（理論物理學(xué)201512）

   幾何學(xué)是人們?cè)陂L(zhǎng)期的生活實(shí)踐中逐漸發(fā)展起來的理論思維成果之一。在它的啟蒙階段，現(xiàn)實(shí)中的物體形狀和理論上的幾何形狀，一般是被混為一體或不加區(qū)分的，直到柏拉圖時(shí)代，人們才開始注意到幾何形狀對(duì)于理論和現(xiàn)實(shí)的不同。人們所畫在物體表面上的線都是有一定寬度的，它并非是幾何學(xué)理論所意味的那種沒有寬度的線；畫在沙面上的三角形諸角，實(shí)際上是一些小塊的面積，因此也不是理想的尖角。幾何學(xué)概念的意義與體現(xiàn)它的現(xiàn)實(shí)事物的不相吻合，使柏拉圖相信在超越現(xiàn)實(shí)事物的表面，一定有著“理念”事物存在，它們以十全十美的完善方式，顯示出理想的幾何屬性。因而可靠的幾何學(xué)知識(shí)，不是由現(xiàn)實(shí)事物來直接提供的，它需要人們對(duì)“理念”事物的一種“洞見”行為才能獲得。

  柏拉圖的觀點(diǎn)，代表了對(duì)幾何學(xué)本質(zhì)的早期見解，它使人們清楚地認(rèn)識(shí)到，理想化的幾何形狀并不存在于人們生活的現(xiàn)實(shí)空間中。由于人們普遍認(rèn)為歐幾里德幾何學(xué)中的每一條公理或公設(shè)，都不能從更為基本的前提中推導(dǎo)出來，而且每一條公理或公設(shè)對(duì)于處理現(xiàn)實(shí)事物都是有效的，所以，康德緊緊抓住幾何學(xué)公理的不證自明性，認(rèn)為幾何學(xué)知識(shí)一定是通過邏輯以外的其它方式才能獲得，并且是先天的和綜合的。人們對(duì)現(xiàn)實(shí)事物所具有的幾何特征的認(rèn)識(shí)，實(shí)際上是把現(xiàn)實(shí)事物置于幾何學(xué)先天公理的構(gòu)架上使之呈現(xiàn)的結(jié)果。同柏拉圖一樣，康德也把確定性的幾何形狀，同現(xiàn)實(shí)空間中的事物形狀區(qū)分開來，但是他沒有用理想的事物來解釋幾何學(xué)的本質(zhì)，而是認(rèn)為幾何學(xué)知識(shí)是先于人類認(rèn)識(shí)的，它們不能從人們的認(rèn)識(shí)中得到解釋和說明。

  隨著實(shí)驗(yàn)科學(xué)的發(fā)展，以及面對(duì)一系列通過實(shí)驗(yàn)所取得的豐碩成果，人們對(duì)科學(xué)理論的鑒別，逐漸傾向于依賴客觀實(shí)驗(yàn)的檢驗(yàn)。人們開始放棄柏拉圖和康德的神秘主義幾何學(xué)觀點(diǎn)，并力圖使幾何學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)空間中，能夠得到客觀實(shí)驗(yàn)的證明。高斯曾經(jīng)測(cè)量過以三座山峰的頂端為頂點(diǎn)的三角形諸角，以試圖驗(yàn)證這個(gè)三角形的內(nèi)角和是否等于1800。后來愛因斯坦對(duì)此解釋說，三角形內(nèi)角和不等于1800，只有在很大的空間范圍上才會(huì)明顯，所以，對(duì)于我們附近的現(xiàn)實(shí)空間，歐幾里得幾何學(xué)是近似有用的。但是，高斯未能說明他所測(cè)量的三角形，為什么等同于理論意義上的幾何三角形，愛因斯坦也沒有區(qū)分三角形對(duì)于理論和現(xiàn)實(shí)的不同，他們回避了幾何學(xué)中絕對(duì)理想化的幾何形狀，不存在于現(xiàn)實(shí)空間這一根本性的前提。理想化的直線和平面，在現(xiàn)實(shí)中沒有與它們相對(duì)應(yīng)的客觀對(duì)象，研究直線平面幾何形關(guān)系，應(yīng)當(dāng)只能針對(duì)理論意義上的直線和平面所構(gòu)成的幾何形及其幾何關(guān)系。只有將幾何學(xué)的研究對(duì)象，看作與物理學(xué)的研究對(duì)象一樣，是外在于自然空間的情況下，人們才會(huì)考慮理論中的幾何定律，是否符合客觀實(shí)際的問題。非歐幾何學(xué)者就是在這樣的情況下，來提出他們的非歐幾何學(xué)觀點(diǎn)的。

  非歐幾何學(xué)者認(rèn)為，人們?cè)趯?shí)際應(yīng)用幾何學(xué)知識(shí)時(shí)，總是依據(jù)直觀經(jīng)驗(yàn)來選擇幾何定律的。由于空間彎曲這一客觀原因，人們觀察下的直線和平面，在事實(shí)上可能是曲線和曲面，因此，對(duì)于這樣的幾何學(xué)應(yīng)用對(duì)象，人們只會(huì)依據(jù)直觀經(jīng)驗(yàn)來選擇直線平面幾何形定律，而不會(huì)把它們當(dāng)做曲線曲面幾何形問題來進(jìn)行處理的。所以在理論上，人們?nèi)匀粦?yīng)當(dāng)將這種事實(shí)上的曲線和曲面，稱為直線和平面。同傳統(tǒng)的歐氏幾何學(xué)相比，非歐直線和平面，是觀察下的直線和平面、事實(shí)上的曲線和曲面；歐氏直線和平面，是觀察下的直線和平面、同時(shí)也是事實(shí)上的直線和平面。

  觀察下的直線和平面、在事實(shí)上同時(shí)也是直線和平面，只有在理想化空間中才能實(shí)現(xiàn)，對(duì)于現(xiàn)實(shí)空間這種情況是不可能存在的。所以，非歐幾何學(xué)者堅(jiān)持認(rèn)為歐幾里德幾何學(xué)，只能正確地適用于理想化空間中的事物形狀，如果對(duì)歐幾里德幾何學(xué)在現(xiàn)實(shí)空間中應(yīng)用時(shí)存在的偏差，不能采用有效的“修正”方法，那么，就有必要專門針對(duì)現(xiàn)實(shí)空間重新建立一套完整的幾何學(xué)知識(shí)，這種幾何學(xué)知識(shí)需要與空間彎曲的方式及程度密切地聯(lián)系起來。其中，傳統(tǒng)的歐幾里德幾何學(xué)，應(yīng)當(dāng)是在假設(shè)空間彎曲程度為零時(shí)的一種理想化特殊情況。

  從內(nèi)在理論邏輯上來看，非歐幾何學(xué)與歐氏幾何學(xué)之間是不存在矛盾的，因?yàn)閮烧叩膸缀螌W(xué)命題在結(jié)論上的不同，完全取決于兩者在直線和平面概念上的不同,對(duì)此，人們不能因?yàn)榉菤W幾何學(xué)和歐氏幾何學(xué)同樣都使用著直線和平面概念“稱謂”，而誤認(rèn)為非歐平行線公設(shè)和歐氏平行線公設(shè)兩者的前提條件，就是完全相同的。

  在幾何學(xué)中，“線”是沒有寬度的，“面”也是沒有厚度的，如何將非歐幾何學(xué)概念、特別是非歐直線和平面概念，在現(xiàn)實(shí)空間中具體地實(shí)現(xiàn)，始終是非歐幾何學(xué)者無法解決的問題。即使是高斯等人給出的曲線曲面非歐幾何形模型，也只能存在于理想化空間之中，它們不能脫離“線無寬和面無厚”這些幾何學(xué)基本概念所必須的基本要求，而外在于現(xiàn)實(shí)空間中。另外，直線和平面概念所具有的“無限”含義，只有在理論上被理解，它們是歐幾里德幾何學(xué)中的第五公設(shè)或平行線公設(shè)成立的必要前提條件。僅憑實(shí)際觀察,不能給予非歐直線和平面概念以“無限”的含義。那么，非歐平行線公設(shè)表述的具體幾何關(guān)系又是什么呢？

  事實(shí)上，歐幾里德幾何學(xué)中的第五公設(shè)表述的是平行線公設(shè)的例外情況，因?yàn)樵谕黄矫嫔蟽蓷l直線之間的位置關(guān)系，除了相互平行就是相交，所以，人們?cè)诹?xí)慣上認(rèn)為“平行”概念和“不相交”概念是等價(jià)概念。但是，在幾何學(xué)中，平行概念只能用兩條直線之間的距離處處相等來進(jìn)行定義，該定義不僅要適用于直線平面幾何關(guān)系，對(duì)于立體幾何關(guān)系也同樣要適用，而兩條不相交直線之間的距離處處相等，只有在同一歐氏平面上才會(huì)出現(xiàn)，對(duì)于曲線曲面立體幾何形來說，平行概念和不相交概念就不能被看作是等價(jià)的概念。非歐幾何學(xué)者可以在“觀察”時(shí)認(rèn)為同一“平面”上的不相交直線，是相互平行的直線，但不能從“事實(shí)上”來認(rèn)為同一“曲面”上的不相交曲線，是相互平行的曲線。非歐幾何學(xué)者，實(shí)際上是在以觀察時(shí)因錯(cuò)覺而認(rèn)為的直線和平面為前提，然后按照事實(shí)上的曲線和曲面來考察幾何關(guān)系，之后將得出的結(jié)論，再回過頭來用誤認(rèn)為的直線和平面來陳述的，他們之所以這樣看待具體的幾何關(guān)系的理由，就是認(rèn)為幾何學(xué)中的直線和平面，是外在于自然空間中的直線和平面。據(jù)此他們認(rèn)為，由于自然空間不存在絕對(duì)的理想化平直情形，因而傳統(tǒng)的歐氏幾何學(xué)，只是一種近似正確的幾何學(xué)理論。至于客觀的自然空間中，是否存在著幾何學(xué)所必須要求的點(diǎn)、線、和面，則是非歐幾何學(xué)者所沒有考慮的。

  認(rèn)為歐幾里德幾何學(xué)中的第五公設(shè)陳述的幾何關(guān)系，被蘊(yùn)含在其它具體的幾何學(xué)命題中，并且可以從其他的幾何學(xué)命題中推導(dǎo)出來，恰恰說明了第五公設(shè)在歐氏幾何學(xué)中并不是孤立的，那種認(rèn)為可以割斷第五公設(shè)與其它具體幾何學(xué)命題之間的邏輯關(guān)系，并且可以舍棄或改變第五公設(shè)的結(jié)論，而不會(huì)與其它具體的幾何學(xué)命題產(chǎn)生矛盾的觀點(diǎn)，是毫無根據(jù)的。幾何學(xué)是以對(duì)點(diǎn)、線和面等一般性概念所必須具有的理論要求，所作出的公共假設(shè)為前提條件的，然后才能根據(jù)這一前提條件，來對(duì)直線和平面等具體概念及其特性，作出具體的定義，這樣定義出的直線和平面概念，才能規(guī)定著所有關(guān)于直線平面幾何形命題的前提與結(jié)論。歐幾里德幾何學(xué)中的第五公設(shè)或平行線公設(shè)，實(shí)際上不是幾何學(xué)首要的公共假設(shè)條件，它只是一個(gè)具體的直線平面幾何形命題，如果不對(duì)直線和平面概念重新作出不同的定義，要改變第五公設(shè)或平行線公設(shè)的結(jié)論，在理論上是絕對(duì)不可能的。所以，要通過改變直線和平面概念，來改變歐氏第五公設(shè)或平行線公設(shè)的結(jié)論，就必然要改變歐氏幾何學(xué)中其它所有涉及到直線和平面概念的幾何學(xué)命題。非歐幾何學(xué)者認(rèn)為僅僅改變第五公設(shè)或平行線公設(shè)的結(jié)論，就能代表一種全新的幾何學(xué)知識(shí)體系，是根本錯(cuò)誤的。

  幾何學(xué)是一門純粹抽象的理論知識(shí)體系，它的本質(zhì)屬性，是由點(diǎn)、線和面等基本概念必須具有的一般性質(zhì)所決定的，它的研究對(duì)象，是由點(diǎn)、線和面等具體概念構(gòu)成的具體幾何形。歐幾里德幾何學(xué)始創(chuàng)于二千多年以前的古希臘時(shí)代，雖然后來的人們陸續(xù)做了一些修補(bǔ)工作，但始終沒有觸及到幾何學(xué)的根本性問題。即使當(dāng)今普遍使用的幾何學(xué)理論體系，在邏輯結(jié)構(gòu)和理論內(nèi)容上，都明顯存在著混亂和錯(cuò)誤之處。比如，幾何學(xué)公設(shè)應(yīng)當(dāng)是對(duì)點(diǎn)、線和面等一般性概念所必須具有的性質(zhì)作出的公共假設(shè)條件，它不涉及到任何具體的幾何概念和具體的幾何形及其幾何關(guān)系。而在《幾何原本》中，歐幾里德未能將“點(diǎn)是沒有部分的”、“線有長(zhǎng)無寬”和“面有大小無厚”等一般性幾何概念所必須具有的性質(zhì)，做為確立整個(gè)幾何學(xué)時(shí)必須具有的公共假設(shè)條件來首先給出，而是將它們通過直線和平面等具體概念、并且是以定義的方式作出了具體說明；對(duì)于曲線曲面幾何形中的“線”和“面”的概念所具有的一般性質(zhì)，歐幾里德沒有明確地將它們同時(shí)概括在內(nèi)。又如，歐幾里德在《幾何原本》中用點(diǎn)來定義直線的性質(zhì)，和用直線來定義平面的性質(zhì)，都不能保證直線和平面概念在理論意義上的絕對(duì)“連續(xù)”的性質(zhì)；它導(dǎo)致了后來的人們，誤認(rèn)為“點(diǎn)”是構(gòu)成一切幾何對(duì)象的唯一基本要素，即點(diǎn)構(gòu)成線、線構(gòu)成面、面構(gòu)成體。

  對(duì)幾何學(xué)基本概念的性質(zhì)事先做出設(shè)定，是確定幾何學(xué)中所有具體概念的前提條件，確定了幾何學(xué)中的具體概念，然后才能由它們構(gòu)建各種不同的幾何形，進(jìn)而考察它們所具有的各種幾何關(guān)系。對(duì)于一切幾何形的認(rèn)識(shí)，和它們所具有的幾何關(guān)系的理解，完全都依賴于構(gòu)建這些具體的幾何形時(shí)使用的具體概念所具有的理論含義。不事先明確點(diǎn)、線和面等基本概念所具有的性質(zhì)，然后再椐此確定它們的具體概念，如直線和平面、曲線和曲面等，首先來討論幾何形及其所具有的具體幾何關(guān)系，在理論邏輯上原本就沒有正確性可言。正因?yàn)閭鹘y(tǒng)的歐氏幾何學(xué)存在著這一方面的缺陷，非歐幾何學(xué)者才把幾何學(xué)的研究對(duì)象，置于現(xiàn)實(shí)空間來考慮的。

  按照正常的邏輯要求，未加明確的概念是不能做為前提條件來加以使用的，即人們不可能根據(jù)未知的前提條件，來推導(dǎo)出可知的結(jié)論。在所有的幾何學(xué)命題中，都必須用已知的公設(shè)和具體概念等做為前提條件，這就要求人們?cè)诖_定具體的幾何學(xué)命題時(shí)，對(duì)所使用的前提條件都必須嚴(yán)格地審查，即使是眾所周知的幾何條件，在理論上沒有明確之前，都是不能做為前提條件來使用的。

  在《幾何原本》中，歐幾里德沒有從認(rèn)識(shí)的高度上，對(duì)點(diǎn)、線和面等一般性概念所必須具有的性質(zhì)，首先作出公共假設(shè)條件，而是將它們以具體的定義和幾何關(guān)系來具體陳述的。因此，歐幾里德幾何學(xué)在整體框架上，沒有將幾何學(xué)首先必須給出的公共假設(shè)條件，同此后的具體定義和命題在邏輯層次上嚴(yán)格地區(qū)分開來?！稁缀卧尽分兴龅奈鍡l公設(shè)，實(shí)際上也只是對(duì)具體概念的定義，和對(duì)具體幾何關(guān)系的陳述，它們不能成為幾何學(xué)首先必須給出的公共假設(shè)條件。

  幾何學(xué)的研究對(duì)象，是由點(diǎn)、直線、曲線、平面、曲面等具體概念構(gòu)成的具體幾何形。在確定這些具體概念之前，對(duì)點(diǎn)、線和面等一般性概念所必須具有的性質(zhì)，首先應(yīng)當(dāng)加以明確。在理論邏輯上，點(diǎn)、線和面等一般性概念及其所具有的性質(zhì)，是整個(gè)幾何學(xué)理論體系的首要前提條件，它們?cè)趲缀螌W(xué)中不能從更為基本的前提條件中邏輯地推導(dǎo)出來；它們只能依據(jù)人類認(rèn)識(shí)的固有要求，以公共假設(shè)的方式來首先設(shè)立。這就勢(shì)必要求人們來追溯點(diǎn)、線和面等一般性概念，在人類認(rèn)識(shí)中的最初來源問題。

  “線”是人們?cè)谌粘Ｉ詈凸ぷ髦杏龅降幕靖拍钪弧Ｔ谄鸪跎?，人們線的觀念的形成，來源于太陽、山脈和動(dòng)植物等等在人們觀察下呈現(xiàn)的“輪廓線”。這種輪廓線將人們看到的東西與它相鄰的空間領(lǐng)域截然地區(qū)分開來，并展現(xiàn)出一定的空間形狀。久而久之，人們便逐漸懂得了用在墻面或其它物體上面做出的線條，來表達(dá)他們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中看到的事物形狀。在人們的觀察下，輪廓線實(shí)際上就是兩種相鄰的事物體系、在人們的觀察中呈現(xiàn)的分界線，這種分界線對(duì)于人們的觀察而言，只起到區(qū)別“分界線”兩邊事物體系的作用，它本身是沒有“寬度”意義的。所以，人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中用“線條”來表達(dá)某一具體事物的形狀時(shí)，并不在意他們所做出的線條寬度問題，線條的寬度，在不影響人們對(duì)事物形狀的表達(dá)和理解的情況下，一般是被忽略不計(jì)的。

  “輪廓線”或“分界線”，只是人們?cè)谟^察外在事物時(shí)感知的主觀結(jié)果，它并不是外在事物本身所固有的。人們畫在物體上面的可見線條，表達(dá)的是人們?cè)谟^察時(shí)感知的“輪廓線”或“分界線”，它的理論意義同樣也不能在現(xiàn)實(shí)空間中實(shí)現(xiàn)。所以，幾何學(xué)中的線，實(shí)際上就是對(duì)人們?cè)谟^察時(shí)感知的“輪廓線”或“分界線”所作出的主觀抽象，它所具有的“有長(zhǎng)無寬”的性質(zhì)，完全是由沒有寬度的“輪廓線”或“分界線”所決定的。

  從“平面”的角度上來觀察和識(shí)別外在事物的形狀，可以感知到兩種相鄰事物體系之間的“輪廓線”或“分界線”；如果從“立體空間”的角度上來觀察和識(shí)別外在事物的形狀，就可以感知到物體與相鄰的空間領(lǐng)域之間的“分界面”。同“分界線”一樣，這種“分界面”對(duì)于人們的觀察而言，只起到區(qū)分“分界面”兩邊事物體系的作用，它本身是沒有“厚度”意義的。所以，人們?cè)谟每梢娋€條來表示“分界面”、進(jìn)而表達(dá)具體物體的外表面時(shí)，從來不會(huì)認(rèn)為它們是有“厚度”的。

  根據(jù)以上線與面的概念在認(rèn)識(shí)上的來源，以及在實(shí)際應(yīng)用中的必然要求，幾何學(xué)的公共假設(shè)條件可以設(shè)立如下：

1、由于物體的形狀在人們的觀察中，是以沒有寬度的“界線”來呈現(xiàn)的，所以，設(shè)立用以表達(dá)物體形狀的幾何線，必須沒有寬度意義。

2、由于人們?cè)谟^察時(shí)感知到的不同“界線”之間有著共同連接點(diǎn)，所以，用以表示這種不同“界線”的幾何線，可稱為相交幾何線；其中，不同幾何線之間的相交位置稱為交點(diǎn)。“點(diǎn)”可以表示幾何空間中的任何具體位置，它本身沒有面積或體積意義。

3、由于人們?cè)谟^察中感知到的“界線”總是連續(xù)的，所以，設(shè)立用以表達(dá)物體形狀的幾何線也必須是連續(xù)的，以保證兩條幾何線能夠任意相交，并存在交點(diǎn)。

4、由于物體的表面在人們的觀察中，是以沒有厚度的“界面”來呈現(xiàn)的，所以，設(shè)立用以表達(dá)物體表面的幾何面，必須沒有厚度意義。

5、由于人們?cè)谟^察中感知的“界面”總是連續(xù)的，所以，設(shè)立用以表達(dá)物體表面的幾何面必須是連續(xù)的，以保證兩個(gè)幾何面能夠任意相交，并存在絕對(duì)連續(xù)的公共交線。

6、物體的立體形狀在人們的觀察中是以“界線”和“界面”來共同呈現(xiàn)的。由于“界線”和“界面”是連續(xù)的，所以，用以表達(dá)物體形狀的幾何形體的內(nèi)部，也應(yīng)當(dāng)是連續(xù)的，以保證幾何形體被幾何面任意所截時(shí)，其截面為絕對(duì)連續(xù)的幾何面。提示：

（1）、無論幾何線上排列的幾何點(diǎn)如何之多，它們所占據(jù)的長(zhǎng)度始終為零；

（2）、無論幾何面上排列的幾何線如何之多，它們所占據(jù)的面積始終為零；

（3）、無論幾何形體內(nèi)部的截面如何之多，它們所占據(jù)的體積始終為零。

（4）、以上三條提示所述定律，已經(jīng)被包含在上述公共假設(shè)條件中，在理論上可以不需要特別說明。

  在對(duì)幾何學(xué)中的具體概念和幾何關(guān)系作出具體定義時(shí)，應(yīng)當(dāng)考慮先后邏輯次序，即在作出具體定義時(shí)，不能使用在此前未加明確的幾何條件。下列部分定義可供參考：

1、在幾何空間中，任意兩點(diǎn)之間的最短連線稱為有限直線；直線在理論意義上可以雙向無限延長(zhǎng)。除直線外其它的幾何線統(tǒng)稱為曲線，其中包括規(guī)則曲線和不規(guī)則曲線。直線是所有幾何線中的一種特殊情況。

2、在幾何空間中，以不在同一直線上的任意三點(diǎn)之間的最短連線為邊緣線的所有幾何面中，面積最小的幾何面稱為有限平面；平面在理論意義上可以四向無限伸展。除平面外，其它的幾何面統(tǒng)稱為曲面，其中包括規(guī)則曲面和不規(guī)則曲面。平面是所有幾何面中的一種特殊情況。

3、在幾何空間中，與已知相交直線完全重合的平面只有一個(gè)（已被包含在定義2中）。如果相交直線將與它們重合的平面分割成四個(gè)全同的部分，則稱該兩條相交直線，為相互垂直的直線；其中的交點(diǎn)稱為垂足。任一直線上的給定點(diǎn)到垂足之間的直線長(zhǎng)度，稱為點(diǎn)到直線之間的距離。

4、在幾何空間中，間距處處相等的兩條直線，稱為相互平行的直線。

5、由兩條相交直線的半部分構(gòu)成的幾何形稱為角；構(gòu)成角的兩條直線之間的相互傾斜程度，稱為角度。在同一平面上，如果將兩條相互垂直的直線所構(gòu)成的角，定義為直角，則平面周角為四直角。

6、規(guī)則曲線的彎曲強(qiáng)度，稱為曲率。在同一平面上，由一條曲率不變的曲線構(gòu)成的封閉幾何形，稱為圖形。圓形的中心位置稱為圓心；從圓心到封閉曲線上任意一點(diǎn)的直線長(zhǎng)度，稱為圓形的半徑。圓形是平面上所有曲線幾何形中的一種特殊情況。

  用數(shù)學(xué)方法來描述幾何形及其幾何關(guān)系，可以稱之為數(shù)學(xué)幾何學(xué)，其中也包括人們熟知的解析幾何學(xué)。在數(shù)學(xué)幾何學(xué)中，幾何形及其幾何關(guān)系是事先存在的描述對(duì)象，數(shù)和數(shù)學(xué)方程是描述時(shí)所使用的理論工具。人們根據(jù)幾何對(duì)象的具體不同，可以用數(shù)量方法和坐標(biāo)方法對(duì)它們進(jìn)行描述。數(shù)量方法是通過單位幾何線長(zhǎng)度，將幾何形中的幾何線長(zhǎng)度在量上的關(guān)系，直接轉(zhuǎn)化為數(shù)的關(guān)系來表述，比如a2+b2=c2（勾股定理）、和л（圓周率）=L（周長(zhǎng)）/R（直徑）等。坐標(biāo)方法是通過單位幾何線長(zhǎng)度，將解析方程中x、y、z的不同解轉(zhuǎn)化為具體的幾何線長(zhǎng)度或幾何空間距離，然后在已知空間坐標(biāo)系中確定解析方程不同的解所對(duì)應(yīng)的不同坐標(biāo)位置點(diǎn)，從而達(dá)到用這些坐標(biāo)位置點(diǎn)來表達(dá)具體幾何形及其幾何關(guān)系的目的。在這里，空間坐標(biāo)系不是由三條相互垂直的“數(shù)軸”構(gòu)成的；解析方程的解做為純粹的數(shù)，也不能直接對(duì)應(yīng)空間坐標(biāo)系中的具體坐標(biāo)位置，它需要通過單位幾何線長(zhǎng)度，還原為具體的幾何線長(zhǎng)度或幾何空間距離。

  用數(shù)量方法來描述幾何形及其幾何關(guān)系，具有理論上的絕對(duì)性意義；因?yàn)樗簧婕暗綄?duì)幾何線長(zhǎng)度的數(shù)量化問題。用坐標(biāo)方法來描述幾何形及其幾何關(guān)系，就只能具有理論上的相對(duì)性意義；因?yàn)樵诳臻g坐標(biāo)系中，無論怎樣密集的坐標(biāo)位置點(diǎn)，都始終不能構(gòu)成絕對(duì)連續(xù)的幾何線。數(shù)學(xué)概念終究不是幾何學(xué)概念，幾何學(xué)在本質(zhì)上也不從屬于數(shù)學(xué)，它們本身各自都有著根本不同的研究對(duì)象。從一開始，人們?cè)谟脭?shù)和數(shù)學(xué)方程來描述幾何形及其幾何關(guān)系時(shí)，就已經(jīng)忽視了“單位幾何線長(zhǎng)度”這個(gè)重要的基本前提，習(xí)以為常的人們，始終都誤認(rèn)為幾何學(xué)和數(shù)學(xué)，是一門不可分割的同一知識(shí)體系。但是，只要追根溯源，幾何學(xué)同數(shù)學(xué)的區(qū)別，是不難看的。

               二O一三年三月六日于中國馬鞍山