計(jì)算機(jī)科學(xué)的起源是為了解決數(shù)學(xué)問題，所以，在某種程度上，可以把計(jì)算機(jī)科學(xué)歸為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。因此，可以通過使用Python程序來學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中的知識(shí)，如積分、微分等，反之，也可以通過解決數(shù)學(xué)問題深化Python的 編程 思維。

積分的由來

在古埃及，尼羅河經(jīng)常泛濫成災(zāi)，但是每當(dāng)洪水退去之后，就會(huì)留下肥沃的沖積平原供人們播種。古時(shí)候的人們想知道沖積平原上可用的耕地面積，但是沖積平原的形狀不是常規(guī)的矩形或者圓形，而是不規(guī)則的形狀，這就為測量的工作帶來了麻煩。

后來經(jīng)過數(shù)學(xué)家們的不斷探索，他們發(fā)現(xiàn)，如果把這些不規(guī)則的形狀分割成一個(gè)個(gè)小的矩形，只要把矩形窄的一邊切得足夠小，再把這些矩形的面積加起來，矩形的面積之和就無限接近于不規(guī)則圖形的實(shí)際面積，這就是積分的由來，積分的幾何意義就是求函數(shù)與坐標(biāo)系形成的面積。

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受到啟發(fā)的數(shù)學(xué)家們，在測量一塊不規(guī)則的圖形面積時(shí)，會(huì)把沿著河流的一側(cè)當(dāng)做橫軸，就是坐標(biāo)系里的x軸，把與河流呈逆時(shí)針90°方向的一側(cè)當(dāng)做縱軸，也就是坐標(biāo)系里的y軸。這樣，對(duì)于每一個(gè)x的值，都有一個(gè)對(duì)應(yīng)y的值與之對(duì)應(yīng)。在這里，我們把x的值叫做自變量，y的值叫做因變量，記作y = f(x)。對(duì)，你沒看錯(cuò)，這就是函數(shù)的雛形。

有了函數(shù)之后好處就多了。我們把不規(guī)則形狀的橫向距離（假設(shè)為L）分為n等分（n->+∞），那么，橫坐標(biāo)是從0開始的，每一份的長度就是L/n。那么第一塊矩形對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)點(diǎn)是1*L/n，第二塊矩形對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)點(diǎn)是2*L/n，第三塊矩形對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)點(diǎn)是3*L/n…以此類推，那么聰明的你肯定已經(jīng)想到了，第n塊矩形對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)點(diǎn)是就是L。

既然確定了橫坐標(biāo)，那么縱坐標(biāo)的位置就可以通過f(x)來求出，那么第一塊矩形的面積就是L/n*f(1*L/n)，第二塊矩形的面積就是L/n*f(2*L/n)…第n塊矩形的面積就是L/n*f(L)，然后把這些數(shù)加起來就得到了不規(guī)則圖形的面積。

sin(x)的積分（面積）

學(xué)過高等數(shù)學(xué)的你一定還記得，sin(x)在0-2π上的面積為 4，如下：

用Python求sin(x)在0-2π上的面積

想要求一個(gè)規(guī)則圖形的面積，如長方形，直接用長×寬即可，但是如果要求一個(gè)不規(guī)則的圖形面積，如sin(x)在0-2π上的面積呢？

根據(jù)積分的來源和積分的含義，實(shí)際上很容易知道可以通過將曲面面積劃分為一個(gè)個(gè)矩形，最后求矩形之和的方式來實(shí)現(xiàn) （順便說一句：聲波的音頻采樣（數(shù)字化）也是類似的原理） 。如下：

那么如何用Python代碼來實(shí)現(xiàn)呢？

首先，我們需要將sin(x)與x軸在0-2π組成的面積劃分為很多個(gè)矩形，因此需要引入一個(gè)變量n，那么矩形在x軸上的寬度（width）即為2π/n。

其次，我們需要通過sin(X)函數(shù)求出每個(gè)矩形的高度（height），假設(shè)為第i個(gè)矩形，則其高度為sin(i*width)。

最后，我們還需要把所有矩形的和相加，這里需要用到for循環(huán)。

另外，還需要注意的是，由于sin(x)在π-2π之間時(shí)為負(fù)數(shù)，因此還需要使用絕對(duì)值函數(shù)。

import math

n = 100 # n是將x軸(0-2π)切段的數(shù)量

area = 0

width = 2 * math.pi / n

for i in range(1,n+1):

x = i * width

height = abs(math.sin(x))

area += width * height

print(area)

程序輸出結(jié)果為：3.9986839661525218。

即，當(dāng)我們將sin(x)在0-2π上劃分為100個(gè)小矩形時(shí)，小矩形面積之和為3.9986839661525218。

聰明的你應(yīng)該想到，如果矩形劃分的越細(xì)，數(shù)量越多，矩形面積之后就應(yīng)該更接近于sin(x)的真實(shí)面積。那么，如果將n設(shè)置為1000000，其結(jié)果會(huì)是怎樣了。

正如你所想，程序輸出結(jié)果為：3.999999999986816。Great！很明顯與n=100相比，更加接近于sin(x)的真實(shí)面積（4）了。

好了，本次的Python小課，Python與高等數(shù)學(xué)之Python與積分就到這里了，下次咱們?cè)倭牧腜ython與高等數(shù)學(xué)之Python與微分。