任何三角形有唯一的外接圓和唯一的內(nèi)切圓，但是作為一個(gè)四邊形，就不一定具有外接圓或內(nèi)切圓了，四邊形具有外接圓，內(nèi)切圓時(shí)，它自身一定會(huì)具有一定的特殊條件.

這里我們主要就談?wù)勊狞c(diǎn)共圓的判斷問(wèn)題.

命題：

1、對(duì)角互補(bǔ)的四邊形內(nèi)接于圓（如圖1）；

2、四邊形的一個(gè)角外角等于它的對(duì)角，這個(gè)四邊形內(nèi)接于圓；

3、如果兩個(gè)直角三角形共有斜邊，那么這兩個(gè)直角三角形有相同的外接圓；

4、如果兩個(gè)點(diǎn)在線段的同側(cè)，且與線段兩個(gè)端點(diǎn)連線所得的兩個(gè)角相等（也叫同旁視角相等），那么這兩個(gè)點(diǎn)與已知線段的兩個(gè)端點(diǎn)共圓（如圖2）；

5、相交的兩條線段，每條線段被交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等，那么線段的四個(gè)端點(diǎn)在同一個(gè)圓上（如圖3）；

6、如果四邊形的兩條邊的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到這兩邊的兩個(gè)端點(diǎn)的兩條線段的乘積相等，那么這個(gè)四邊形是圓內(nèi)接四邊形（如圖4）；

其實(shí)上面的命題都是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理的逆命題.

下面用反證法證明命題2.

已知：如圖5，在四邊形ABCD中，∠A+∠C=∠B+∠D=180°，

證明：設(shè)A,B,C所在的圓是以O(shè)為圓心的圓

    ①假設(shè)D在圓O內(nèi)，那么連接AD并延長(zhǎng)交圓O與Dˊ，那么四邊形ABCDˊ內(nèi)接于圓       O，因?yàn)閳A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，所以∠B+∠Dˊ=180°，所以∠Dˊ=∠D，在圖5       中，∠D=∠Dˊ+∠DCD>∠Dˊ，這與∠Dˊ=∠D矛盾，所以D不再圓內(nèi)。

    ②假設(shè)D在圓O外面，如圖6.

設(shè)AD交圓O為Dˊ，那么根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，∠B+∠Dˊ=180°，所以∠Dˊ=∠D，在圖6中，∠Dˊ=∠D+∠DˊCD>∠D，這與∠Dˊ=∠D矛盾，所以D不在圓O外面.

綜上所述，D在由A,B,C三點(diǎn)所確定的圓上，可以用同樣的方法證明命題4，然后命題5與命題6都能夠轉(zhuǎn)換成滿足命題4的條件，從而證明這些結(jié)論都正確.

例1，如圖7，已知H是三角形A,B,C的垂心.

（1）試確定圖中有多少組在同一圓上的四點(diǎn)，把每一組寫(xiě)出來(lái)

（2）試確定圖中有多少組相似的直角三角形，把每一組學(xué)出來(lái)

解：

（1）根據(jù)垂心的意義我們知道，以三角形ABC的邊為直徑的四點(diǎn)共圓有三組，比如A,B,D,E........

以原三角形的頂點(diǎn)與垂心H的連線為直徑的四點(diǎn)共圓也有三組，B,D,H,F.........

（2）根據(jù)垂心的意義和相似三角形的判斷定理，圖中相似三角形有三組，每一組有四個(gè)，如△BCE～△ACD～△BHD～△AHD，........

其實(shí)下面的兩個(gè)結(jié)論顯然是正確的：

（3）AH·HD=BH·HE=CH·HF

（4）AD·BC=BE·AC=CF·AB.

作為內(nèi)接圓四邊形的一條有趣的性質(zhì)，作為例2.

例2，圓內(nèi)接四邊形兩條對(duì)角線的積等于兩組對(duì)邊的積的和

已知：如圖8，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O ，AC,BD是兩條對(duì)角線.

求證：AC·BD=AB·CD+AD·BC.

證明：在AC上取點(diǎn)M，使∠ABM=∠CBD，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)有：∠BAM=∠BDC,所以△ABM～△CBD，于是AB/BD=AM/CD，即AB·CD=BD·AM,同樣的，△ABD～△CMD，所以，AD/MC=BD/BC，即AD·BC=BD·MC.所以，AC·BD=AB·CD+AD·BC.

初中教材對(duì)于四點(diǎn)共圓這一塊涉及的不是特別深入，無(wú)論你是即將的初三同學(xué)還是高中同學(xué)或準(zhǔn)高中同學(xué)，你對(duì)這篇小文章的關(guān)注，一定會(huì)給你帶來(lái)益處.