一般地,設A,B是非空的數集,如果按照某種確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應,那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(function),記作y=f(x),x∈A. 其中,x叫做自變量, x的取值范圍A叫做函數的定義域(domain);與x的值相對應的y值叫做函數值,函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域(range).顯然,值域是集合B的子集.
此處的函數概念,我們稱為函數的近代定義.而初中學習的函數概念,稱為函數的傳統(tǒng)定義,內容如下:
設在某個變化過程中,有兩個變量x和y,如果給定了一個x值,相應地確定唯一的一個y值,那么就稱y是x的函數,其中x是自變量,y是因變量.它們描述的是變量之間的依賴關系.
因此,二者的異同點如下:
不同點 傳統(tǒng)定義從變量變化的角度,刻畫兩個變量之間的對應關系;而近代定義,則從集合間的對應關系來刻畫兩個非空數集間的對應關系.
相同點 兩種對應關系滿足的條件是相同的,“變量x的每一個值”以及“集合A中的每一個數”,都有唯一一個“y值”與之對應.
函數的兩種不同定義的異同點解答了教材第19頁【思考】.
(1)A,B必須為非空數集,定義域或值域為空集的函數是不存在的.例如,y= 就不是函數. (2)兩個非空數集間的對應能否構成函數,主要看是否滿足三性:任意性、存在性、唯一性.這是因為函數定義中明確要求對于非空數集A中的任意一個(任意性)元素x,在非空數集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y與之對應.這三性只要有一個不滿足便不能構成函數. (3)集合A是函數的定義域,因為給定A中每一個x值都有唯一的y值與之對應;集合B不一定是函數的值域,因為B中的元素可以沒有與之對應者,即{f(x)|x∈A}?B. (4)符號y=f(x)表示“x對應的函數值”,f表示對應關系.“f(x)”是一個整體,不可分開,也不能理解成“f·x”. 知識點2：函數的三要素
由函數概念知,一個函數的構成要素為定義域、對應關系和值域.
函數的定義域是自變量的取值范圍. 在函數關系式的表述中,函數的定義域有時可以省略,這時就約定這個函數的定義域就是使得這個函數關系式有意義的實數的全體構成的集合.在實際問題中,函數的定義域還要受到自變量實際意義的制約.
對應關系f是函數的核心,它是對自變量x實施“對應操作”的“程序”或者“方法”.按照這一“程序”,從定義域A中任取一個x,可得到值域{y|y=f(x),x∈A}中唯一的y與之對應.同一“f ”可以“操作”不同形式的變量. zhuyi
函數的對應關系主要有圖象、列表、解析式三種形式,尤其以解析式為主.
如何理解對應關系“f ”的含義? 對應關系f,它是函數的本質特征,好比是計算機中的某個“程序”,當f( )的括號內輸入一個值時,在此“程序”作用下便可輸出某個數據,即函數值,如f(x)=3x+5,f表示“自變量的3倍加上5”,如f(4)=3×4+5=17.需要注意的是:這里的“x”既可以是一個數,也可以是一個代數式,還可以是某個函數記號.如f(x)=3x+5,則f(2x-1)=3(2x-1)+5,f(φ(x))=3φ(x)+5等. 函數值域是函數值的集合,通常一個函數的定義域和對應關系確定了,那么它的值域也就隨之確定.
由于值域是由定義域和對應關系決定的,所以確定一個函數只需要兩個要素:定義域和對應關系,即要檢驗給定的兩個變量(變量均為數值)之間是否具有函數關系,只要檢驗: (1)定義域和對應關系是否給出; (2)根據給出的對應關系,自變量x在其定義域中的每一個值,是否都有唯一的函數值y和它對應.
1.f(a)(a∈A)與f(x)的區(qū)別與聯(lián)系 f(a)表示x=a時f(x)的函數值,是其值域內的一個數值,它表示的是常量;f(x)表示自變量為x的函數,它表示的是變量.例如,f(x)=2x表示函數;當x=3時,f(3)=6是一個常量.
2.f(x)與f(x-a)的區(qū)別與聯(lián)系
它們有同一個對應關系f,施加的對象不同,一個是x,一個是x-a.若以x為自變量,它們是不同的函數. 知識點3：函數的相等 只有當兩個函數的定義域和對應關系都分別相同時,這兩個函數才相等,即是同一個函數.
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函數的值域是由定義域和對應關系決定的,因此值域不相同時,兩個函數必不相等.
(1)定義域、對應關系兩者中只要有一個不相同就不是同一個函數.因此,定義域和值域分別相同的兩個函數也不一定相等.如函數f(x)=2x與g(x)=3x的定義域和值域均為R,但是它們的對應關系不同,所以兩個函數不相等. (2)因為函數是兩個數集之間的對應關系,所以用什么字母表示自變量、因變量和對應關系是無關緊要的.例如,f(x)=3x+5與f(t)=3t+5就是同一個函數. (3)對f(x)中x的理解:雖然f(x)=x2和f(x-1)=x2從等號右邊的表達式上看是一樣的,但f施加關系的對象不同(一個為x,而另一個為x-1).令t=x-1,則x=t+1,即f(t)=(t+1)2,故函數f(x-1)=x2對應f(t)=(t+1)2.因此函數f(x)=x2與f(x-1)=x2表示的是不同的函數. 知識點4：區(qū)間
設a,b是兩個實數,而且a<>我們規(guī)定: (1)滿足不等式a≤x≤b的實數x的集合叫做閉區(qū)間,表示為[a,b]; (2)滿足不等式a<><>的實數x的集合叫做開區(qū)間,表示為(a,b); (3)滿足不等式a≤x<>或a<>≤b的實數x的集合叫做半開半閉區(qū)間,分別表示為[a,b),(a,b]. 這里的實數a,b都叫做相應區(qū)間的端點.我們可以在數軸上表示上述區(qū)間,為了區(qū)別開區(qū)間、閉區(qū)間的端點,我們用實心點表示包括在區(qū)間內的端點,用空心點表示不包括在區(qū)間內的端點. 定義 | 名稱 | 符號 | 數軸表示 | {x|a≤x≤b} | 閉區(qū)間 | [a,b] | 
| {x|a<><>} | 開區(qū)間 | (a,b) | 
| {x|a≤x<>} | 半開半閉區(qū)間 | [a,b) | 
| {x|a<>≤b} | 半開半閉區(qū)間 | (a,b] | 
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理解區(qū)間概念時,需注意下列兩點: (1)區(qū)間符號里面的兩個字母(或數字)之間用“,”隔開;
(2)區(qū)間表示實數集的幾條原則:連續(xù)的數集,左端點必須小于右端點,開或閉不能混淆.
實數集R可以用區(qū)間表示為(-∞,+∞),“∞”讀作“無窮大”,“-∞”讀作“負無窮大”,“+∞”讀作“正無窮大”.我們可以把滿足x≥a,x>a,x≤b,x<>的實數x的集合分別表示為[a,+∞),(a,+∞),(-∞,b],(-∞,b). 定義 | 符號 | 數軸表示 | {x|-∞<><>∞} | (-∞,+∞) | 
| {x|x≥a} | [a,+∞) | 
| {x|x>a} | (a,+∞) | 
| {x|x≤b} | (-∞,b] | 
| {x|x<>} | (-∞,b) | 
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“∞”是一個趨向符號,表示無限接近,卻永遠不能到達,不是一個數.因此以“-∞”和“+∞”為區(qū)間的一端時,這一端點必須用小括號.
(1)區(qū)間實質上是一類特殊數集(部分實數組成的集合)的符號表示. (2)集合表示法和區(qū)間表示法都是表示取值范圍的方法.一般地,用哪種方法表示取值范圍應該與原題的表示方法保持一致,在沒有明確的要求下,一般選擇比較簡便的表示法. 知識點5：抽象函數與復合函數（難點） 如果函數y=f(t)的定義域為A,函數t=g(x)的定義域為D,值域為C,則當C?A時,稱函數y=f(g(x))為f(x)與g(x)在D上的復合函數,其中t叫做中間變量,t=g(x)叫做內層函數,y=f(t)叫做外層函數.
由復合函數的定義可知,內層函數的值域是外層函數的定義域或定義域的子集,外層函數的定義域和內層函數的值域共同確定了復合函數的定義域.由此可見, (1)若f(x)的定義域為D,則f(g(x))的定義域是使g(x)∈D有意義的x的集合.若f(g(x))的定義域為D,則g(x)在D上的取值集合即f(x)的定義域. (2)若函數f(x)的定義域為A,在求解復合函數y=f(g(x))的定義域時,要同時滿足兩個條件:①g(x)有意義,即x在函數g(x)的定義域中;②f(x)有意義,即g(x)∈A.
求抽象函數或復合函數的定義域,要明確以下幾點: (1)函數f(x)的定義域是指x的取值范圍所組成的集合. (2)函數f(φ(x))的定義域是指x的取值范圍,而不是φ(x)的范圍. (3)已知f(x)的定義域為A,求f(φ(x))的定義域,其實質是已知φ(x)的取值范圍為A,求出x的取值范圍. (4)已知f(φ(x))的定義域為B,求f(x)的定義域,其實質是已知f(φ(x))中的x的取值范圍為B,求出φ(x)的范圍(值域),此范圍就是f(x)的定義域. (5)同在對應法則f下的范圍相同,即f(t),f(φ(x)),f(h(x))三個函數中的t,φ(x),h(x)的范圍相同. (6)已知f(φ(x))的定義域,求f(h(x))的定義域,先由x的取值范圍,求出φ(x)的取值范圍,即f(x)中的x的取值范圍,再由此確定h(x)的取值范圍,進而根據h(x)的取值范圍求出x的取值范圍. |
