一、三垂直模型的概念

我們?cè)趯W(xué)習(xí)勾股定理的時(shí)候，學(xué)習(xí)了多種證明方法，其中有一種方法叫做總統(tǒng)證法，是1875年美國(guó)總統(tǒng)加菲爾德證明的，他將兩個(gè)全等的三角形△ABC≌△CDE，拼成如圖形狀，使得B、C、D三點(diǎn)共線，易得△ACE為等腰直角三角形，四邊形ABDE為直角梯形，假設(shè)三角形三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則四邊形ABDE的面積可用兩種方法表示：

S=1/2ab+1/2ab+c2=1/2(a+b)(a+b)

整理可得a2+b2=c2

這就是勾股定理的總統(tǒng)證法。上面這個(gè)圖形。我們把它稱為三垂直模型，這個(gè)模型有以下幾個(gè)結(jié)論：1、△ABC≌△CDE

2、△ACE是等腰直角三角形

3、BD=AB+DE

其實(shí)，三垂直模型可以看做是由弦圖模型得來的，如下圖，弦圖模型分為內(nèi)弦圖和外弦圖，是由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成的，將外弦圖的兩個(gè)三角形拿掉，就得到了三垂直模型。

當(dāng)然從內(nèi)弦圖中還可以得到三垂直模型的變形：

以上所述三垂直是由兩個(gè)全等的直角三角形拼成的，這樣的三垂直我們把它叫做全等型三垂直，那么如果是兩個(gè)相似的直角三角形拼成如圖形狀，就變成了相似型三垂直，相似型三垂直有如下結(jié)論：

1、△ABC∽△CDE

2、AB:CD=BC:DE=AC:CE

三垂直的應(yīng)用非常廣泛，在三角形、四邊形、平面直角坐標(biāo)系、網(wǎng)格、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、圓中都會(huì)出現(xiàn)，在中考等大型考試中也是?？純?nèi)容，所以大家一定要熟練掌握。

二、三垂直模型的構(gòu)造方法：

一般情況下，碰到斜著放置的等腰直角三角形，要想到在直角頂點(diǎn)所在的直線上構(gòu)造全等型三垂直，若碰到的是一般的直角三角形，則在直角頂點(diǎn)所在的直線上構(gòu)造相似型三垂直。

在下列各圖中構(gòu)造出三垂直模型：

1、△OCD為等腰直角三角形                        

2、四邊形OABC為正方形

3、△OAB為直角三角形

三、三垂直在不同領(lǐng)域的應(yīng)用

1、在三角形中

例1：如圖，直線l過等腰直角三角形ABC頂點(diǎn)B，A、C兩點(diǎn)到直線l的距離分別是2和3，則AB的長(zhǎng)是         .

例2：如圖，在△ABC中，∠C=90°,D、E分別為BC、AC上一點(diǎn)，BD=AC，DC=AE，BE與AD交于點(diǎn)P，則∠ADC+∠BEC=          .

2、在矩形中

如圖,點(diǎn)是矩形ABCD的邊CD上一點(diǎn),把△ADE沿AE對(duì)折,使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的F點(diǎn)處。已知折痕AE=10√5cm，且CE:CF=3:4，那么該矩形的周長(zhǎng)為          .

簡(jiǎn)答：

如圖，紅色部分看做相似型三垂直模型，根據(jù)CE：CF=3：4，設(shè)CE=3k、CF=4k，利用勾股定理列式求出EF=5k，由折疊知DE=5k，根據(jù)矩形的性質(zhì)得AB=8k，由△ABF∽△FCE得BF=6k，AF=10k，根據(jù)勾股定理求得AE=5√5k，由已知得5√5k=10√5，因此k=2，從而周長(zhǎng)為72．

針對(duì)練習(xí)：

1、如圖所示,將矩形紙片ABCD按如圖方式折疊,EF、EC為折痕,折疊后點(diǎn)A落在邊CD的A處,點(diǎn)B落在邊A′E的B'處.若A′D=4,BC=8,則AE的長(zhǎng)是        .

2、如圖矩形ABCD中，AD=5，AB=7，點(diǎn)E為DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿AE折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′落在∠ABC的角平分線上時(shí)，DE的長(zhǎng)為_____ 。

3、在一次函數(shù)中

平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4,2），過點(diǎn)O作一條直線與OA夾角為45°，求該直線解析式。

簡(jiǎn)答：將直線OA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，過A點(diǎn)做垂線交于C點(diǎn)，則△OAC為等腰直角三角形，構(gòu)造三垂直，如圖紅色部分，設(shè)AB=t，則CD=t，因?yàn)锳（4,2），則OD=BC=t+2，BD=t+t+2=4，解得t=1，因此C點(diǎn)坐標(biāo)（1,3），從而直線解析式為y=3x.若將直線OA 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，同樣的方法，可得另一條直線y=-1/3x

針對(duì)練習(xí)：

已知,如圖,直線y=﹣2x＋2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)．以AB為短邊在第一象限做一個(gè)矩形ABCD,使得矩形的兩邊之比為1﹕2.求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)

4、在反比例函數(shù)中

如圖,已知點(diǎn)A. B分別在反比例函數(shù)y=1/x(x>0),y=?4/x(x>0)的圖象上,且OA⊥OB,則OB/OA的值為        。

簡(jiǎn)答：

過點(diǎn)A作AM⊥y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥y軸于點(diǎn)N，構(gòu)造三垂直。

由△AOM∽△OBN，

∵點(diǎn)A,B分別在反比例函數(shù)y=1/x(x>0)，y=?4/x(x>0)的圖象上，

∴S△AOM：S△BON=1：4，

∴AO：BO=1：2，

∴OB：OA=2.

針對(duì)練習(xí)：

5、在三角函數(shù)中

已知α、β均為銳角，tanα=1/2，tanβ=1/3，則α+β=        。

簡(jiǎn)答：

構(gòu)造三垂直如圖：

設(shè)CM=k，則AM=2k，由△AMC∽△CNB可求得BN=1/3k，CN=2/3k，作BD⊥AM，則BD=MN=5/3k，AD=AM-MD=AM-BN=2k-1/3k=5/3k，所以α+β=45°.

也可以用網(wǎng)格來構(gòu)造：

6、在二次函數(shù)中

如圖,經(jīng)過點(diǎn)A(0，-6)的拋物線y=1/2x2+bx+c與x軸相交于B(-2,0),C兩點(diǎn). 
(1)求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo); 
(2)判斷△ADC的形狀,并說明理由; 

簡(jiǎn)答：

（1）略，答案：y=1/2x2-2x-6

（2）過D點(diǎn)作y軸的垂線交y軸于E點(diǎn)，分別求出以下線段長(zhǎng)度：OC=6，OA=6，AE=2，DE=2,因此△AED和△COA均為等腰直角三角形,∴∠CAD=90°，即△ADC為直角三角形。

針對(duì)練習(xí)：

1、如圖,經(jīng)過點(diǎn)A(0，-6)的拋物線y=1/2x2+bx+c與x軸相交于B(-2,0),C兩點(diǎn). 
（1）求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo); 

（2）在該拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)D，使得△ACD是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形，若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)。

2、在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)P是拋物線y=x2上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP，過O點(diǎn)做OP的垂線，交拋物線于另一點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為           。