其第三學(xué)段（7~9年級）的“圖形與幾何”部分，列出以下9條基本事實，作為義務(wù)教育階段圖形性質(zhì)證明的出發(fā)點：[4]

（1）兩點確定一條直線。

（2）兩點之間線段最短。

（3）過一點有且只有一條直線與這條直線垂直。

（4）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行。

（5）過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行。

（6）兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等（SAS）。

（7）兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等（ASA）。

      （8）三邊分別相等的兩個三角形全等（SSS）。

（9）兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。

從這9條基本事實出發(fā)，證明有關(guān)相交線與平行線、三角形、平行四邊形、圓的幾十個定理。

《課程標準（2011年版）》把上述9條稱為“基本事實”，而不稱為“公理”，其主要原因是其中大多數(shù)都是歐氏幾何中的定理，而且它們也不具有公理體系所應(yīng)有的獨立性和完備性。

我國目前各版本的初中數(shù)學(xué)教材都是依據(jù)《課程標準（2011年版）》進行編寫的。對平面幾何內(nèi)容的處理，也都毫無例外地以上述9條基本事實作為相關(guān)幾何證明的出發(fā)點。

如前所述，我國目前各版本的初中數(shù)學(xué)教材都是依據(jù)《課程標準（2011年版）》進行編寫的。判定三角形全等的命題SAS，ASA，SSS在教材中是作為證明出發(fā)點的“基本事實”，以此為依據(jù)證明等腰三角形的性質(zhì)“等邊對等角”，這在《課程標準（2011年版）》所確定的幾何體系下完全合乎邏輯，不存在任何問題。有老師認為教材在這里是循環(huán)論證，其關(guān)鍵理由是“歐氏幾何中SSS的判定定理是由等邊對等角推出”。這種觀點存在兩個問題：

第一，混淆了作為幾何學(xué)體系的“歐氏幾何”與闡述歐氏幾何的具體圖書（教材）的區(qū)別。歐氏幾何是以歐幾里得平行公理為基礎(chǔ)的幾何學(xué)體系；而闡述歐氏幾何的圖書（教材）可以因所選內(nèi)容、編排順序等不同表現(xiàn)各異。歐幾里得《幾何原本》中“SSS的判定定理是由等邊對等角推出”，并不意味著所有闡述歐氏幾何的圖書（教材）都必須按這樣的順序編排。

第二，混淆了不同圖書（教材）內(nèi)容編排順序的區(qū)別。歐幾里得的《幾何原本》有自己的內(nèi)容編排順序，現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材也有自身的內(nèi)容編排順序，二者分別自成一體。把它們不加區(qū)別、混為一談，用前者去否定后者，這有“關(guān)公戰(zhàn)秦瓊”之嫌！

作者 | 王永會（北京師范大學(xué)出版社）