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斐波那契數(shù)列是一種遞歸序列，序列中每一個數(shù)字都是通過將前兩個數(shù)字相加而產(chǎn)生的。0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377， 610、987 ...黃金分割率和斐波那契數(shù)列的數(shù)學聯(lián)系緊密。 斐波那契數(shù)列的發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列是由一位13世紀的意大利比薩的數(shù)學家列奧納多·斐波那契發(fā)現(xiàn)的，他的功績還包括在整個歐洲大部分地區(qū)推廣了印度-阿拉伯數(shù)字系統(tǒng)。 斐波那契的書《Liber abaci》（1202年）還解決了許多有的數(shù)學問題。這些問題之一就論及兔子的繁殖速度相關(guān)的問題： 假設整個過程中沒有兔子死亡，并且雌兔總是繁殖出一對仔兔且雌雄各一。兔子可以在一個月大的時候繁殖，所以在第二個月月底，雌性仔兔可以生下另一對兔子。每個月初兔子的總數(shù)遵循以下模式：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144，依此類推。每個數(shù)字都是前兩個數(shù)字的和，數(shù)字很快變大，并且序列是無限的。 直到很久以后，法國數(shù)學家愛德華·盧卡斯（Edouard Lucas）在研究自己的相似數(shù)字序列并對斐波那契的描述進行更詳細的研究之后，才明白了這些數(shù)字的意義，因此他給斐波那契數(shù)列定了名。繼盧卡斯的研究之后，在自然界中越來越多地觀察到這些數(shù)字所描述的規(guī)律，從松果的螺旋片狀結(jié)構(gòu)、花椰菜上的小花到向日葵上的種子排列的方式。實際上該序列描述的東西比兔子的繁殖模式復雜得多。 自然增長模式斐波那契數(shù)列似乎總是與自然界的增長規(guī)律有關(guān)。 這種規(guī)律適用于所有生物的生長，從單個植物細胞到蜜蜂的繁殖；大自然依靠簡單的規(guī)律來構(gòu)建極其復雜，而且通常很漂亮的構(gòu)造，斐波那契數(shù)列正反映了這一點。直到1993年，斐波那契數(shù)才被科學證明存在于自然界中。 黃金比例與斐波納契數(shù)列密切相關(guān)的是黃金比例。黃金比例似乎是人類潛意識進行審美過程中識別出的一種模式，這意味著人腦中對于黃金比例非常敏感，復合黃金比例的視覺模式可以激發(fā)人類的審美情緒（某種神經(jīng)和諧狀態(tài)）。 黃金比例可以通過在唯一點處劃分線段來得出，在該唯一點處，整條線與最大段的比例與大段與小段的比例相同。如下圖所示。  上圖：黃金比例(a+b):a=a:b。 黃金比率的值約為1.618034。 黃金分割率的基本原理是其數(shù)學特性。它是一個無理數(shù)，表示它不能被表示為分數(shù)（例如：0.25是1/4，0.5是1/2，依此類推）。生物生長必須允許無窮細分下去，無理數(shù)是天然的選擇，而為什么選擇黃金比率，則仍然是一個謎，或許是因為這種比例的規(guī)則非常簡單。其它無理數(shù)則很難用一個簡單的規(guī)則來表達。 以向日葵的種子為例。小種子在花的中心產(chǎn)生，然后向外推擠。為了有效地填充空間，每個新種子都以與前一個種子具有一定的偏移角度。隨著這個過程的不斷重復，自然會形成螺旋形的排列。但如果采用一個簡單的分數(shù)，那么則種子最終就會成排堆積，在彼此之間留下空隙。或許正是如此植物“使用了”或者說“自然形成”了黃金比例的排列方式。 黃金數(shù)字如果將斐波納契數(shù)列中的每個數(shù)除以前一個數(shù)，則新數(shù)列將收斂于黃金分割率。
斐波那契數(shù)是黃金比例的整數(shù)近似值，這是它們在自然界如此頻繁出現(xiàn)的原因之一。例如，松果有兩組螺旋鱗片，一個方向上8個，另一個方向上13個，這是兩組連續(xù)的斐波那契數(shù)列。 上圖：黃金矩形 自然界中的斐波那契數(shù)列植物的葉子的排列方式就是典型的例子：植物的新葉子在莖的頂端旋轉(zhuǎn)生長，各層葉片的數(shù)量就是復合斐波那契數(shù)列規(guī)律的，因為這樣可以確保每片葉子接受最多的陽光并盡可能多捕獲降雨。隨著每片新葉的生長，其角度與下方老葉的角度有所偏移。連續(xù)葉片之間最常見的角度是137.5°，這各角度被稱為黃金角度，它將完整360°度分割為1.618034的黃金比例。 據(jù)估計，所有植物中有90％的葉子排列方式涉及斐波那契數(shù)列。尤其是它們的花朵。 通常的花有三、五或八枚花瓣——全部為斐波那契數(shù)。再如萬壽菊有13枚花瓣，有些紫苑有21枚花瓣；雛菊可以發(fā)現(xiàn)34、55甚至89枚花瓣。 上圖：向日葵內(nèi)部的斐波那契數(shù)列模式。 雖然某些植物花瓣的數(shù)量非常準確，但許多物種花瓣的數(shù)量卻可以變化，但平均值為斐波那契數(shù)列中的數(shù)字。雙斐波那契數(shù)也出現(xiàn)在花朵中；例如六瓣水仙花。當然，該規(guī)則也有例外，例如具有七個花瓣的巖景天。當然，花瓣會隨著植物的生長而脫落,我們討論的是實際生長的情況，不討論脫落后的情況。 自然界中斐波那契數(shù)列的例子雞蛋 雞蛋的橢圓線條的一大部分就非常契合斐波那契數(shù)列所構(gòu)造的。 羅馬西蘭花 羅馬西蘭花是斐波那契的一個極其完美且明顯例子。每個結(jié)節(jié)都是獨立的斐波那契螺旋。 蘆薈類植物 螺旋蘆薈呈現(xiàn)出非常規(guī)則的斐波那契螺旋。從圖中可以看到每片葉子如何向外螺旋旋轉(zhuǎn)展開。 向日葵這張照片中的斐波那契螺旋線稍微有些微妙，但你還是能看到螺旋線的模式（人肉智能的模式識別能力是很強的）。 石雛菊 ——能識別出螺旋線嗎？ 松果 所有松果都呈現(xiàn)出斐波那契數(shù)列的規(guī)律。當從中心向外觀察時，松果上凸出的松子會逐漸變大，顯示出斐波那契螺旋。 豹紋變色龍豹紋變色龍的尾巴自然卷曲成斐波那契螺旋。（臉我們就不用看了……） 美洲巨人千足蟲 美國巨型千足蟲。斐波那契所構(gòu)成的比例被認為是阻力最小的設計。 穿山甲斐波那契盔甲=非常安全。穿山甲能夠通過形成斐波那契螺旋來保護其柔軟的腹部。但這么萌這么完美的動物居然被拔掉鱗片做成中藥！無語！中國的穿山甲估計已經(jīng)絕種了！ 蕨芽
多數(shù)蕨類植物的芽都有類似的形式，非常清新的螺旋。 蝸牛和指紋
兩者都有明顯的斐波那契螺旋。 人口有人發(fā)現(xiàn)在非洲，大多數(shù)人口稠密的城市落在或接近螺旋線的軌跡上。（不過個人覺得這像是一個巧合。） 化石
具有斐波那契數(shù)列規(guī)律的菊石化石。您可以看到，隨著殼的增大，斐波那契螺旋形成了，而且這種形狀非常漂亮。 最后,一幅日本名畫也被拿來做斐波那契數(shù)列模式分析。
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