明明是在討論“深度教學(xué)”，怎么又轉(zhuǎn)向“什么樣的數(shù)學(xué)教學(xué)要不得”這樣一個(gè)論題？因?yàn)榫彤?dāng)前而言，大多數(shù)“要不得的數(shù)學(xué)教學(xué)”都屬于“淺度教學(xué)”的范圍，與“深度教學(xué)”構(gòu)成了直接的對(duì)立，所以這一講有益于我們更好地認(rèn)識(shí)“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”，包括我們當(dāng)前究竟為什么要做出這樣的提倡。

為此，先來看這個(gè)問題：什么是數(shù)學(xué)教學(xué)最基本的要求？

目前，人們?cè)谶@方面最普遍的一項(xiàng)共識(shí)是：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)是理解教學(xué)，而不應(yīng)是一種機(jī)械的行為，也即讓學(xué)生通過機(jī)械記憶與簡單模仿來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。這也可以看成“數(shù)學(xué)教育教學(xué)傳統(tǒng)”的一個(gè)核心內(nèi)容。

在美國的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過機(jī)械記憶與簡單模仿來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)十分常見，于是就常常

被戲稱為“美國式數(shù)學(xué)教學(xué)”。例如，在教學(xué)“顛倒相乘”這一分?jǐn)?shù)除法的法則時(shí)，就有美國數(shù)學(xué)教師對(duì)學(xué)生說：“你不用去理解，也不可能理解，只要照著去做就行了。我的老師當(dāng)年也是這樣教我的！”

在中國，總體而言我們?cè)谶@方面做得較好，但情況似乎也正在發(fā)生變化，其中重要的原因之一是校外補(bǔ)習(xí)的盛行。因?yàn)?，校外補(bǔ)習(xí)的一個(gè)普遍特點(diǎn)就是只講結(jié)論與算法而不講道理。也正因此，有很多接受了此類補(bǔ)習(xí)的學(xué)生看上去懂了，也能正確解答相應(yīng)的“常規(guī)性問題”，但很難被看成已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了真正的理解。

以下就是這樣的一個(gè)例子。

【例3】“三角形內(nèi)角和”教學(xué)片斷（丁玉華.經(jīng)歷過程比知道結(jié)果更重要——“三角形的內(nèi)角和”一課的實(shí)踐與思考［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2018（9））

師：關(guān)于三角形的內(nèi)角和，你們已經(jīng)知道了什么？

生：三角形的內(nèi)角和是180度。

（全班學(xué)生沒有一個(gè)不舉手的，回答問題時(shí)還“得意洋洋”）

師：你們都認(rèn)為是180 度？（所有學(xué)生點(diǎn)頭）我不信！

師：（課件依次出示圖1、圖2）請(qǐng)看大屏幕，這兩個(gè)三角形的內(nèi)角和分別是多少度？

生：都是180度。

生：三角形不管什么形狀，不管多大多小，內(nèi)角和永遠(yuǎn)都是180度。（全班學(xué)生依舊“自信滿滿”）

師：（出示圖3）繼續(xù)看大屏幕，如果在下面的三角形中添一條線，將它們分開，現(xiàn)在這兩個(gè)小三角形的內(nèi)角和分別是多少度呢？

（有的學(xué)生說90度，瞬間又改口說180度；也有學(xué)生說180度，但顯然“口氣不硬了”）

師：（出示圖4）每個(gè)小三角形的內(nèi)角和是多少度？把這兩個(gè)小三角形拼成一個(gè)大三角形，所得大三角形的內(nèi)角和是多少度？

（有的學(xué)生說360 度，瞬間又改口說180度；也有學(xué)生說180度，顯然猶豫不定）

一些做法在形式上似乎有所不同，但事實(shí)上也都應(yīng)被看成“要不得的數(shù)學(xué)教學(xué)”，如將數(shù)學(xué)等同于各個(gè)孤立知識(shí)的簡單匯集，而沒有認(rèn)識(shí)到應(yīng)將它們聯(lián)系起來加以考察。按照現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)，“理解”無非就是指新學(xué)習(xí)的知識(shí)與主體已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)之間建立了直接的聯(lián)系（包括“同化”與“順應(yīng)”）；其程度也完全取決于“聯(lián)系”的數(shù)目和強(qiáng)度：“如果潛在地相關(guān)的各個(gè)概念的心理表征中只有一部分建立起了聯(lián)系，或所說的聯(lián)系十分脆弱，這時(shí)的理解就是很有限的……隨著網(wǎng)絡(luò)的增長或聯(lián)系由于強(qiáng)化的經(jīng)驗(yàn)或網(wǎng)絡(luò)的精致化得到了加強(qiáng)，這時(shí)理解就增強(qiáng)了?！保ㄏ柌卣Z）

再者，以下的幾何教學(xué)也應(yīng)被看成完全“要不得的”，即始終停留于所謂的“直觀幾何”，也即對(duì)概念和圖形的直觀感知，卻沒有認(rèn)識(shí)到我們必須超越直觀從而更深入地研究各個(gè)圖形的特征性質(zhì)及其內(nèi)在聯(lián)系。按照范·希爾夫婦關(guān)于幾何思維發(fā)展水平的分析，“直觀”是最低的一個(gè)層次（其他幾個(gè)層次分別是：水平2，描述/分析；水平3，抽象/關(guān)聯(lián)；水平4，形式推理；水平5，嚴(yán)密性/元數(shù)學(xué)），從而也就清楚地表明了超越這一水平的重要性。

綜上可見，“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”最基本的一個(gè)意義是指，數(shù)學(xué)教學(xué)一定要講道理，讓學(xué)生真正做到理解，并能很好地實(shí)現(xiàn)對(duì)于日常經(jīng)驗(yàn)與直觀感知的必要超越。

正因?yàn)樯鲜稣J(rèn)識(shí)主要代表了數(shù)學(xué)教育教學(xué)的固有傳統(tǒng)，所以我們必須針對(duì)不同情況對(duì)此做出進(jìn)一步的研究。在此特別強(qiáng)調(diào)這樣幾點(diǎn)。

第一，圍繞教學(xué)方法的改革中，一度出現(xiàn)的“形式主義”應(yīng)被看成一種“淺度教學(xué)”。

例如，如果教師關(guān)于“搭配問題”“握手問題”“植樹問題”的教學(xué)始終停留于相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)情境，這時(shí)學(xué)生獲得的就不是真正的數(shù)學(xué)知識(shí)，而只是一種表面的理解。

又如，“為合作而合作”“為討論而討論”顯然也可被看成這樣的實(shí)例，即課堂上十分熱鬧，但對(duì)大多數(shù)學(xué)生而言，很難在數(shù)學(xué)上有真正的收獲。

第二，從“努力提升學(xué)生的核心素養(yǎng)”這一立場進(jìn)行分析，僅僅注意了學(xué)生的動(dòng)手，卻忽視了應(yīng)通過動(dòng)手促進(jìn)學(xué)生積極地動(dòng)腦，也應(yīng)被看成“淺度教學(xué)”在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的又一表現(xiàn)。

這里所說的“動(dòng)手”，不僅指具體的實(shí)物操作，還包括各種數(shù)學(xué)運(yùn)作（如數(shù)學(xué)計(jì)算）。例如，在實(shí)際從事計(jì)算前，學(xué)生并沒有認(rèn)真去思考為什么要進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，導(dǎo)致盡管相關(guān)計(jì)算取得了某些結(jié)果，但對(duì)解決面臨的問題沒有任何作用，出現(xiàn)“盲目干”的現(xiàn)象。

總之，這是數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)切實(shí)糾正的現(xiàn)象：我們的學(xué)生一直在做，一直在算，一直在動(dòng)

手，但就是不想！

第三，如果缺乏清醒的認(rèn)識(shí)，那么即使是“問題解決”的具體實(shí)踐，也可能出現(xiàn)同樣的問題。

在解題活動(dòng)與內(nèi)在思維之間存在十分重要的聯(lián)系，如我們應(yīng)當(dāng)使用怎樣的解題方法，又應(yīng)如何對(duì)得出的結(jié)論作出論證，以及結(jié)論與方法的適當(dāng)推廣與必要優(yōu)化等。只有圍繞這些問題進(jìn)行深入思考，相應(yīng)的解題行為才能被看成真正的數(shù)學(xué)活動(dòng)，即由單純的“問題解決”過渡到“數(shù)學(xué)地思維”，包括由此提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

我們也可從同一角度對(duì)其他一些做法作出具體分析，如通過組織學(xué)生參與各種他們感興趣的游戲來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。這也就是指，無論教學(xué)中采取了怎樣的活動(dòng)形式，我們都不應(yīng)忘記通過活動(dòng)促進(jìn)學(xué)生積極地“動(dòng)腦”，更不應(yīng)認(rèn)為學(xué)生只需參與各種“數(shù)學(xué)活動(dòng)”就可學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)，或是認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展可歸結(jié)為“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的簡單積累。這些都應(yīng)被看成“淺度教學(xué)”的具體表現(xiàn)，應(yīng)通過提倡“深度教學(xué)”切實(shí)地予以糾正。

最后，社會(huì)發(fā)展，特別是科學(xué)技術(shù)的飛速進(jìn)步對(duì)數(shù)學(xué)教育提出了更高的要求，直接賦予了“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”另外一些含義。例如，“深度教學(xué)”這一概念本身就源自現(xiàn)代的人工智能研究。由美國普利策獎(jiǎng)三度得主弗里德曼在《謝謝你遲到——以慢制勝，破題未來格局》一書中提到的以下一些觀點(diǎn)，我們可以更清楚地認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)：

這是社會(huì)變化對(duì)教育的最大影響：“隨著流動(dòng)的速度加快，它會(huì)漸漸掏空過去給我們帶來安全和財(cái)富的存量知識(shí)?！薄澳阍趯W(xué)校里學(xué)到的那些知識(shí)，可能你還沒有出學(xué)校的大門，就已經(jīng)變得過時(shí)了?！蔽覀儽仨殹爸匦滤伎嘉覀兊膶W(xué)生究竟需要哪些新的技能或態(tài)度，才能找到工作、保住工作”。

首先，我們必須樹立終身學(xué)習(xí)的思想，并切實(shí)提高自身在這一方面的能力：“你必須知道更多，你必須更加頻繁地更新知識(shí)，你必須運(yùn)用知識(shí)做更多創(chuàng)造性的工作，而不僅僅是完成常規(guī)工作?！逼浯?，我們應(yīng)特別重視長時(shí)間思考與反思：“世界變化得越快……對(duì)我們生活方方面面改變得越多，每個(gè)人就越需要放慢速度……當(dāng)你按下一臺(tái)機(jī)器的暫停鍵時(shí)，它就停止運(yùn)轉(zhuǎn)了。但是，當(dāng)一個(gè)人給自己暫停一下的時(shí)候，他就重新開始了。你開始反思，你開始重新思考你的假設(shè)前提，你開始以一種新的角度重新設(shè)想什么是可能做到的，而且，最重要的是，你內(nèi)心開始與你內(nèi)心深處最堅(jiān)定的信仰重新建立聯(lián)系……”再者，我們應(yīng)清楚地認(rèn)識(shí)學(xué)會(huì)合作的重要性：“到了21世紀(jì)，我們大部分人將與他人一同協(xié)作，相互提供服務(wù)……我們必須意識(shí)到，工作的固有尊嚴(yán)來自人與人的關(guān)系，而非人與物的關(guān)系。我們必須意識(shí)到，好的工作就是與他人溝通交流，理解他們的期許與需求……”

綜上可見，“深度教學(xué)”不只是數(shù)學(xué)教育的內(nèi)在要求，也是對(duì)“淺度教學(xué)”的必要糾正，更是社會(huì)進(jìn)步對(duì)于數(shù)學(xué)教育的更高訴求。對(duì)此，我們將在后面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐做出進(jìn)一步的論述。

相關(guān)鏈接：

534. 鄭毓信：“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”十講之一 ——從“數(shù)學(xué)教育目標(biāo)”講起

538.鄭毓信：“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”十講之二 ——“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”的具體涵義