幾天前在一位朋友那里看到一道簡單的高中函數(shù)題，卻引起了網(wǎng)絡(luò)的激烈爭論，各路“高手”都開始擺事實講道理，“大顯身手”，實際上都暴露了一個很大的“通病”：最基礎(chǔ)方法被完美晾成空擺設(shè)。雖然大家腦海里都應(yīng)該存儲著這最基礎(chǔ)的方法，但是運用時卻像忘得一干二凈了一樣，完全沒有想起調(diào)動出來。

一、函數(shù)題目及正誤解法分析

給出復(fù)合函數(shù)的解析式，求原函數(shù)的定義域。

⒈錯誤解法及分析

①一些人是求出由復(fù)合函數(shù)f(x2-3)的解析式本身的限制，及內(nèi)層函數(shù)u=x2-3本身的值域，取交集共同確定內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，即f(x)的定義域。

他們的依據(jù)是“復(fù)合函數(shù)內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域”。

②一些人還用換元法由f(x2-3)的解析式求出f(x)的解析式。最后由f(x)的解析式本身的限制，再與前面求得的內(nèi)層函數(shù)的取值范圍取交集，即f(x)的定義域。

他們的依據(jù)同上。這種做法在同上面一樣理解反了的情況下，實際上已經(jīng)是多此一舉，白費力做無用功而已。因為上面求出的內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，已經(jīng)經(jīng)過了解析式本身對內(nèi)層函數(shù)u的限制這一關(guān)，這一關(guān)跟f(x)的解析式本身的限制是完全一樣的，多此一舉結(jié)果不會有任何變化：

上面求出的復(fù)合函數(shù)內(nèi)層函數(shù)的取值范圍

=復(fù)合函數(shù)f(x2-3)的解析式本身對內(nèi)層函數(shù)u的限制∩內(nèi)層函數(shù)u=x2-3本身的值域

=f(x)的解析式本身的限制∩復(fù)合函數(shù)內(nèi)層函數(shù)u=x2-3的值域。

網(wǎng)絡(luò)上很多人（包括部分高中數(shù)學(xué)老師）和一些參考書都用了上面這兩種錯誤的解法，當給出下面的正確解法時，他們反而犯難，甚至有被繞暈的感覺，覺得違背了“復(fù)合函數(shù)內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域”的依據(jù)。

依據(jù)本身是對的，但是他們理解錯了，依據(jù)用反了。正確的理解是復(fù)合函數(shù)f(u)內(nèi)層函數(shù)u=x2-3的取值范圍包含于f(x)的定義域，因為內(nèi)層函數(shù)本身值域的限制是它內(nèi)層函數(shù)的對應(yīng)法則自己附加的，但它整體還必須再受到外層函數(shù)的對應(yīng)法則的限制（即f(x)的定義域）。

下面順便看看“復(fù)合函數(shù)內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域”在一些高中數(shù)學(xué)題目中是怎么正確運用的。

一般是給出原函數(shù)的解析式及定義域，求復(fù)合函數(shù)的定義域或值域，而不會給出復(fù)合函數(shù)的解析式，求原函數(shù)的定義域，因為很容易引起誤解，本文也只是淺淺地討論一下。

⒉正確解法

用換元法由f(x2-3)的解析式求出f(x)的解析式，分類討論思想，其中若有定義的f(x)的解析式一致，f(x)解析式本身的限制即f(x)的最大定義域。

二、換個角度春暖花開：最基礎(chǔ)的方法——一般化與特殊化

很多人腦海中簡單地重復(fù)著“復(fù)合函數(shù)內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域”的依據(jù)，理解錯了還一直沉浸在自己錯誤的小世界中無法自拔，只是因為他們把最基礎(chǔ)的方法完全拋之腦后，讓最基礎(chǔ)的方法完全成為了一個空擺設(shè)。

其實只要不總是沉浸在自己個人的小世界中，只需要換個角度，運用一般化與特殊化，即可春暖花開。一般化與特殊化是處理或解決數(shù)學(xué)問題的最基礎(chǔ)的方法之一，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中尤為重要。

復(fù)合函數(shù)f(u)內(nèi)層函數(shù)u=g(x)的本質(zhì)是對一般化函數(shù)f(x)的自變量的特殊化，雖然上面題目中一般情況的f(x)解析式由特殊化后的復(fù)合函數(shù)f(x2-3)解析式用換元法求出，但是f(x)不能等同于復(fù)合函數(shù)外層函數(shù)f(u)，定義域自然也就不等同，本質(zhì)始終是f(x2-3)是特殊情況、f(x)是一般情況。特殊化情況必然包含于一般化情況之內(nèi)，g(x)的值域∩f(x)的定義域=u的取值范圍?f(x)的定義域。

對于一般化函數(shù)f(x)，其特殊化函數(shù)f(u)的u=g(x)可以是任意解析式或表達式，甚至常數(shù)，除了f(x2-3)，還有很多，比如：

f(x3-2x2+3)、f(4x-5)、f(lnx)、f[lg(x2-5x+6)]、f[(x-2)/(3x+4)]、f(x?)、f(e?)、f(sinx)等等。

其特殊化的區(qū)別只在于u=g(x)的值域，在f(x)的定義域的基礎(chǔ)上進一步限制了u的取值范圍。f(x)的定義域始終是那個定義域，并不會因為特殊化復(fù)合函數(shù)內(nèi)層函數(shù)的取值范圍的變化而變化。

下面就以一個最特殊化的情況來再次對照和說明上面的問題：自變量特殊化為常數(shù)，難道一般化函數(shù)的定義域就是這個常數(shù)了？顯然不可能！而是要用到分類討論思想：

這樣一進行“最特殊化”，作為對照，上面的問題也就能得到很好的說明，也就瞬間理解了。

三、深刻反思

⒈概念結(jié)論要真正深刻地理解透徹

很多人對中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念、結(jié)論等等記憶得非常牢固，但是缺乏真正深刻的理解，遇到彎彎繞繞可能就走錯了岔路。數(shù)學(xué)是最具理科性質(zhì)的科目，很多的基礎(chǔ)概念、結(jié)論等等真正深刻理解了，不需要死記硬背，自然而然就在你腦海里根深蒂固了，而運用時在腦海里調(diào)動起來也更為迅捷。不過大家不要誤解，絕對不是喊大家不用去記憶了，記憶還是需要的，雖然很多人一時半刻也沒能理解得那么透徹，但是大多數(shù)的題目都是沒有彎彎繞繞的，所以沒理解透徹也先記著，這樣至少走大多數(shù)的直路先夠用了。

⒉條條大路通羅馬，此路不通彼路通，靈活運用基礎(chǔ)方法，別讓基礎(chǔ)方法成擺設(shè)睡大覺

一些數(shù)學(xué)問題是有多種方法都可以解決的，如果當你對一種方法解決某個問題不是百分之百地確定無誤時，那么換用你確定萬無一失的方法。不要死板地“在一棵樹上吊死”，不要一直握著自認為記憶牢固了，實際上卻運用錯誤了的結(jié)論或方法不放手，還跟大家作一些無謂的激烈爭論，換個角度換條思路換種方法或許遮住眼睛的浮云立即就散了。就像最上面的題，有些人對“復(fù)合函數(shù)內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域”的結(jié)論沒理解透徹，不妨換“一般化與特殊化”來理解，或許就豁然開朗了。

綜上，本來是一道極其簡單的高中數(shù)學(xué)題，因為對基礎(chǔ)結(jié)論的理解不夠透徹，對基礎(chǔ)方法的運用不夠靈活，卻引發(fā)了網(wǎng)絡(luò)的激烈爭論，甚至據(jù)說部分高中數(shù)學(xué)老師都被繞暈，一些參考書都解錯，完全不至于。當然本文只是淺淺地略微討論深刻思考一下，不足之處，請大家多指正交流。