作者：川總，清華大學(xué)學(xué)士、碩士，麻省理工學(xué)院博士，青云計(jì)劃獲獎?wù)?。公眾號：川總寫量化?/blockquote>1 引言
毫無疑問，馬科維茨（Harry Markowitz）的現(xiàn)代投資組合理論（Modern Portfolio Theory）對于量化投資有著開天辟地的作用。它通過“均值 — 方差”最優(yōu)化來確定最佳資產(chǎn)配置組合，同時(shí)考慮收益的最大化和風(fēng)險(xiǎn)的最小化（Markowitz 1952）。馬科維茨也因此獲得 1990 年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。
然而，令人倍感意外的是，“均值 — 方差”法雖然在數(shù)學(xué)上十分優(yōu)雅，但它在投資實(shí)務(wù)中的影響卻遠(yuǎn)不及它在理論上的名聲卓著。究其原因，是因?yàn)樗o出的最佳投資組合對該模型的核心輸入之一即投資品的期望收益率非常敏感；而且期望收益率很難準(zhǔn)確預(yù)測。
為解決這個(gè)問題，兩位量化投資界的先驅(qū) —— 高盛的 Fischer Black 和 Robert Litterman 發(fā)明了大名鼎鼎的 Black-Litterman 資產(chǎn)配置模型（Black and Litterman 1992）。該模型以市場均衡假設(shè)推出的資產(chǎn)收益率為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合投資者對不同投資品收益率的主動判斷，最終確定投資品的收益率和最佳的投資組合配置。
本文就來介紹 Black-Litterman 模型，它的核心是對收益率進(jìn)行貝葉斯收縮。首先讓我們來看看馬科維茨的“均值 — 方差”模型為什么在實(shí)際中不好用。
2 “均值 — 方差”模型：冰冷的現(xiàn)實(shí)
假設(shè)我們要在 N 個(gè)投資品之間進(jìn)行資產(chǎn)配置。馬科維茨的現(xiàn)代資產(chǎn)配置理論以這些投資品的期望收益率和協(xié)方差矩陣作為輸入，通過最優(yōu)化下列目標(biāo)函數(shù)求出最佳的投資組合：
其中 μ 表示投資品的期望收益率向量，Σ 表示投資品的協(xié)方差矩陣，δ 表示投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，w 則是投資品在投資組合中的配置權(quán)重。在不考慮任何約束的情況下，該問題的最優(yōu)解，即最佳資產(chǎn)配置為：
該模型之所以在實(shí)際中被專業(yè)投資機(jī)構(gòu)詬病有兩個(gè)原因。第一是因?yàn)樗妮斎敕浅?yán)苛：投資者必須提供待配置投資品的期望收益率和協(xié)方差。一旦預(yù)測的數(shù)值非常離譜，那么資產(chǎn)配置效用的最大化就變成誤差的最大化。對于協(xié)方差，通過歷史數(shù)據(jù)計(jì)算尚且能用，但是對于未來的期望收益率的準(zhǔn)確預(yù)測卻難上加難。二者相較，期望的預(yù)測比協(xié)方差的預(yù)測更加重要。Chopra and Ziemba (1993) 指出，收益率期望的誤差對資產(chǎn)配置的影響比協(xié)方差的影響高一個(gè)數(shù)量級。
第二個(gè)原因是，它求出的最佳資產(chǎn)配置權(quán)重對期望收益率非常敏感。當(dāng)期望收益率有哪怕僅僅一點(diǎn)變化時(shí)，它給出的最佳配置較之前的配置可能發(fā)生很大的改變，這樣的結(jié)果很難被投資者所接受。
來看一個(gè)例子。
假設(shè)我們的投資品來自下列七個(gè)國家的股市：澳大利亞、加拿大、法國、德國、日本、英國和美國。通過歷史數(shù)據(jù)得到這些投資品收益率的協(xié)方差矩陣如下（注：本文中的所有數(shù)據(jù)都是假想的，僅做示意之用）：
對于收益率，由于不好預(yù)測，我們假設(shè)這七個(gè)國家的期望收益率都是 5%，并假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)為 2.5。根據(jù)“均值 — 方差”最優(yōu)化，得到的最優(yōu)資產(chǎn)配置權(quán)重如下圖中的藍(lán)色柱狀圖所示。按照該配置，我們大幅做空德國，微微做空法國，并做多其他國家。
現(xiàn)在，假設(shè)我們得到了最新靠譜的研報(bào)分析，表明德國的期望收益率將會達(dá)到 6%，而法國和英國則僅有 4%，其他國家不變。帶著新的輸入，重新使用“均值 — 方差”最優(yōu)化，新的結(jié)果如下圖中綠色的柱狀圖所示。
比較藍(lán)色和綠色的柱狀圖可見，隨著我們對德國、法國以及英國預(yù)期收益率的調(diào)整，最佳的權(quán)重也發(fā)生了變化。然而，權(quán)重的變化發(fā)生的非常劇烈（對收益率敏感），我們對這些變化感到非常費(fèi)解：
- 我們之前大幅做空德國，做多英國。然而在微調(diào)了收益率之后，卻大幅做多德國，做空英國并大幅做空法國。收益率微調(diào)前后最優(yōu)配置權(quán)重的變化幅度令我們驚訝。
- 我們的收益率預(yù)期僅僅針對德國、法國和英國，對其他四個(gè)國家沒有變化。然而新的最優(yōu)配置不但改變了那三個(gè)國家，更是改變了其他四個(gè)國家。比如，新的最優(yōu)組合中增加了對美國和日本的配置。為什么對歐洲國預(yù)期收益率的改變會影響美國和日本？這從直覺上令人難以理解。
這個(gè)例子強(qiáng)調(diào)了“均值 — 方差”模型的兩個(gè)問題：（1）人們很難有效的預(yù)測期望收益率；（2）最優(yōu)資產(chǎn)組合配置對輸入非常敏感，結(jié)果往往難以被人理解。
為了解決這兩個(gè)問題，Black 和 Litterman 于 1992 年提出了 Black-Litterman 模型。
3 收益率的貝葉斯收縮
與“均值 — 方差”模型相比，Black-Litterman 模型最大的區(qū)別在于對收益率的預(yù)測。在收益率預(yù)測方面，Black-Litterman 最本質(zhì)的核心是它在貝葉斯框架下使用先驗(yàn)收益率以及新息得到后驗(yàn)收益率，它是一種對收益率的貝葉斯收縮（Bayes shrinkage）。得到收益率后，Black-Litterman 模型同樣通過求解第二節(jié)中的最優(yōu)化問題確定最優(yōu)的資產(chǎn)配置權(quán)重。
收益率的貝葉斯收縮是《貝葉斯統(tǒng)計(jì)》的一個(gè)經(jīng)典應(yīng)用。我們在《收益率預(yù)測的貝葉斯收縮》中介紹過這個(gè)技術(shù)。經(jīng)典的貝葉斯收縮定義如下：
貝葉斯收縮以某種方法得出的期望收益率作為先驗(yàn)（prior），以最近 T 期收益率數(shù)據(jù)求出樣本期望收益率作為新息（new observation），結(jié)合前兩者最終計(jì)算出后驗(yàn)期望收益率（posterior）。該方法以最優(yōu)的比例使基于新息的預(yù)測向先驗(yàn)預(yù)測“收縮”，這個(gè)最優(yōu)的比例使得后驗(yàn)期望收益率的誤差最小。
在數(shù)學(xué)上，上述方法的表達(dá)式如下：
其中 μ_0，μ_p 及 \bar r 分別表示先驗(yàn)、后驗(yàn)、新息期望收益率向量；Ξ 是先驗(yàn)期望收益率的協(xié)方差矩陣，Σ/T 為新息期望收益率的協(xié)方差矩陣（Σ 為收益率的樣本協(xié)方差矩陣、T 為樣本數(shù)即期數(shù)）；-1 次方表示對矩陣求逆。
不難看出，后驗(yàn)期望收益率 μ_p 就是 先驗(yàn) μ_0 和新息 \bar r 的加權(quán)平均，而這兩者的權(quán)重與它們各自的精度（由協(xié)方差矩陣的逆衡量）有關(guān)，這就是貝葉斯收縮的核心。在現(xiàn)實(shí)中使用上述方法時(shí)，對于期望收益率的先驗(yàn)，可以采用因子法或者經(jīng)驗(yàn)法估計(jì)，不同的方法各有千秋。了解了貝葉斯收縮之后，我們馬上來看解釋 Black-Litterman 模型。
4 貝葉斯框架下的 Black-Litterman 模型
Black-Litterman 模型的本質(zhì)就是一種收益率的貝葉斯收縮，只不過無論是期望收益率的先驗(yàn)還是新息，都是從投資的實(shí)務(wù)出發(fā)的（畢竟提出這個(gè)的人來自高盛，出發(fā)點(diǎn)是為了解決實(shí)際資產(chǎn)配置中遇到的問題）。
先來看看先驗(yàn)期望收益率。
Black-Litterman 模型從市場的供需出發(fā)，認(rèn)為投資品在整個(gè)市場中按其市值的占比體現(xiàn)了當(dāng)前市場供需關(guān)系的均衡狀態(tài)（equilibrium）。投資品市值與市場總市值的比值就是該投資品在這個(gè)市場均衡組合中的權(quán)重，記為 w_eq。在這個(gè)基礎(chǔ)上，模型進(jìn)一步假設(shè)各投資品的在市場組合中的配置比例 w_eq 是由投資者追求效用的最大化（即第二節(jié)中的最優(yōu)化問題）所致，并由 w_eq 反推出市場均衡狀態(tài)下各投資品的收益率，把它作為先驗(yàn)：
對于先驗(yàn)期望收益率的協(xié)方差矩陣，模型假設(shè)它和收益率的協(xié)方差矩陣 Σ 有著同樣的結(jié)構(gòu)，但是數(shù)量級要小很多。它用一個(gè)很小的標(biāo)量 τ 作為縮放尺度，得到先驗(yàn)期望收益率的協(xié)方差矩陣 τΣ。
再來看看新息期望收益率。
Black-Litterman 模型將新息定義為投資者對于投資品收益率相對強(qiáng)弱的主動判斷（稱為 views，即觀點(diǎn)）。舉個(gè)例子，有兩個(gè)投資品 A 和 B，我們通過分析認(rèn)為 A 比 B 的期望收益率要高 2%，這意味著做多 A 并同時(shí)做空 B 的投資組合可以獲得 2% 的收益。在數(shù)學(xué)上，假設(shè) E[A] 和 E[B] 表示 A 和 B 的新息期望收益率，則上述觀點(diǎn)可以表述為：
其中 P 是 K × N 矩陣（K 表示 views 的個(gè)數(shù)；N 表示投資品的個(gè)數(shù)；本例中 P = [1, -1]）；μ 表示新息期望收益率向量（本例中是 [E[A], E[B]]’）；Q 是 K 階向量（本例中 Q = [0.02]），表示每個(gè) view 中投資品收益率相對強(qiáng)弱的大小。
這個(gè)方法的好處是，它事實(shí)上根本無需投資者來猜 μ（在稍后的推導(dǎo)中可以看到，μ 不出現(xiàn)在貝葉斯收縮的表達(dá)式中），而只需要投資者提供矩陣 P 和向量 Q 來表達(dá)自己的觀點(diǎn)。
現(xiàn)實(shí)中，投資者往往對自己的 views 并不是 100% 確定。這時(shí)，我們可以把收益率相對強(qiáng)弱的取值理解為來自一個(gè)正態(tài)分布，并通過該分布的標(biāo)準(zhǔn)差來描述主動判斷的不確定性。例如在上面的例子中，我們可以說 A 比 B 的期望收益率要高 2%，而標(biāo)準(zhǔn)差為 3%。在數(shù)學(xué)上，該模型使用 K × K 的矩陣 Ω 記錄 views 的不確定性。模型假設(shè) views 之間相互獨(dú)立，因此 Ω 是一個(gè)對角陣，對角線上的元素表示對這 K 個(gè) views 的方差。最后，通過 P 將 Ω 的逆矩陣轉(zhuǎn)化為 P’(Ω^-1)P（N × N 矩陣）作為新息期望收益率的精度。
把先驗(yàn)和新息期望收益率套到貝葉斯收縮的框架中就得到 Black-Litterman 模型下的后驗(yàn)期望收益率：
上面的推導(dǎo)中用到了 Pμ = Q，從而巧妙的將 μ 從貝葉斯收縮的表達(dá)式中消除了。求出后驗(yàn)期望收益率 μ_p 之后，帶入第二節(jié)的最優(yōu)化問題中，便可以求出 Black-Litterman 模型下的最優(yōu)投資組合權(quán)重：
下面就來幾個(gè) Black-Litterman 模型應(yīng)用的例子。
5 Black-Litterman 模型應(yīng)用舉例
我們?nèi)匀患僭O(shè)市場中包括本文第二節(jié)提到的七個(gè)國家的股市。它們的協(xié)方差矩陣已在第二節(jié)給出。假設(shè)它們在市場均衡狀態(tài)下的權(quán)重 w_eq 如下表所示。進(jìn)一步的，另標(biāo)量 τ = 0.1 且風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù) δ = 2.5。根據(jù) δ、w_eq 以及協(xié)方差矩陣 Σ 可以求出先驗(yàn)期望收益率 μ_0：
首先假設(shè)我們只有一個(gè) view：預(yù)期德國的期望收益率較英國和法國期望收益率的等權(quán)重之和高 5%，我們對這個(gè)判斷的標(biāo)準(zhǔn)差為 20%。
上述 view 轉(zhuǎn)換成 Black-Litterman 模型的參數(shù)有：
應(yīng)用 Black-Litterman 模型得到的后驗(yàn)期望收益率（綠色）與作為先驗(yàn)的市場均衡狀態(tài)期望收益率（藍(lán)色）比較如下。乍一看去，這個(gè)結(jié)果似乎令人意外，因?yàn)槲覀兊男孪⑹堑聡鴷扔头▏?，但是在后?yàn)收益率中，法國和英國的收益率不降反升。這是因?yàn)樾孪H僅說明英法兩國會比德國差，它并不意味著英、法兩國收益率的絕對取值較先驗(yàn)會減小。由于英法兩國的收益率和整個(gè)市場組合的收益率正相關(guān)，且這個(gè)新息提高了市場組合的預(yù)期，因此英法兩國的后驗(yàn)收益率也提高了。上述論述對其他國家的后驗(yàn)收益率同樣成立。
再來看看 Black-Litterman 模型下的最優(yōu)投資組合配置：
上圖中，左圖比較了最優(yōu)配置 w* 和市場均衡配置 w_eq；右圖顯示了這二者的差別。這個(gè)結(jié)果清晰的說明，我們關(guān)于德國、英國、法國收益率的判斷僅僅影響了它們?nèi)齻€(gè)國家在最優(yōu)投資組合中的權(quán)重。由于我們更看好德國，因此它的權(quán)重更高，而英法兩國的權(quán)重相應(yīng)相抵。其他國家的權(quán)重等于市場均衡狀態(tài)的權(quán)重，不受我們的主觀判斷的影響。這樣的配置結(jié)果非常符合投資者的預(yù)期，較馬科維茨的“均值 — 方差”法，Black-Litterman 模型的最優(yōu)配置顯然更容易被投資者接受。
投資者的主動判斷通過 Q（描述相對強(qiáng)弱的幅度）和 Ω（描述投資者對 views 的自信程度）兩個(gè)參數(shù)影響著最優(yōu)的資產(chǎn)配置。為了說明這一點(diǎn)，假設(shè)在上面的例子中，首先把 Q 從 0.05 提高到 0.08，即我們判斷德國較英法兩國的超額收益更多。在最優(yōu)的資產(chǎn)配置中，我們更加超配德國，低配法國和英國：
再來，我們保持 Q = [0.05]，但是將 Ω 從 0.04 減小到 0.01，即我們對自己的判斷更加有信心。同樣，在最優(yōu)的資產(chǎn)配置中，我們更加超配德國，低配法國和英國（我們甚至做空了法國）：
最后，來看看有多個(gè) views 的情況。假設(shè)除了上述德國、法國、英國的 view，我們有另外一個(gè) view：加拿大相對于美國可以獲得 3% 的超額收益，判斷的標(biāo)準(zhǔn)差為 20%。同時(shí)考慮這兩個(gè) views，有：
由 Black-Litterman 模型得到的最優(yōu)配置如下圖所示。由于加入了新的關(guān)于加拿大和美國的 view，我們超配了加拿大而低配了美國。由于上述兩個(gè) views 均不涉及澳大利亞和日本，它們在投資組合中的權(quán)重不受影響。
6 結(jié)語
Black-Litterman 資產(chǎn)配置模型解決了馬科維茨模型在應(yīng)用中的兩個(gè)痛點(diǎn)：（1）投資品的期望收益率很難預(yù)測；（2）模型對輸入?yún)?shù)太敏感，導(dǎo)致投資者無法理解模型給出的最佳投資組合中投資品的配置權(quán)重。Black-Litterman 模型從市場均衡配置出發(fā)，有效的結(jié)合了投資者對投資品的主動判斷，求出的配置結(jié)果符合投資者的預(yù)期。在華爾街，Black-Litterman 模型在高盛以及其他金融機(jī)構(gòu)都有著廣泛的應(yīng)用。
But, and this is a BIG but，該模型在投資實(shí)務(wù)中能夠帶來超額收益的前提是投資者提供的 views 比較準(zhǔn)確。這顯然是以深入了解各投資品背后的邏輯以及大量細(xì)致的數(shù)據(jù)分析為前提的。如果 views 很離譜，那么即便是 Black-Litterman 模型給出的最佳配置權(quán)重也無能為力。
我們有理由相信，擁有眾多專業(yè)人士的大型金融機(jī)構(gòu)在提供主動 views 方面有著獨(dú)到的見解。但預(yù)測未來有時(shí)又談何容易？至少在預(yù)測黃金這件事兒上，高盛就常常南轅北轍。
本文簡要介紹了 Black-Litterman 模型，并通過一系列例子說明如何使用它。在這些例子中，我們均考慮的是無約束優(yōu)化。在實(shí)際中進(jìn)行資產(chǎn)配置時(shí)，投資者往往需要考慮來自風(fēng)險(xiǎn)、波動率、預(yù)算等方面的限制。在這種情況下，根據(jù)后驗(yàn)收益率求解最優(yōu)化資產(chǎn)配置時(shí)需要考慮上述限制。感興趣的讀者可以進(jìn)一步閱讀 He and Litterman (1999)。
參考文獻(xiàn)
- Black, F. and R. Litterman (1992). Global Portfolio Optimization. Financial Analysts Journal, Vol. 48(5), 28 – 43.
- Chopra, V. K. and W. T. Ziemba (1993). The effort of errors in means, variances, and covariances on optimal portfolio choice. Journal of Portfolio Management, Vol. 19(2), 6 – 11.
- He, G. and R. Litterman (1999). The intuition behind Black-Litterman model portfolios.Technical note, Goldman Sachs Quantitative Resources Group.
- Markowitz, H. (1952). Portfolio Selection. The Journal of Finance, Vol. 7(1), 77 – 91.
